Уроки математики / Конспект урока / Урок "Логарифмы и их свойства"(10 класс)

Урок "Логарифмы и их свойства"(10 класс)

Улан-Удэнский институт железнодорожного транспорта -

филиал ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого занятия по математике

по теме «Логарифмы и их свойства»

Стогова О.О.

Улан-Удэ 2015

ПРИНЯТО

цикловой методической комиссией

математики и информатики

протокол № __ от «____» _________ 20 ____ г

Председатель ЦМК

_________________ Т.Ю. Мартынова

(подпись) (ФИО)

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора колледжа по НМР

_________________ В.А. Ларченко

«____» ________________ 20 ____ г.

Автор - Стогова О.О., преподаватель высшей квалификационной категории

Улан - Удэнского колледжа железнодорожного транспорта

Рецензенты –– Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта, методист.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого занятия по математике

по теме «Логарифмы и их свойства»

Стогова О.О.

Пояснительная записка

Данное занятие рассматривается в разделе курса алгебры «Корни, степени и логарифмы» и является последним занятием по теме «Логарифмы и их свойства». Эта тема помогает дальнейшему развитию пространственного представления и изобразительных умений; логического мышления и речи; умения проводить систематизацию.

В ходе занятия формируется и совершенствуется математический язык (словесный, символический); качества личности, необходимые для жизни в современном мире (ясность, точность мысли, интуиция); отношение к математике как к части общечеловеческой культуры. На занятии ведется повторение определения логарифма, свойств логарифма, формул применяемых для преобразований выражений, с опорой на ранее изученный материал степени и корни; при решении показывается связь между данными темами , а также связь темы с внешним миром. Последнее является важным звеном в сознательном восприятии учебного материала. Для обеспечения оптимального взаимодействия между преподавателем и студентами на занятии предусмотрены: организация проблемного диалога; использование «готовых» знаний; применение обучающих серий; использование кроссворда, таблиц; компьютерная презентация; самостоятельная работа; работа в парах; в группе, само- и взаимоконтроль, тестирование.

Для поддержания интереса и устойчивой концентрации внимания предусмотрена смена видов деятельности: фронтальная работа – учебный диалог; индивидуальная работа – работа в паре или группе; компьютерная презентация – знакомство с новым материалом и новыми понятиями; самостоятельная работа – закрепление материала; работа в парах и в группах – решение задач; компьютерная презентация – связь с реальным миром.

Контроль над деятельностью студентов в ходе занятия осуществляется со стороны преподавателя, предусмотрены самоконтроль, самооценивание и взаимооценивание.

Технологическая карта занятия

Дисциплина: математика группа ЭПСл-13143

Преподаватель: Стогова Ольга Олеговна

Тема: Свойства логарифма

Тип занятия: комплексное применение знаний и умений

Вид/ Форма: занятие-практикум/ фронтальная, групповая, индивидуальная, парная.

Цель:

Образовательная обобщить, систематизировать и закрепить теоретические знания по данной теме и продолжить применение знаний при решении задач.

Развивающая: развивать навыки самоконтроля, логическое мышление, пространственное восприятие, познавательный интерес, математически грамотную речь, прививать любовь и бережное отношение к природе;

Воспитательная: совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность, усидчивость.

Применяемые методы, педагогические технологии:

информационно – иллюстративный; проблемный диалог; дидактическая игра, самостоятельная работа, элементы информационных технологий.

В результате проведения занятия формируются следующие компетенции:

-Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество;

-Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

-Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личного роста.

-Самостоятельно определять задачи профессионального и личного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение профессионального и личностного развития.

-Работать в коллективе и команде, эффективно общаться, брать на себя ответственность за работу членов команды, результат выполнения заданий.

После изучения данной темы студент должен

Знать: определение логарифма, логарифмическое тождество, свойства логарифма степени и корня, основные формулы применяемые для решения и преобразований.

Уметь: применять свойства и определения при решении, вычислении, упрощении, нахождении значений логарифмических выражений.

