Уроки математики / Научная работа / Научный проект "Способы решения радикалов"

Научный проект "Способы решения радикалов"

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Управление образования Павлодарской области

Региональный научно-практический центр «Ертiс дарыны»

Государственное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №12 отдела образования акимата

города Экибастуза»

Геймор София Владимировна

8 класс

«Способы решения радикалов»

Направление: Математическое моделирование экономических и социальных процессов

Секция: Математика

Научный руководитель: Свык Айнур Кенесовна учитель математики школы №12

город Экибастуз

2017-2018 учебный год

Содержание

Введение……………………………………………………………………………1

Глава 1. Общие понятия о числах….………………………………………………3

    1. Понятие иррациональных чисел…….…………………………………………3

    1. В чем трудности использования иррациональных чисел при решения задач …………………………………………………………………………………….5

    1. Площади плоских фигур.………………………………………………………..5

    1. Задания с использованием иррациональных чисел.………………..………….6

Глава 2. Особенности преобразования формул в решении задач……………..….8

2.1 Преобразование формулы Герона……………………………………………….8

2.2 Выведение формулы для различных видов треугольников и четырёхугольников……………………………………………………………………10

2.3 Освобождение дроби от иррациональности в знаменателе ………………..….14

Заключение …………………………………………………………………………..17

Список использованной литературы……………………………………………..19

Приложение ………………………………………………………………………….20

Абстракт

1. Цель исследования: найти рациональный способ решения задач с иррациональными числами

2. Гипотеза: предположение о том, что некоторые формулы

можно преобразовать для вычисления с иррациональными числами с целью рационального способа решения

3. Объект исследования: математические формулы

4. Предмет исследования: процесс преобразования формул математики

в конкретных условиях

5. Этапы и процедура исследования: исследование включало в себя два этапа:

1.Изучена дополнительная научная литература, рассмотрены статьи из

журналов «Математика в школе», отобран материал по данной теме

2.Преобразование некоторых формул с использованием арифметических

действий, применение полученных формул в решении задач

6.Специфика объекта обусловила выбор методов исследования:

1.оценивание начальных знаний;

2. сбор, анализ и систематизация необходимой информации;

3. выдвижение и проверка гипотез;

4. классификация, вариация и обобщение

7.Научная новизна заключается в попытке раскрыть особенность

использования некоторых формул в новых условиях и показать применение данных формул для решения задач

8.Выводы обусловлены всем ходом проведённого исследования как использование математической формулы в новых условиях, примеры их применения для решения математических и практических задач; использовать

приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

9.Данный проект можно использовать как пособие на спецкурсах по математике.

Способы решения задач с иррациональными числами

Введение

Что такое иррациональные числа? Почему они так называются? Где они используются и что собой представляют? Немногие могут без раздумий ответить на эти вопросы. Но на самом деле ответы на них довольно просты, хоть нужны не всем и в очень редких ситуациях.

Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби. Необходимость введения этой концепции обусловлена тем, что для решения новых возникающих задач уже было недостаточно ранее имеющихся понятий действительных или вещественных, целых, натуральных и рациональных чисел. Например, для того, чтобы вычислить, квадратом какой величины является 2, необходимо использовать непериодические бесконечные десятичные дроби. Кроме того, многие простейшие уравнения также не имеют решения без введения концепции иррационального числа. Это множество обозначается как I. И, как уже ясно, эти значения не могут быть представлены в виде простой дроби, в числителе которой будет целое, а в знаменателе - натуральное число. Впервые так или иначе с этим явлением столкнулись индийские математики в VII веке до нашей эры, когда было обнаружено, что квадратные корни из некоторых величин не могут быть обозначены явно. А первое доказательство существования подобных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу, который сделал это в процессе изучения равнобедренного прямоугольного треугольника. Серьезный вклад в изучение этого множества привнесли еще некоторые ученые, жившие до нашей эры. Введение концепции иррациональных чисел повлекло за собой пересмотр существовавшей математической системы, вот почему они так важны.

