Творческая работа ученицы 7"А" класса "Формула Пика"

Формула Пика Подготовила: Мусаева А.

Георг Александр Пик - австрийский математик. Родился 10 августа 1859 года в Вене. Умер в концлагере в 1942 году.

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток - узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдём его площадь.

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, то есть имеют целочисленные координаты.  

Многоугольник разобьём на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Обозначим: n – число сторон многоугольника, m – количество треугольников с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах, В – число узлов внутри многоугольника, Г – число узлов на сторонах, включая вершины.  

Площади всех этих треугольников одинаковы и равны . Следовательно, площадь многоугольника равна m. Общая сумма углов всех треугольников равна 1800 m .

Теперь найдём эту сумму другим способом. Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 3600. Тогда сумма углов с вершинами во всех внутренних узах равна 3600 В. Общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна 1800 (Г – n). Сумма углов при вершинах многоугольника равна 1800 (n – 2) . Общая сумма углов всех треугольников равна 3600 В + 1800 (Г – n) + 1800 (n – 2).  

Таким образом, 1800 m = 3600 В + 1800 (Г – n) + 1800 (n – 2), 1800 m = 3600 В + 1800 Г – 1800 n + 1800 n – 1800 ·2, 1800 m = 3600 В + 1800 Г– 3600 = В + – 1 , откуда получаем выражение для площади S многоугольника: S = В + – 1 ,   известное как формула Пика.

В = 24, Г = 9, а следовательно, S = 24 + – 1 = 27,5.

В = 28 (зеленые точки); Г = 20 (синие точки). Получаем, S = = 37 кв.ед.

В = 7, Г = 8, S = В + − 1= 10

S = 4 4 – 4 3 1 = 10 S = В + – 1 B = 9 Г = 4 S = 9 + – 1 = 10 Найдите площадь фигуры

S = 5 5- (2 5 + 2 5 + 3 3) = 10.5 Найдите площадь фигуры S = В + – 1 B = 9 Г = 5 S = 9 + – 1 = 10.5

Найдите площадь фигуры S = 5 ( 2 + 3 ) =12.5 S = В + – 1 B = 10 Г = 7 S = 10 + – 1 = 12.5

Найдите площадь фигуры S = 6 4 = 12 S = В + – 1 B = 11 Г = 4 S = 11 + – 1 = 12

Найдите площадь фигуры S = В + – 1 B = 5 Г = 4 S = 5 + – 1 = 6 S = 6 4 - 6 2 = 6

В общем случае площадь многоугольника можно найти через координаты (х1; у1), (х2; у2), …, (хn; уn) последовательных вершин многоугольника по формуле:     Отличительной особенностью данной формулы является то, что площадь здесь выражается не через характеристики самого n-угольника (стороны, углы), а через координаты его вершин. Она достаточно удобна в практических задачах. 

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2). S = 10 10 - 4 8 2 = 68 (0;2) (8;0) (10;8) (2;10) (0;2) S = |(0-8 2)+(8 8 – 10 0) + (10 10 – 2 8) + (2 2 – 10 0)|= = 68

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6). S = (9 + 3) 5 = 30 (1;1) (10;1) (8;6) (5;6) (1;1) S = |( 1 1 - 10 2)+(10 6 – 8 1) + (8 6 – 5 6) + (5 1 – 6 1)| = 30

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9) S = 2 7 = 14 S = |( 1 2 - 8 7)+(8 4 – 8 2) + (8 9 – 1 4) + (1 7 – 9 1)| = = 14 (1;7) (8;2) (8;4) (1;9) (1;7)

(1;2) (3;6) (7;4) (9;-2) (5;1) (-3;-2) (-1;5) (1;2) S = |( 1 6 - 3 2)+(3 4 – 7 6) + (7 (-2) – 9 4) + (9 1 – 5 (-2))+(5 (-2) – (-3) 1) + ((-3) 5 – (-1) (-2)) + ((-1) 2 – 1 5)|= = 46