Уроки математики / Научная работа / Урок по математике на тему "Формулы высших степеней"

Урок по математике на тему "Формулы высших степеней"

Введение.

Формулы сокращенного умножения, как нам известно, упрощает ряд вычислений. Лично меня заинтересовало то, что нельзя ли возвести двучлен в n-ю степень.

Цели: Рассмотреть вопрос о существовании  других формул

сокращенного умножения, которые не рассматриваются в школьной программе.

Знакомство с новыми методами решения примеров с применением формул сокращенного умножения.

Рассмотреть интересные свойства треугольника Паскаля.

Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы.

Создать условия для самореализации личности.

 Задачи:

  1. Собрать сведения из истории математики о формулах сокращенного умножения.

  2. Изучить способы возведения в  n – ую степень алгебраической суммы двух слагаемых.

  3.  изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»;

  4. - выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;

  5. - определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;

  6. - сформулировать вывод и итоги исследования;

  7. - создание иллюстративного компьютерного материала по треугольникам;

  8. - выступить с презентацией своей творческой работы

Гипотеза исследования:

Я думаю, что  после изучения данной темы  и применения ее на практике,  я расширю и углублю свои знания, а это будет способствовать развитию логического и творческого мышления в процессе решения проблемных задач. Для решения поставленной задачи пользовалась следующей литературой.

Чтобы исследовать поставленный вопрос изучила очень много литературы. Возвела в степень выше трех алгебраические суммы двух слагаемых. Мне было очень интересно выполнять данную работу.

http://ru.wikipedia.org/wiki/

Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

 Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. –М. : Просвещение, 2014.- 240 с. : ил.- ISBN 978-5-09-019315-3.

В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дидактические материалы: алгебра 8 класс; М.: «Просвещение», 2015.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика ( пособие для поступающих в техникумы): Учеб. Пособие.- М.; Высш. Шк., 1984.-351 с., ил.

М. К. Потапов, Я. В. Шевкин. Дидактические материалы: алгебра и начала анализа 10 класс; М.: «Просвещение», 2014.

Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с. 8. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.

Мордкович А. Г. Алгебра 7 класс. В 2 часа Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – 13-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2009.- 160 с.: ил. ISBN ISBN 46-01198-9.

С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 10; М.: «Просвещение», 2008.

С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 7; М.: «Просвещение», 2008.

 Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.

 Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

portfolio.1september.ru

Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003

При изучении материала по этой теме, я узнала много нового и интересного. Оказалось, что  формулы сокращенного умножения можно использовать  для рационального вычисления выражений, при упрощении выражений, при решении уравнений, доказательстве тождеств и так далее.

В процессе работы я самостоятельно вывела различные формулы сокращенного умножения, причем некоторые из них доказала несколькими способами, познакомилась с треугольником Паскаля.

Изучая разновидности треугольников, я выяснила, что треугольник Паскаля — арифметический треугольник, назван в честь Блеза Паскаля.

  Я прорешала множество интересных задач, которые не встречались на уроке математики. Мне очень нравится предмет математика, я считаю, что те знания, которые я приобрела, готовя эту  работу пригодятся в дальнейшей работе над проблемными задачами.

Сравнивая  два способа решения, пришла к выводу, что применяя для нахождения коэффициентов в разложении  треугольник Паскаля,  возведение в любую степень решается рациональнее. Поэтому, если мне придется возводить двучлен в п-ую степень, я буду применять второй способ.

Основная часть.

«Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому, и я научусь».

(Конфуций)

Эту тему я выбрала, потому что была очень увлечена тем, что хотела продолжить формулы сокращенного умножения для степеней выше трех и еще рассмотреть треугольник Паскаля, с которым нас учитель вкратце ознакомила. Для этого я с начала изучила историю возникновения формул сокращенного умножения и начала возводить двучлен в степень начиная с нулевой. Также рассмотрела геометрическую интерпретацию формул сокращенного умножения.

Историческая справка:

Глава 1.

Слово «алгебра» возникло после появления трактата « Китаб аль-джебр валь-мукабала» математика и астронома из г. Хивы Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми (787-ок 850).

Термин «аль-джебр», взятый из названия этой книги, в дальнейшем стал употребляться как «алгебра».