Обеспечение занятия:

  1. ТСО, раздаточный материал и наглядные пособия:

Презентации по теме, лист самооценки (для каждого студента), плакат с кроссвордом, тест для самостоятельной работы, мультимедийный пректор, ноутбук, раздаточный материал.

2.Используемая литература:

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2013.

2. Богомолов Н.В.Практические занятия по математике. М.: Юрайт, 2013.

3.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.Учебник.,2015г

4.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.

Задачник.,2015г

Мотивационный компонент занятия: осознание значимости изучаемого материала, включение студентов в учебную деятельность, необычные элементы обучения, осознанное стремление работать вместе с другими, хорошо и быстро получать нужный всем результат

Междисциплинарные связи: алгебра, физика, астрономия

Внутри дисциплинарные связи:

Тема

Знания и умения по теме

Действительные числа

Умение выполнять действия с действительными числами.

Понятие логарифма

Определение, тождество, формулы

Свойства логарифмов

Формулы для вычисления

Свойства степени, корня

Формулы для вычисления

Структура занятия:

  1. Организационный этап (2мин.)

- приветствие, работа с журналом

-сообщение темы, целей, постановка учебных задач

- мотивация

  1. Основной этап ( 84мин.)

  1. Актуализация знаний (17 мин)

- проверка домашнего задания(10мин);

-интеллектуальная разминка(разгадывание кроссворда)

(работа в группе, по рядам)(7);

2.Формирование знаний, умений (17)

-проверка теоретических знаний (собери определение)(5)

-проверка свойств логарифмов(найди пару)(8)

3.Этап закрепление материала ( 50 мин.)

-Дидактическая игра «Путешествие солнечной системе»(22)

- Решение тестовой работы(12)

- Найди ошибку(4)

- Знакомство с дополнительным материалом.(12)

С помощью презентации «Дополнительная информация о логарифмах»,

рассматриваем о логарифмах в природе и других науках

  1. Заключительный этап ( 4мин.)

- Рефлексия

- Домашнее задание

- Итог занятия.

Тема: Логарифмы и их свойства

Тип занятия: комплексное применение знаний и умений

Вид/ Форма: занятие-практикум/ фронтальная, групповая, индивидуальная, коллективная.

Цель:

Образовательная обобщить, систематизировать и закрепить теоретические знания по данной теме и продолжить применение знаний при решении задач.

Развивающая: развивать сознательное восприятие учебного материала, зрительной памяти, развивать навыки самообучения, самоорганизации, самоконтроля, логическое мышление, познавательный интерес, математически грамотную речь, способствовать развитию творческой деятельности студентов.

Воспитательная: совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитание познавательной активности, воспитать у студентов любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Применяемые методы, педагогические технологии:

Коммуникативный, информационно – иллюстративный; проблемный диалог; метод «неоконченных решений», самостоятельная работа, элементы информационных технологий, систематизирующий и контрольный .

Ход занятия.

I. Организационный этап.

1)Сообщаю тему, цель занятия и основные задачи (слайды 1,2)

Дорогие ребята, тема нашего занятия «Логарифмы, их свойства». На уроке мы должны систематизировать знания по этой теме, продолжить решения задач, рассмотреть нестандартные, практические задачи.

Я надеюсь на ваше внимание и активность на уроке, а также надеюсь, что занятие пройдет интересно и с пользой для всех нас. Откройте тетради, запишите число, тему. Обратите внимание на материалы на ваших столах. Начнем с того, что подпишем таблицу самооценки, в ней прописаны этапы для оценивания, и еще прошу обратите внимание на листы с лесенкой. Прочитайте внимательно, постарайтесь максимально честно зрительно поставить себя(т. е. свои знания по теме) на ступеньке этой лесенки.

Таблица самооценки студента Ф И:

Оценить работу на занятии по пятибалльной системе, по следующим этапам:

1.Проверка домашней работы

2.Работа с теоретическим материалом(собрать определение)

3.Работа с формулами(найди пару)

4. Дидактическая игра

5.Тестовая работа

6.Итоговая оценка за занятие

Определи свое место на этой лестнице

а) в начале сегодняшнего занятия ;

б) в конце сегодняшнего занятия ;

II. Основной этап.

2)Проверка домашней работы.

