Открытый урок на тему" Практические приложения производной"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 22

с углубленным изучением отдельных предметов

города Тамбова

Урок

на тему

Практические

приложения производной

10 класс

Учитель математики

Орехова Оксана Ивановна

Тема урока. Практические приложения производной.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока.

• повторить определение производной;

• выяснить, в чем состоит геометрический и физический смысл производной;

• повторить формулы и правила дифференцирования;

• рассмотреть в группах примеры заданий на приложение производной в других областях знаний (физика, химия, биология, экономика, техника, производство).

Оборудование.

1. Таблица «Формулы дифференцирования».

2. Таблица «Правила дифференцирования».

3. Компьютерная презентация «Ученые, внесшие вклад в развитие понятия производной».

4. Система упражнений.

Ход урока.

1. Оргмомент (2 мин).

2. Устная работа (7 мин).

3. Решение задач (25 мин).

4. Компьютерная презентация (5 мин).

5. Домашнее задание (3 мин).

6. Подведение итогов урока (3 мин).

Оргмомент.

Класс разбит на 4 группы. Каждой группе в процессе урока будет предложено задание из различных областей знаний:

• математика;

• физика;

• экономика и производство;

• химия, биология, экология.

Здравствуйте. Садитесь, пожалуйста. Запишите в тетрадях число и тему урока, которая указана на доске: «Практические приложения производной». На уроке мы постараемся представить вопрос о практических приложениях производной. В школьном курсе алгебры и начал анализа рассматриваются приложения только в смежных областях знаний – физике и геометрии, исходя из физического и геометрического смысла производной. Поэтому, рассмотрев вопрос о дифференцировании функции, мы попытались перейти к решению задач из областей знаний, далеких от математики – таких как экономика, производство, биология, химия, технология.

Так как математическое моделирование реальных процессов используют в различных областях знаний, то и производную можно применить не только в физике и геометрии.

Опыт решения задач такого вида пока небольшой, но на начальном этапе изучения производной соответствующие задания имеет смысл рассмотреть, с дальнейшим их усложнением.

Работу на уроке мы построим следующим образом:

1. Разминка в виде решения устных заданий на применение формул и правил дифференцирования.

2. Работа в группах по приложению производной в математике; физике; экономике и производстве; химии, биологии, экологии с представлением решения одной задачи от группы на доске с объяснением и проверкой.

3. Компьютерная презентация: исторический материал об ученых, внесших вклад в развитие производной.

4. Комментарий по выполнению домашнего задания.

5. Подведение итогов урока.

Переходим к осуществлению плана работы на уроке.

Устная работа.

1. Найдите производные указанных функций (если будет допущена ошибка, постарайтесь ее корректно исправить):

2. Найдите критические точки функции:

3. Верно ли, что ускорение тела происходит по линейному закону:

Решение задач.

Представитель каждой группы выбирает область знаний по билетикам.

математика

физика

экономика и производство

химия, биология, экология

Каждой группе предлагается 5 заданий. Их необходимо выполнить, решение оформить в тетради, обсудить и предоставить решение одной задачи на доске.

ЭКОНОМИКА

1. Функция полных издержек производства имеет вид , где - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства будут иметь наибольшее значение?

2. Потребление электроэнергии предприятиями и населением города с 8 ч до 18 ч описывается формулой , где - время в часах. В какой момент времени потребление энергии будет наибольшим?

3. Выручка магазина меняется в зависимости от сезона по формуле . Найдите закон изменения дневной выручки магазина (скорость изменения выручки).

4. Стоимость эксплуатации оборудования меняется по закону , где - время в годах. В какой момент времени стоимость эксплуатации будет наименьшей?

5. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью км/ч, составляет . С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наибольшей?

ФИЗИКА

1. Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью меняется по закону . Найдите зависимость скорости камня от времени.

2. Докажите, что движение по закону происходит с ускорением, меняющемся по квадратичному закону.

3. Материальная точка движется по закону . Найдите ускорение в момент времени .

4. Закон движения тела имеет вид . Найдите момент остановки этого тела.

5. Точка движется прямолинейно по закону . Докажите, что движение замедленное.

МАТЕМАТИКА

1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке .

2. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке .

3. Площадь прямоугольника 36 см². Какую длину должны иметь стороны этого прямоугольника, чтобы его периметр был наибольшим?

4. Сумма двух чисел равна 24. Найдите эти числа, если их произведение принимает наибольшее значение.

5. Одно из двух чисел на 10 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение принимает наименьшее значение.

БИОЛОГИЯ, ХИМИЯ, ЭКОЛОГИЯ

1. В условиях экологического равновесия популяция хищников меняется по закону , где - время в годах. Найдите моменты времени, когда популяция хищников будет наибольшей и наименьшей.