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а2», а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Например, тождество (а+в)2 =а2+2ав+ в2 во второй книге «начал» Евклида (III в. До н. э.) формулировалась так: «если прямая линия (имеется в виду отрезок) как либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения. Рис 1В дальнейшем я приведу пример такого доказательства.

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту(16 век).

На современном уровне развития математики данные формулы были обоснованы Исааком Ньютоном. При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля. Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный

инструмент для определения этих самых коэффициентов, который впоследствии назвали  «треугольник Паскаля».

Глава 2.Формулы школьного курса математики

На уроке математики я познакомилась с формулами сокращенного умножения, которые знаю наизусть.

Все они доказываются раскрытием скобок через умножение многочленов и приведением подобных слагаемых.

Разность квадратов:

(a +b) (a – b) = a² - b²                 (1)

Квадрат суммы и квадрат разности:

(a + b)² = a² + 2ab +b²                 (2)

(a – b)² = a² - 2ab + b²                 (3)

Сумма и разность кубов:                                                                            

(a + b) (a² - ab + b²) = a³ +b³        (4)

(a – b) (a² + ab + b²) = a³ - b³        (5)

Куб суммы и куб разности:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³     (6)

(a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³        (7)

Возведение многочлена в  n – ую степень

Дальше меня заинтересовало: как возвести сумму двух слагаемых в более высокую степень, например в четвертую, пятую или шестую. И я решила поэкспериментировать.

Для начала я решила рассмотреть куб суммы двух слагаемых, для чего расписала его в виде произведения суммы двух слагаемых на квадрат тех же слагаемых: (a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3

Потом поработала с четвертой степенью двух слагаемых, представила ее  как результат произведения квадратов двух слагаемых и получила:

(a+b)4=(a+b)2(a+b)2=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Аналогичным способом возвела в пятую степень сумму двух слагаемых:

(a+b)5=(a+b)2(a+b)3=(a2+2ab+b2)(a3+3a2b+3ab2+b3)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+

+5ab4+b5

Попробовала расписать  шестую  степень как произведение квадрата и четвертой степени суммы двух слагаемых:

(a+b)6=(a+b)2(a+b)4=(a2+2ab+b2)(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)=a6+6a5b+15a4b2+

+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

Затем  седьмую степень представила как произведение куба суммы и четвертой степени суммы:(a+b)7=(a+b)3(a+b)4=(a3+3a2b+3ab2+b3)*

*(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

Надо  заметить, что данные преобразования можно было производить и другим способом.  Например, сумму двух слагаемых возвести в шестую степень, как произведение кубов тех же самых слагаемых.

Особенно меня удивило то, что все коэффициенты (их я выделила жирным шрифтом), полученные в результате умножения, были симметрическими. Оказалось, что это неспроста, данная закономерность среди коэффициентов многочлена называется «Треугольник Паскаля» по имени его автора

Глава 3. Треугольник Паскаля

Но кроме закономерности среди коэффициентов прослеживается так же замечательная закономерность и среди степеней получившегося многочлена. Оказывается степени входящих одночленов образуются следующим образом: степень первого слагаемого, начиная с большей,  с каждым разом уменьшается на единицу, а степень второго слагаемого наоборот увеличивается от нулевой до наибольшей.

Строится «Треугольник Паскаля»  следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения «куба суммы». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

             Номер             Строки

  1.                         1

  2.                        1 1

  3.                      1 2 1

  4.                     1 3 3 1

  5.                   1 4 6 4 1

  6.                1 5 10 10 5 1

  7.             1 6 15 20 15 6 1

  8.            1 7 21 35 35 21 7 1

…                                       ……

Дальше я предлагаю рассмотреть примеры, которые прорешала самостоятельно и в которых применяются формулы сокращенного умножения (ФСУ).

Блез Паскаль – французский математик

Блез Паскаль (19 июня 1623, Клермон-Ферран, — 19 августа 1662, Париж) — французский математик, физик, литератор и философ.

Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных новых направления математических исследований. В возрасте шестнадцати лет написал замечательный трактат о предмете проективной геометрии и в 1654 году переписывался с Пьером де Ферма по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики.

Треугольник Паскаля как разновидность треугольника

Изучая разновидности треугольников, я выяснила, что треугольник Паскаля — арифметический треугольник, назван в честь Блеза Паскаля. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.
Ещё я много интересного узнала из книги "Математические новеллы" (М., Мир, 1974) Мартина Гарднера, что "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Я рассмотрела схему построения треугольника, предложенную Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе»: предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смайликом, а тремя, соответственно - розовыми. Это один из вариантов построения треугольника.