Домашнее задание состоит из четырех заданий, решение заданий ребята заранее готовят на доске, выходят по одному и каждое задание объясняют.

1.Вычислите:

0,7(2 + = 2,1

Решение: Выполняем по действиям

1) ; 2)2+ ; 3) 4) 3 = 2,1

.Вычислите:

= = 49.

Решение: выполняем по действиям

1) 2)

3) Упростите выражение:

4) Найти значение выражения:

= + = 6+8 = 14

Решение: выполняем по действиям

1); 2); 3)

4)

Студенты проверив свое решение, ставят себе оценку за домашнее задание в таблицу самооценки.

3)Интеллектуальная разминка:

разгадывание кроссворда, состоящего из вопросов на знание основных математических понятий, определение и свойств логарифма, исторических моментов.

Работа выполняется в паре, осуществляется на листах и затем проверяется на большом плакате. Подводим итог этому этапу по рядам, какой ряд дал больше правильных ответов.

Материал для интеллектуальной разминки:

По горизонтали

По вертикали

3.Формулировка раскрывающая содержание понятия (определение)

4.Сопровождение доказательства наглядным примером(иллюстрация)

5.Логарифм в основании которого лежит число Эйлера (натуральный)

8. Конструкция (построение)

10.Главная часть логарифма (основание)

11.Создатель таблицы логарифмов(Непер)

12.Третий вид формулы, выражающий свойство логарифмов(Степень)

1.Логарифм по основанию 10 (десятичный)

2.Логарифм этого числа по основанию 2 равен 4(шестнадцать)

5.Числа используемые для счета предметов(натуральные)

6.Из определения логарифма, следует логарифмическое…(тождество)

7.Показатель степени , в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число(логарифм)

9.Вид формулы логарифма(произведение)

4)Собери определение логарифма или рассматриваемые три теоремы.

Определение или теорема дается в разрезанном виде по словам, каждая группа(4 человека) собирает данное им задание. Проверяем с помощью слайдов (3,4,5,6).Преподаватель, вместе со студентами анализирует работу каждой группы и затем они выставляют себе оценку в таблице за данный этап урока.

1)Логарифмом положительного числа в по положительному и отличному от1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в .

2)Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел

3)Логарифм частного (где - положительные числа, причем ) равен разности логарифмов числителя и знаменателя

log a (b : c) = log a b – log a c

4)Логарифм степени (где положительные числа и )

равен произведению показателя степени на логарифм основания степени

5)Проверка теоретических знаний , основных формул, «Найди пару»

Данное задание выполняется по теме «Логарифмы и их свойства», осуществляется так: для определения или формулы найти продолжение. Выполненная работа проверяется взаимопроверкой, с выставлением оценки в таблицу самооценки.

1

n · loga x;

1

2

2

3

3

4

4

loga a

5

loga (x · y)

5

loga x − loga y 

6

2

6

loga 1

7

3

7

1

8

9

loga (x : y)

9

loga x + loga y 

10

10

loga xn 

11

b

11

log327

12

12

log24

13

0

13

1

5) Дидактическая игра « Путешествие по солнечной системе».

Этот этап урока имеет свое название «Путешествие по Солнечной системе». Давайте вспомним сколько планет в Солнечной системе? Всего 9 планет. Они обозначены квадратиками на приведенной схеме. От каждого квадрата проведено несколько стрелок. Стрелки означают возможные этапы нашего воображаемого путешествия от планеты к планете. Мы должны посетить все планеты, не побывав дважды ни на одной из них. Но на нашей схеме к каждому квадратику проведены 3 или даже более стрелок. Это значит, что всякий раз нам предлагается несколько вариантов передвижения. Но какой вариант выбрать? По какой стрелке пойти?

Верный путь нам подскажет ответ задачи, которую мы решим на каждой планете. К задаче даются от 3 до 8 вариантов ответа. Все они зашифрованы цифрами от1 до3; 5 или 8. Найдя верный ответ, мы получаем руководство к действию, то есть узнаем ту цифру, рядом с которой стоит стрелка, указывающая безошибочное на данном этапе направление движения.

