Перпендикулярные прямые в пространстве

«Перпендикулярные прямые в пространстве» Тема урока:

Модель куба. D1 В А1 А D С1 С В1 Как называются прямые АВ и ВС? Найдите угол между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и АD. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут скрещиваться. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет 90 0 .

Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC. D1 В А1 А D С1 С В1 АА1 II СС1 ; DC СС1 АА1 DC Лемма Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, АD, АС, ВD, МN. D1 В А1 А D С1 С В1 N М 900 900 900 900 900 Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. а а1 х

а b b1 Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. M c

B А C D №117. В тетраэдре АВСD ВС АD. Докажите, что АD MN, где М и N – середины ребер АВ и АС. M N

A O В №119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD. D С

A O В №119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. С С D

A O В №119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. С С D

В К O С №120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b. А D a b a

В №121. В треугольника АВС дано: С = 900, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ. С А 12 см 8 см 6см

В №121. Еще один эскиз к задаче С А М 12 см 8 см 6см

С М O В АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. А 3 1

А Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС, ВВ1 и СС1 , СС1=4, АС1= АВ1= , . Найдите ВС. В С 4

С М O В А 2 D В М O С А АВСD – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата. 1 4 4 4 4 АВС –равносторонний треугольник со стороной О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.

Р №124. Прямая РQ параллельна плоскости . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1. Q PP1IIQQ1

ABCD – параллелограмм. BE (ABC), DF (ABC) Доказать: (АВЕ) II (СDF) А В С D ВЕ II DF AB II DC (ABЕ) II (CDF)

Р №125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Найдите Р1Q1. Q PP1IIQQ1