Урок «Разложение вектора по трём некомпланарным векторам»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Если вектор представлен в виде 

где  x, y, и   z   - некоторые числа, то говорят, что вектор  разложен по векторам    ,   и   . Числа  x, y  и z называются коэффициентами разложения.

Докажем теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Пусть    ,     и       - данные некомпланарные вектора. Докажем сначала, что любой вектор р можно представить в виде   . Затем докажем единственность коэффициентов разложения.

Доказательство: Пусть  ,     и        - данные некомпланарные вектора  

Отметим произвольную точку О и отложим от нее векторы. Через точку Р проведем прямую параллельную ОС. Р1 точка пересечения прямой с плоскостью АОВ (если Р принадлежит ОС, то в качестве Р1 возьмем точку О). Через Р1 проведем прямую Р1Р2 параллельную ОВ; Р2 точка пересечения этой прямой с ОА (если Р1 принадлежит ОВ то в качестве Р2 возьмем точку О); 

2) По правилу многоугольника 

Заметим, что векторы ОР2 и ОА, Р2Р1 и ОВ. Р1Р и ОС коллинеарны. Значит, существуют такие числа x, y  и z, что. Получаем, что

Существование разложения доказано.                              

Докажем единственность коэффициентов разложения. Допустим, что имеется ещё одно разложение вектора р;

Вычитая это равенство из  ;  получим

Это равенство выполняется только тогда, когда. Если предположить, например, что  , то из этого равенства получим 

Тогда, векторы    ,     и    – компланарны. Это противоречит условию теоремы.

Значит, наше предположение неверно, ,     Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом. Теорема доказана.

Решим задачу

Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.

По правилу параллелепипеда вектор ВД1 равен сумме векторов ВА, ВС и ВВ1.

Решим эту же задачу под буквой б. Здесь нужно разложить вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.

По правилу треугольника из     треугольника А1В1D1:

Вектор В1D1 равен сумме векторов B1A1+ А1D1 вектор В1A1 из А1В1B равен сумме .В1B + BA1 . Вектор ВВ1 = АА1. Вектор ВА1 = – А1В.

Получим: Вектор В1D1 = (A1A – A1B)+ А1D1 = A1A – A1B+ А1D1 .