Источник:

1

Цель: найти рациональный способ решения задач с иррациональными числами

Задачи:

  • Изучить понятие иррациональных чисел и её применение в решении задач

  • Преобразовать некоторые формулы для работы с иррациональными числами.

  • Применить полученные формулы в решении задач.

Гипотеза: Преобразование математических формул –есть рациональный способ решения задач с иррациональными числами

Специфика объекта обусловила выбор методов исследования:

1.оценивание начальных знаний;

2. сбор, анализ и систематизация необходимой информации;

3. выдвижение и проверка гипотез;

4. классификация, вариация и обобщение

Научная новизна: получена новая формула для решения задач с использованием иррациональных чисел.

2

Глава 1. Общие понятия о числах

    1. Понятие иррациональных чисел

Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби {\displaystyle {\frac {m}{n}}}, где {\displaystyle m}— целое числоn{\displaystyle n}— натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезковнесоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа.

Свойства:{\displaystyle {\sqrt {2}}}////

  • Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.

  • Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

  • Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

  • Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.

  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.

  • Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены].

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок

Нет о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения.

3

Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному[2] предположению Жана Итара[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один[3].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные(доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы ВейерштрассаГейнеКантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

4

    1. В чем трудности использования иррациональных чисел

при решения задач

Несмотря на то что в обычной жизни не так уж часто приходится сталкиваться с ними, иррациональные числа не поддаются счету. Их огромное множество, но они практически незаметны. Нас повсюду окружают иррациональные числа. Примеры, знакомые всем, - это число пи, равное 3,1415926..., или e, по сути являющееся основанием натурального логарифма, 2,718281828... В алгебре, тригонометрии и геометрии использовать их приходится постоянно. Кстати, знаменитое значение "золотого сечения", то есть отношение как большей части к меньшей, так и наоборот, также относится к этому множеству. Менее известное "серебряное" - тоже. На числовой прямой они расположены очень плотно, так что между любыми двумя величинами, отнесенными к множеству рациональных, обязательно встречается иррациональная. До сих пор существует масса нерешенных проблем, связанных с этим множеством. Существуют такие критерии, как мера иррациональности и нормальность числа. Математики продолжают исследовать наиболее значительные примеры на предмет принадлежности их к той или иной группе. Например, считается, что е - нормальное число, т. е. вероятность появления в его записи разных цифр одинакова. Что же касается пи, то относительно его пока ведутся исследования. Мерой иррациональности же называют величину, показывающую, насколько хорошо то или иное число может быть приближено рациональными числами. Алгебраические и трансцендентные Как уже было упомянуто, иррациональные числа условно разделяются на алгебраические и трансцендентные. Условно, поскольку, строго говоря, эта классификация используется для деления множества C. Под этим обозначением скрываются комплексные числа, которые включают в себя действительные или вещественные. Итак, алгебраическим называют такое значение, которое является корнем многочлена, не равного тождественно нулю.

1.3 Понятие площади плоских фигур

В курсе планиметрии изучаются фигуры и их свойства на плоскости. Школьный материал рассматривает такие многоугольники, как треугольники и четырёхугольники. Особое внимание уделяется к такому разделу как площади фигур. От хорошо усвоенного материала зависит дальнейшее математическое образование в курсе стереометрии и высшей математики.

Геометрическую фигуру будем называть простой, если её можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником. Он разбивается на плоские треугольники диагоналями, проведёнными из какой-нибудь его вершины.

5

Дадим определение площади для плоских фигур. Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

Равные фигуры имеют равные площади

Если фигуры разбиваются на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.

1.4 Задания с использованием иррациональных чисел

Иррациональные числа в отличие от рациональных не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / nгде  m  и  n  – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: 

  - отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно ,

  - отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу 

Примеры других иррациональных чисел:

Пример1

Докажем, что  является иррациональным числом. Предположим противное:  - рациональное число, тогда согласно определению рационального числа можно записать:  = m / n , отсюда: 2 = m2 / n2, или  m2 = 2 n2, то есть  m2 делится на 2, следовательно,  m  делится на 2, откуда  m= 2 k, тогда  m2 = 4 k2 или 4 k= 2 n2, то есть n2 = 2 k2, то есть n2 делится на 2, а значит,  n  делится на 2, следовательно,  m  и  n  имеют общий множитель 2, что противоречит определению рационального числа  (см. выше). Таким образом, доказано, что  является иррациональным числом.  