Свое путешествие мы начнем с ближайшей к Солнцу планеты. Это… (Кто знает?) Да, с планеты Меркурий. Мы летим на планету Меркурий: находим карточку, где написана задача про эту планету и решаем ее. Получив ответ, находим его номер среди номеров, предложенных вариантов ответа и продолжим свой путь в направлении, какое указывает стрелкой, стоящей у найденного номера. ( Класс разбит на 6 групп по 4 человека в каждой группе и каждая группа выполняет задание.)

Задача планеты Меркурий

Расстояние Меркурия от Солнца составляет приблизительно млн км. Но межпланетные расстояния принято считать не в километрах, а в астрономических единицах. Одна астрономическая единица равна расстоянию от Земли до Солнца, т.е.300 млн км. Какую часть астрономической единицы составляет расстояние от Меркурия до Солнца?

Варианты ответов:1) ; 2) ; 3) ; 4) млн км; 5) .

Решение: 300 = (частей) стоит под номером 5. От этого номера проведена стрелка к квадрату Сатурн. Значит наше путешествие к планете Сатурн.

Задача планеты Сатурн

По своим размерам Сатурн уступает лишь Юпитеру: ее диаметр – 120000км.

У этой планеты достаточно много спутников. Диаметры наибольших из них, Титана и Реи, составляют соответственно и

части диаметра Сатурна. У кого из спутников диаметр больше.

Варианты ответов: 1) Их диаметры равны; 2) Диаметр Титана больше;

3) Диаметр Реи больше.

Решение: Диаметр Титана больше, так как и

и значит . Ответ – 2. От него стрелка направлена к квадратику Венера. Летим к этой планете. По силе блеска Венера - третье светило неба, после Солнца и Луны. Венера ближе к Солнцу, чем Земля и ее можно увидеть рядом с Солнцем во время утренней или вечерней зари.

Задача планеты Венера

Планета Венера получает от Солнца много тепла и света. Расчеты показали, что 0,5 венерианского года температура поверхности Венеры равна (240 0 С, 0,3 этого времени температура составляет С, а остальную часть года на Венере «прохладно»

0С. Какую же часть венерианского года на поверхности планеты температура самая низкая?

Варианты ответов:

1) 0,2; 2); 3) 0.5; 4); 5)- 4200C; 6)4500C; 7) 4800C; 8) 6.

Решение: (240 0 С= С;0С= Год принимается за единицу, тогда 0,5 + 0,3 = 0,8. 1 - 0,8 = 0,2 - под номером 1. Летим к планете Нептун.

Задача планеты Нептун

Земной год ( годом называют период обращения планеты вокруг Солнца ) равен )суток. А вот год на Нептуне не прожил бы, пожалуй, ни один человек. Год на Нептуне длится

( ) земного года. За сколько же земных суток Нептун делает полный оборот вокруг Солнца?

Варианты ответов: 1) 60193 ; 2) ; 3).

Решение: Земной год составляет суток

год на Нептуне длится( ) = 164 земного года.

365  164 = 60193 – под номером 1. Мы направляемся к планете Земля.

Задача планеты Земля

По астрономическим меркам, Луна находится совсем недалеко от Земли: до нее всего примерно )км. Сколько секунд займет путешествие от Земли до Луны и обратно, если воспользоваться ракетой, летящей со скоростью, близкой к скорости звука – ( мс?

Варианты ответов:

1) 2 000 000сек; 2)1000000 cек; 3)2000 сек; 4) 1000 сек; 5)340000 сек.

Решение:340 000км ; =340 мс

340 000 км = 340 000 000 м 340 000 000 : 340 м/с = 1 000 000 сек. И обратный путь займет столько же времени, значит 2 000 000 сек. Ответ под номером 1. Стрелка к планете Марс.

Задача планеты Марс

Во сколько раз ракета тяжелее на Земле, чем на Марсе, если известно, что один «земной» килограмм весит на Марсе ( кг.

Варианты ответов: 1) в 2,777… раза; 2) в 1,36 раза; 3) в 3,6 раза.