2. В условиях экологического равновесия популяция травоядных жертв хищников меняется по закону , где - время в годах. Найдите моменты времени, когда популяция травоядных жертв хищников будет наибольшей и наименьшей.

3. В задачах 1. и 2. выясните, когда популяции хищников и травоядных жертв хищников будут равными.

4. Зависимость плотности азотной кислоты от ее концентрации при комнатной температуре описывается эмпирической формулой . Найдите закон изменения плотности азотной кислоты.

5. Процент электропроводности раствора кислоты при комнатной температуре зависит от процента ее концентрации в соответствии с формулой , где и измеряются в процентах. При каком значении процент электропроводности достигает наибольшего значения?

Представление задач на доске.

Компьютерная презентация.

Домашнее задание.

Поменяться заданиями группам. Сдать тетради на проверку. На следующих уроках в качестве заданий будут предложены подобные упражнения и у каждого ученика будет зачетная оценка по решению задач из каждой области знаний.

Подведение итогов урока.

Объявление оценок, полученных на уроке. На дополнительной доске необходимо указать ответы ко всем задачам, предлагавшимся к решению.

Приложение 1

К уроку в виде домашней работы были предложены следующие упражнения по данной теме:

РАБОТА, ПРОИЗВОДСТВО, ТЕХНОЛОГИЯ

1. Завод выполняет заказ, осваивая объем во времени согласно формуле , где - выражается в %, - в сутках.

а). Какова интенсивность (скорость) работы на объекте (в % в сутки)?

б). Какова наименьшая интенсивность и в какой момент она имеет место?

2. Потребность в изделиях фабрики носит сезонный характер и определяется формулой , где - общее количество (объем) изделий, выпущенных за время (единица времени 1 год). Какова наибольшая и наименьшая скорость выпуска изделий в сутки в течение года, и в какие моменты она достигается?

ФИЗИКА

1. Тело удаляется от Земли по закону . Запишите закон, по которому меняется его скорость. Вычислите ускорение тела.

2. Докажите, что движение по кубическому закону происходит с ускорением, меняющемся линейно.

3. Задан закон движения тела . Найдите моменты его остановки.

ЭКОНОМИКА

1. Функция полных издержек производства имеет вид , где - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства имеют наименьшее значение.

2. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью км/ч, составляет руб/ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наименьшей?

БИОЛОГИЯ, ХИМИЯ

1. Процент электропроводности раствора кислоты при комнатной температуре зависит от процента ее концентрации в соответствии с формулой ; ( - в %; - в %). При каком значении процент электропроводности достигает наибольшего значения?

ГЕОМЕТРИЯ

1. Площадь прямоугольника 64 см². Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

Приложение 2

На предыдущем уроке были рассмотрены следующие упражнения по данной теме.

РАБОТА, ПРОИЗВОДСТВО, ТЕХНОЛОГИЯ

1. Объем произведенного товара выражается формулой , где - время в сутках. Найдите скорость освоения объема работ.

2. Рабочий машиностроительного завода производит количество продукции, описываемое формулой , где - время в часах, - количество продукции. Найдите дневную производительность его труда (скорость производства продукции в день).

ФИЗИКА

1. Точка движется по закону . Найдите закон, по которому меняется его скорость. Найдите закон изменения ускорения. Найдите мгновенную скорость в момент времени .

2. Движение точки по оси задано законом . Найдите мгновенную скорость в момент времени , .

ЭКОНОМИКА

1. Отпуск товара со склада производится по закону , где - время отпуска товара в часах. Через сколько часов скорость отпуска товара будет наименьшей.

2. Стоимость эксплуатации автомобиля, идущего со скоростью км/ч, составляет руб/ч. С какой скоростью должен идти автомобиль, чтобы стоимость 1 км пути была наибольшей?

БИОЛОГИЯ

1. Количество зеленой массы растений в регионе изменяется по закону , где - время в годах. Через сколько лет прирост зеленой массы растений будет наименьшим.

ГЕОМЕТРИЯ

1. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

АЛГЕБРА

1. Составьте уравнение касательной к графику функции , проведенной в точке .

2. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы.

Литература

1. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П.

Сборник математических задач с практическим содержанием.

Книга для учителя.

М.: Просвещение, 1987.

2. Башмаков М.И.

Математика. Учебник для профтехучилищ.

М.: Высшая школа, 1994.

3. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И. и др.

Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе.

М.: Просвещение, 1996.

4. Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2-х частях.

Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень).

Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень).

М.: Мнемозина, 2006.

5. Чудовский А.Н., Сомова Л.А.

Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе.

М.: Мнемозина, 1995.