При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала:

6

(все подкоренные выражения неотрицательны). Для доказательства этой формулы достаточно возвести в квадрат обе ее части.

2. Докажите, что следующие числа являются иррациональными:

1) 0,121122111222…; 2) 2,12345678910112…

3. Найдите ошибку в рассуждениях «Пусть npq Nq ≠ 1 и - несократимая дробь,Q. Докажем, что Q. Обозначим = . Тогда n = , что невозможно, так как q ≠ 1 и n не может равняться несократимой дроби . Значит, есть число иррациональное для любого натурального числа n».

4. Докажите что длина диагонали квадрата, сторона которого равна 1, выражается иррациональным числом.

5. Докажите, что диагональ прямоугольника со сторонами 1 и 2 несоизмерима с его сторонами.

6. Известно, что число , входящие в формулу длины окружности и площади круга , где R – радиус окружности, является иррациональным числом. Докажите, что числа и иррациональные.

7. Вычислить площадь треугольника со сторонами равными

см; см; см р=(++):2=?

8. Вычислить площадь четырёхугольника со сторонами

9.Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

7

Глава 2. Особенности преобразования формул в решении задач

Обратим внимание на последние 3 задания:

-Вычислим площадь треугольника со сторонами равными

см; см; см р=(++):2=?

-Вычислить площадь четырёхугольника со сторонами

-Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

Здесь мы сталкиваемся со следующей проблемой:

Проблема:

найти более удобные формулы для решения ряда задач, связанных с нахождением площади произвольных треугольников и выпуклых четырехугольников, стороны которого выражены иррациональными числами, а также избавление от иррациональности в знаменателе с 3 числами

2.1 Преобразование формулы Герона

В журнале «Математика в школе» за 1998 года мы увидели одну замечательную раскладку данной формулы, что позволило иметь возможность вычислять площади треугольника со сторонами равными иррациональными числами:

S= (1)

где p= p-полупериметр a,b,c-стороны треугольника.

Попробуем преобразовать формулу (1), сделав её более удобной для работы с иррациональными числами.

8

S=(2)

Аналогично можно вывести ещё две симметричные формулы, полученные путём перестановки чисел a,b,c.

Мы получили формулу более удобную, чем формула (1), для вычисления площади, если длины сторон выражены радикалами.

Теперь мы сможем вычислить площадь треугольника со сторонами см; см; см

S=

S=см2

Ответ: S=см2

Не будем, однако забывать, что за этим доказательством стоит, прежде всего, алгебра: длины отрезков обозначены символами и над ними проведены операции как над числами.

А в чем особенность формулы Герона? А в том, что площади других видов треугольников вычисляются по формулам, основанных на формуле Герона.

А теперь рассмотрим различные виды треугольников:

Пусть треугольник прямоугольный с гипотенузой с и катетами а и b .

Из теоремы Пифагора следует с2= а2 + b2 или с2- а2 - b2=0 (3)

Подставим полученное выражение в формулу (2) и получим

S=

Отсюда следует формула вычисления площади для прямоугольных треугольников

S= (4) Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b

9

Подставим данные в выражения в формулу (2), получим

S=(5)

Рассмотрим теперь равносторонний треугольник со стороной а.

S=(6)

Если же а+b=c, то треугольник обращается в отрезок.

Принята считать, что площадь отрезка равна 0. Покажем это, используя формулу (2)

S===0 (7)

2.2 Выведение формулы для различных видов треугольников и четырёхугольников

Школьная программа предусматривает вычисление площади таких четырёхугольников как трапеция, ромб, параллелограмм, прямоугольник. Для четырёхугольника, не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным.