Решение: Переведем в число ( кг = 0,36. Ракета на Земле будет во столько же раз тяжелее, чем на Марсе во сколько 1 кг на Земле тяжелее, чем на Марсе, то есть 1: 0,36 = 2,777… раза.

Ответ зашифрован под номером 1. Летим к Плутону.

Задача планеты Плутон

Плутон делает полный оборот вокруг собственной оси за

земных суток. Сколько оборотов (ответ округлить до сотых) сделает Плутон за 3 земных года? Земной год составляет

земных суток.

Варианты ответов: 1) 173,58; 2) 171,48; 3) 777,983;

4) 777,98; 5) 57,160.

Решение: Плутон делает полный оборот ) = 6,39

Земной год составляет = 365, 25 суток

365,25  3 = 1095, 75 (земных суток за 3 года). За это время Плутон

1095, 75 : 6,39 = 171, 478…Округляем до сотых 171,48. Ответ зашифрован под номером 2. Летим к планете Уран. Эта планета окружена огромным количеством облаков, которые движутся с большими скоростями.

Задача планеты Уран

Облака на этой планете могут мчаться со скоростью от

км час до скорости, в полтора раза большей. Найти разность между максимальной и минимальной скоростями движения облаков.

Варианты ответов: 1)кмчас; 2) 248кмчас; 3) кмчас; 4) 251кмчас; 5) 125,15 кмчас.

Решение: Максимальная скорость= 250,3км/час

250,3  1,5 = 375,45 км/ч. Минимальная – 250,3 км/ч. Тогда разность между ними 375,45 – 250,3 = 125,15 км/ч.

Задача планеты Юпитер

Масса планеты Сатурн в 3,3 раза меньше массы планеты Юпитер, масса которого в 20,9 раза больше массы Урана, масса которого в 1,5 раза меньше массы планеты Нептун, масса которого больше массы Венеры в 2 раза. Найти массу планеты Юпитер, если масса Венеры .

Варианты ответов: 1) 11286; 2) 23357; 3) 22987.

Решение: Венера –= 405; значит Нептун – 810; Уран – 540; Юпитер – 540  20,9 = 11286.

Подведем итог путешествию по Солнечной системе в таблице самооценки.

6)Самостоятельная работа(тестовые задания)

Вариант №1.
1.  Найдите значение выражения:

а)-2; б)4; в)-4; г)

2.  Найдите значение выражения :

а)2,36; б)1,64; в)-2,36; г) 0,8.

3.  Найдите значение выражения:

а)-; б)4; в)1; г) .

4. Найдите значение выражения:

3 + log303 + log3010.

а)-3; б)4; в)-4; г) .

5. Найдите х, если:

  

а)32; б)4; в)16; г)64.

Вариант №2.

1.  Найдите значение выражения:

а)-3; б)3; в)-4; г) .

2.  Найдите значение выражения: .

а)35; б)12; в); г) .

3.   Найдите значение выражения:

а)7; б)6; в)-6; г) .

4.  Найдите значение выражения:

log525 – log50,2 + 3.

а)6; б)4; в)-6; г) .

5 .  Найдите х, если.

  

а)729; б)81; в)243; г)216.

Вариант №3.
1. Найдите значение выражения:

а)-2; б)4; в)-4; г) .

2.  Найдите значение выражения:

а)-2; б)2; в)-4; г) .

3. Найдите значение выражения:

; а)-2; б)8; в)-8; г) .

4.  Найдите значение выражения:

; а); б)4; в)-8; г) .

5.     

а)32; б)4; в)16; г)8.

Вариант №4.
1.  Найдите значение выражения:

log618 + log62

а)2; б)4; в)6; г)3

2.  Найдите значение выражения:

а); б)2; в)8; г) .

3.  Найдите значение выражения:

6 ∙

а); б)54; в)45; г) .

4. Найдите значение выражения :

.

а); б)4; в)6; г) .

5.  Найдите значение выражения:

  

а)36; б)81; в)243; г)216.

Собрав листы с ответами, ребята обменявшись тетрадями с соседом, проверяют (ответы приводится на слайде 10) и оценивают друг друга, выставляя оценку в таблицу.