Изучая специальную литературу, я узнала, что еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали, но не будем придираться, такая терминология встречается в публикациях), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть.

Если возводить двучлен в n-ю степень используя треугольник Паскаля, получается вот что:

(а+в)0=1

(а+в)1=а+в

(а+в)2= а2 +2ав+в2

(а+в)3= а3+3а2в+ 3ав2+в3

(а+в)4=а4+4а3в+6а2в2+4ав3+в4

(а+в)5=а5+5а4в+10а3в2+ 10а2в3+5ав4+в5

(а+в)6=а6+6а5в+15а4в2+ 20а3в315а2в4+6ав5+в6

Алгоритм возведения двучлена в n-ю степень

  1. Выписать в установленном порядке все одночлены которым подобны члены итогового многочлена.

  2. Записать треугольник Паскаля для (n+1)-й строки.

  3. Записать последовательно в качестве коэффициентов выписанных одночленов числа из (n+1)-й строки треугольника Паскаля.

  4. При возведении в степень суммы (а+в)n поставить перед всеми одночленами знак «плюс».

  5. При возведении в степень разности (а-в)n поставить перед первым одночленом знак «плюс», перед вторым одночленом - знак «минус» и далее чередовать знаки до последнего одночлена.

Применение формул сокращенного умножения.

Сравнивая   способы решения, заключаю, что применяя для нахождения коэффициентов в разложении  треугольник Паскаля,  возведение в любую степень решается рациональнее. Поэтому, если мне придется возводить двучлен в п-ую степень, я буду применять этот способ.

Заключение

Посмотрите на многообразие формул сокращенного умножения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Конечно очень много вопросов. Безусловно, человечество «додумалось» до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и десятилетия. Но как бы мне хотелось самой внести какой-либо вклад в развитие прекрасной науки математики.

При изучении материала по этой теме, я узнала много нового и интересного. Оказалось, что  формулы сокращенного умножения можно использовать  для рационального вычисления выражений, при упрощении выражений, при решении уравнений, доказательстве тождеств и так далее.

В процессе работы я самостоятельно вывела различные формулы сокращенного умножения, причем некоторые из них доказала несколькими способами, познакомилась с треугольником Паскаля.

 Я прорешала множество интересных задач, которые не встречались на уроке математики. Мне очень нравится предмет математика, я считаю, что те знания, которые я приобрела, готовя эту  работу, пригодятся мне в дальнейшей учебе и подготовке к выпускным экзаменам. Данная тема актуальна, так как математику нельзя представить без формул сокращенного умножения, потому что они  применяются не только в школьном курсе, но и в курсе высшей математики. Созданная мною работа может использоваться другими учащимися и преподавателями математики на своих уроках. Мне понравилось заниматься исследовательской работой.

     

   

Список литературы:

http://ru.wikipedia.org/wiki/

Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

 Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. –М. : Просвещение, 2014.- 240 с. : ил.- ISBN 978-5-09-019315-3.

В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Дидактические материалы: алгебра 8 класс; М.: «Просвещение», 2015.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика ( пособие для поступающих в техникумы): Учеб. Пособие.- М.; Высш. Шк., 1984.-351 с., ил.

М. К. Потапов, Я. В. Шевкин. Дидактические материалы: алгебра и начала анализа 10 класс; М.: «Просвещение», 2014.

Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с. 8. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.

Мордкович А. Г. Алгебра 7 класс. В 2 часа Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – 13-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2009.- 160 с.: ил. ISBN ISBN 46-01198-9.

С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 10; М.: «Просвещение», 2008.

С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра 7; М.: «Просвещение», 2008.

 Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.

 Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

portfolio.1september.ru

Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003

Прилагаются цветные геометрические интерпретации формул сокращенного умножения, треугольника Паскаля и работа на электронном носителе в виде слайдов.

Квадрат суммы

ав

в2

а2

ав

в

а+в

(а+в)22+2ав+в2

Квадрат разности.

а

а в

(а-в)22- 2ав+в2

Разность квадратов

a b

a

b

b


Автор
Дата добавления 18.04.2018
Раздел Алгебра
Подраздел Научная работа
Просмотров93
Номер материала 5590
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.