Имеется в виду формула вычисления площади произвольного четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое сходство.

В VII веке индийский математик Брахмагупта обобщил формулу Герона. Он обнаружил, что площадь вписанного четырехугольника со сторонами a,b,c и d равна S=, где р= (8);

при d=0 эта формула превращается в формулу Герона.

Докажем формулу Брамагупты

На чертеже (рис. 1) изображен четырехугольник АВСD и описанная около него окружность. Пусть последовательные стороны этого вписанного четырехугольника равны a, b, c, d. Найдем площадь четырехугольника.

10

1) Согласно теореме косинусов находим из треугольников АВС и АDC: и . Поскольку в этих равенствах левые части равны, приравниваем и правые: (1).

Рис. 1

2) Четырехугольник АВСD вписанный, поэтому ÐВ = 180º – ÐD и

cosÐВ = −cosÐD.

3) Из равенства (1) имеем: , откуда

(2).

4) Обозначив площадь четырехугольника АВСD через S, площадь треугольника АВС через , площадь треугольника АDC через, получим: , т. е. , поскольку

sinÐВ = sin(180º–ÐD) = sin ÐD.

5) Из (2) следует, что

.

6) Теперь

.

Полагая здесь , получим .

Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится по более простой формуле: . (9)

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника АВСD вычисляется и по формуле .

Решим задачи:

а) вычислите площадь четырёхугольника со сторонами 4см, 5см, 6см и 7 см.

Решение р=, отсюда S=см2

Ответ: S=см2

11

б) а теперь вычислим площадь четырёхугольника со сторонами

Решение р=?

Мы видим, что стороны выражены иррациональными числами. Вычислить площадь данного четырёхугольника вызывает трудности, поэтому, взяв аналог преобразования формулы площади для треугольников, мы попытаемся преобразовать формулу (8), для того, чтобы могли вычислить площадь произвольного четырёхугольника с иррациональными значениями.

S=, где р=

А так как , следовательно . Подставив вместо 2abcd=2s2

Возведём обе части во вторую степень и получим следующее выражение

12

. Умножим обе части на 2 и получим

.

Окончательно получим формулу для вычисления площади четырёхугольника

(10)

А теперь попробуем вычислить площадь четырёхугольника стороны, которого заданы иррациональными числами. a=

Решение

Ответ: см2

Используя данную формулу, мы повторно убеждаемся в формуле для вычисления площади прямоугольника. S=ab

-квадрат, мы знаем, что у квадрата стороны и углы равны, т.е. сторона равна а.

Мы получили формулу площади для квадрата.

13

2.3 Освобождение дроби от иррациональности в знаменателе

Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Рассмотрим общие случаи и конкретные примеры.

  

Если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из этого числа или выражения:

  

Примеры.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

  

Решение:

  

  

    

Если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный или кубический корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный радикал:

  

  

Примеры.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

  

Решение:

  

  

  

  

14

  

  

  Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

Проблема!

Представим данную дробь в виде , где a, b, c-иррациональные числа. И попробуем преобразовать данную формулу

  

  Введем замену t=a2+b2-c2 и получим

  

  Окончательно получаем

где t= a2+b2-c2 (11)

А теперь попробуем решить

, найдем t=

Попробуем по формуле (11) вычислить

=

А теперь рассмотрим другие случаи:

; ; . Аналогично попробовав преобразовать выражение, мы получили следующие формулы:

  • = где t= a2+b2-c2

  • = где t= a2+b2-c2

15

  • = где t= a2+b2-c2

  • где t= a2+b2-c2 где a, b,c- иррациональные числа.

16

Гипотеза подтвердилась

Получена удобная формула для работы с иррациональными числами и исследована, путем проверки, на различных видах треугольников.

Получена целая система формул для нахождения площади вписанного и описанного четырехугольников. А также путем преобразования выражений мы получили формулы для избавления иррациональности в знаменателе с 3 числами. Что является очень удобным при решении ряда задач

Заключение

Результаты проделанной работы показали следующие интересные факты.