7)Данный этап занятия обозначен как «Умение проводить экспертизу», это значит вы должны посчитать итоговую оценку за занятие. Подводят итог.

8)Этап «Найди ошибку» оценивается индивидуально, т.е. кто найдет ошибку в задании, тот и получает дополнительную оценку в журнал. На слайде 11 приводится решение математического софизма.

Логарифмический софизм.

Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование , тоже не вызывающее сомнений. Большему значению соответствует больший логарифм, значит, , т.е. .
После сокращения на , имеем 2>3.

Ответ был дан студентом Лапиным Олегом, он догадался, что число

lg = - lg 2 отрицательное и знак неравенства необходимо было поменять на противоположный, тогда 2< 3.

9)Дополнительная информация о логарифмах.

Где в жизни, на практике, в природе, встречаются логарифмы,

которые могут использоваться в повседневной жизни, а также в

каких областях других наук используются логарифмы (использование

презентации, приложение 2). По данному вопросу выступит Владимир Скалий.

III. Заключительный этап

Домашнее задание№14,15,16,17 из дополнительных источников;

читать п.41, 43, стр248-262.

Итог занятия: ребята подсчитав средний результат по четырем этапам, получают оценку за занятие. Кто поставил себе за работу на уроке отлично? Хорошо? Кто считает, что ему надо еще повторить этот материал?

Отличившимся студентам выставляется по две оценки.

Заключительное слово преподавателя:

Обратили внимание на лесенку, если вы за нашу пару продвинулись хотя бы на одну ступеньку вверх, т. е. вы узнали что-то новое, то это уже успех!

Так как человек, который сдвинул гору, начинал с того, что перетаскивал с места на место мелкие камни!

Самоанализ открытого занятия.

1.Общая характеристика группы.
Открытое занятие проводилось в группе ЭПСл-13143. Студенты данной группы имеют средний и ниже среднего уровни мотивации к обучению, довольно развитые способности к изучению математики у половины группы, остальная часть группы стараются, делают попытки что- то понять и усвоить.

2.Определение целей, задач урока, формы его проведения.

Результаты проведенного занятия позволяют сделать вывод о правильности выбора целей, определения задач и формы проведения занятия. В ходе занятия были закреплены определение, основные свойства логарифма, освоенные знания были применены для решения конкретных примеров. Применение разнообразных методов способствовало развитию у студентов математического вкуса и интуиции; формированию логики мышления. Форма проведения занятия способствовала развитию культуры научных и учебных взаимоотношений между студентами, между студентами и преподавателем. Решая задания студенты осознали необходимость умения вести дискуссию и излагать свои идеи, грамотно ссылаться на математические факты и понятия. На занятии царила атмосфера сотрудничества.

3.Структура занятия.


Структура занятия находится в полном соответствии с поставленными задачами. Каждый этап занятия являлся полноправной, логически обоснованной и завершенной частью схемы занятия. В ходе занятия были проконтролированы знания студентов теоретического материала по данной теме. В работе по теоретическому материалу основная масса студентов продемонстрировала живой интерес к данной теме. В процессе решения конкретных примеров ребята дискутировали, предлагали свои подходы к решению задач, активно принимались за решение задач, в том числе и предложенных к самостоятельному решению. Всему этому способствовали применяемые методы обучения, используемые на занятии.

4.Итоги урока.

План открытого занятия выполнен полностью; цели урока достигнуты, формы и методы соответствовали поставленным целям. Структура и логика построения занятия способствовали достижению цели. В ходе занятия студенты были включены в активную познавательную деятельность.

Проведенное открытое занятие продемонстрировало заинтересованность студентов, способствовало формированию у каждого из них собственных методов организации научной и учебно-познавательной деятельности.

Результаты обучения ориентированы на самооценку студентов, на формирование адекватной самооценки. На занятии проводилась оценка промежуточных результатов обучения, велась динамика результатов обучения студентов относительно самих себя.

Автор
Дата добавления 21.01.2018
Раздел Алгебра
Подраздел Конспект урока
Просмотров471
Номер материала 5178
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.