При подготовке к этой работе мы узнали много нового о формулах площадей геометрических фигур как треугольников и четырёхугольников.

Нами же было показано, что формулу Герона можно преобразовать с использование формулы сокращенного умножения для вычисления площади треугольника с иррациональными значениями сторон.

Зная, основные свойства различных видов треугольников были выведены формулы площадей треугольников на основе формулы Герона.

Используя аналог данной формулы с формулой для вычисления площади четырёхугольников, мы попытались преобразовать её. Это дало возможность вычислять площади четырёхугольников, стороны которого выражены иррациональными числами. Учитывая свойства некоторых четырехугольников, мы постарались показать, что формулы площади квадрата, прямоугольника можно вывести из данной формулы

Также получены формулы для освобождения иррациональности в знаменателе:

  • = где t= a2+b2-c2

  • = где t= a2+b2-c2

17

  • = где t= a2+b2-c2

  • где t= a2+b2-c2 где a, b,c- иррациональные числа.

Надеемся, что наш небольшой труд найдёт своё применение в решениях геометрических задач на внеклассных занятиях, прикладных курсах.

18

Литература, используемая нами при работе над этим проектом

[1] Погорелов А.В., «Геометрия 7-11» Просвещение 1993 стр. 220-223

[2] Атанасян П.М., Бутузов М.В., Кадомцев А.В., Киселёва А.И.. «Геометрия 7-9» Просвещение 2001 стр. 3-4

[3] Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» Дрофа 2003 стр. 156-172

[4] Дорохов А.А., Михайлов М.М., Куценко Г.М., Назаров А.А. «Что такое? Кто такой?» Дрофа 2005 стр. 283-285

[5] Погорелов М.И. «Геометрия 7-11» Просвещение 2001 стр. 164

[6] Научно-методический журнал «Математика в школе», издательство «Школа-пресс», 1998 стр 55

[7]. А.Д Александров и др. “Геометрия для 8-9 классов”. Москва, “Просвещение”, 1991.

19

Приложение

20

Площади треугольников и четырёхугольников

S= - для вычисления площади треугольника, стороны которого выражены иррациональными значениями

для вычисления площади четырёхугольника, стороны которого выражены иррациональными значениями

Формулы для освобождения иррациональности в знаменателе:

  • = где t= a2+b2-c2

  • = где t= a2+b2-c2

  • = где t= a2+b2-c2

  • где t= a2+b2-c2 где a, b,c- иррациональные числа.

21

Отзыв

Тема «Способы решения радиков»

Автор: ученица СОШ №12 8 а класса Геймор София Владимировна

Руководитель: учитель СОШ №12 Свык Айнур Кенесовна

Над проектом работаем больше года. Перебирали разные темы для проекта, рассматривали различные варианты. Хотелось, чтобы работа несла практическое применение в решении математических задач.

Мы попытались провести такую исследовательскую деятельность, чтобы она была интересной и полезной. Как уже отметили, в одном из журналов мы увидели один довольно интерсеный на наш взгляд момент, а именно статью «Что нового можно узнать из формулы Герона?»

Разбирая данную статью мы увидели некоторые особенности формулы Герона:

  • Как можно вычислить площадь треугольника стороны которого выражены радикалами путём преобразования формулы Герона

  • Применяя данную формулу как можно вывести формулы площадей для разных видов треугольников

В дальнейшем разбирая данную тему, мы нашли в других источниках такой момент

  • Используя аналог формулы Герона индийский математик Брахмагупта выводит формулу для вычисления площади четырёхугольников

Со своей стороны мы поставили себе такой вопрос «Можно ли вычислить площадь четырёхугольника, стороны котрого выражены радикалами?»

В данной работе мы попытались преобразовать формулу

S=, где р=. После многочисленных преобразований мы получили следующую формулу

. Данная формула даёт возможность вычислить площадь четырёхугольника, стороны которого выражены радикалами. Из данной формулы можно получить формулы для вычисления площади прямоугольника и квадрата. Используем данную формулу для нахождения площади сечения в многогранниках.

Так как София учится только в 8 классе и начали изучать квадратные корни, то при выполнении таких заданий как избавление от иррациональности в знаменателе натолкнуло на мысль, а можно ли найти боле удобную формулу для решения данного задания.

Работа по нашему мнению интересная, а главное как нам думается, она имеет практическое применение в решениях геометрических задач.

Надеемся, что наш небольшой труд найдёт своё применение в решениях геометрических задач на внеклассных занятиях, прикладных курсах. В итоге мы получили формулы для освобождения иррациональности в знаменателе:

          • = где t= a2+b2-c2

          • = где t= a2+b2-c2

          • = где t= a2+b2-c2

          • где t= a2+b2-c2 где a, b,c- иррациональные числа.

Руководитель: Свык Айнур Кенесовна (учитель математики)

Абстракт

1. Зерттеу мақсаты: иррационалды сандармен берілген тапсырманы шешудің тиімді тәсілін табу

2.Гипотеза: иррационалды сандармен есептеуді тиімді шешу тәсілі мақсатында, кейбір формулаларды түрлендіруге болады деген болжам

3.Зерттеу нысаны: математика формулалары

4.Зерттеу мәні: математика формулаларын нақты шарттарда түрлендіру

процесі

5.Зерттеу тәртібі және кезеңдері: зерттеу екі кезеңнен тұрады:

1.Қосымша ғылыми әдебиеттер зерделенді, «Мектептегі математика» журналынан мақалалар қарастырылды, осы тақырыптағы материал таңдап алынды

2.Арифметикалық амалдарды қолдана отырып, кейбір формулаларды түрлендіру, шыққан формулаларды есептерде қолдану

6.Нысан ерекшелігі зерттеу тәсілін таңдауға негізделген:

1.бастапқы білімін бағалау;

2.қажетті ақпаратты жинақтау, сараптау және жүйелеу;

3.гипотезаны тексеру және ұсыну;

4.топтастыру, түрлендіру және жалпылау

7.Ғылыми жаңалық - кейбір формулаларды жаңа жағдайларда қолдану ерекшеліктерін ашуға талпыну және осы формулаларды тапсырманы шешу барысында қолдануды көрсету болып табылады

8.Қорытындылар - зерттеу жүргізудің барлық барысында математикалық формулаларды жаңа жағдайларда пайдалану түрінде, математикалық және тәжірибелік тапсырмаларды шешуде қолдану мысалдары ретінде негізделген; жинақтаған білім мен ептілікті тәжірибелік қызметте және күнделікті өмірде қолдану.

9.Бұл жобаны математикалық арнайы курстарда оқу құралы ретінде қолдануға болады.

Abstract

  1. The aim of investigation to find a rational way of solving problems with irrationality numbers

  2. Hypothesis :the assumption that some formula can be converted to calculate with irrational numbers to rational decisions

  3. The object of investigation : formulas of mathematics

  4. The object of investigation : the process of converting math formulas in specific conditions

  5. Stages and procedure of the study : the study consisted of two stages :

  1. examined additional scientific literature reviewed articles from the journals « mathematics at school» selected material on the subject

  2. The conversion of some formulas that use the arithmetic effect the application of the obtained formulas in solving problems

  1. The specificity of the object led to the choice of methods study

  1. Evaluation of initial knowledge

  2. Collection ,analysis and systematization of the required information

  3. The nomination and verification of hypotheses

  4. A classification variation and generalization

  1. Scientific novelty lies in the attempt to reveal the peculiarity of the use of certain formulas in a new context and to show the application of these formulas to the solution of problem

  2. Insights is due to the entire course of the study as the use of math formulas in a new environment , examples of their application to solve mathematical and practical problem, to use the acquired knowledge and skills in practical activities and daily life

  3. This project can be used as a guide for special courses in mathematics

Автор
Дата добавления 28.02.2018
Раздел Алгебра
Подраздел Научная работа
Просмотров291
Номер материала 5418
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.