Урок "Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам"

Видеоурок «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам» служит наглядным пособием для демонстрации теоретического материала по данной теме. В составе данного видеоурока демонстрируется доказательство трех утверждений, которые определяют теоретическую основу правил разложения вектора по двум неколлинеарным векторам. Материал требует подробного развернутого объяснения, так как является сложным для понимания, но имеет большую важность в решении практических задач.

Представление доказательств в виде видео дает учителю преимущества для достижения задач урока. Материал отображается в разном цвете, выделяя важные понятия и детали. Анимация позволяет хорошо структурировать подачу материала, добиться более глубокого его понимания, легче запомнить теоретическую часть и ход рассуждений в ее доказательстве.

Вначале видеоурока представляется его тема и доказывается лемма о коллинеарности двух векторов. Лемма утверждает, что при условии коллинеарности векторов aˉ и bˉ и при этом aˉ≠0, существует коэффициент k, с которым bˉ= k·aˉ. Для доказательства данной леммы рассматриваются два предположения – в первом случае векторы aˉ и bˉ являются направленными в одном направлении, а во втором случае – в противоположные стороны. Каждый из случаев рассматривается отдельно.

В случае сонаправленности векторов aˉ и bˉ отношение их длин равно некоторому числу k=|bˉ|/|aˉ|. Для сонаправленных векторов число k>=0. Это дает право утверждать о сонаправленности векторов kaˉ и bˉ. Длины этих векторов равны. Это подтверждается на экране соответствующей подстановкой вместо коэффициента k отношения векторов |bˉ|/|aˉ|.

Далее рассматривается случай противоположной направленности векторов aˉ и bˉ. Отношение их будет отрицательным числом k=-|bˉ|/|aˉ|. То есть k<0. Соответственно, вектора kaˉ и bˉ будут сонаправленными и равными. Проверить это равенство можно, подставив в значение вектора kaˉ значение k как отношения |bˉ|/|aˉ|. Вывод данного доказательства также, как и в первом случае, говорит о равенстве векторов kaˉ и bˉ.

Предлагается рассмотреть два неколлинеарных вектора aˉ и bˉ. Утверждается, что если рассматривать некоторый вектор рˉ, то его можно представить через вектора aˉ и bˉ с некоторыми коэффициентами рˉ=хaˉ+уbˉ. Подчеркивается понятие разложения вектора рˉ по векторам aˉ и bˉ. При этом числа х и у называются коэффициентами разложения. Название понятий выделены цветом для лучшего запоминания.

Далее доказывается теорема, на основании которой производится разложение векторов по двум неколлинеарным. Демонстрируется условие теоремы, которая утверждает, что на плоскости данный вектор может быть разложен по двум неколлинеарным векторам, а коэффициенты разложения могут определяться единственным образом. Демонстрация доказательства начинается с построения на экране векторов aˉ и bˉ и некоторого вектора рˉ. Рассматриваются два случая – когда один из неколлинеарных векторов коллинеарен тому вектору, который раскладывается и неколлинеарность всех рассматриваемых векторов.

В первом случае предполагаем, что вектор рˉ коллинеарен вектору bˉ. По теореме коллинеарности векторов, рассмотренной ранее, можно утверждать, что рˉ=уbˉ. Но это значит, что коэффициент перед вторым вектором просто равен нулю рˉ=0·aˉ+у·bˉ. Это и будет разложением вектора рˉ по векторам aˉ и bˉ.

Второй случай  - неколлинеарность всех векторов. Рассмотрение данного случая начинается с построения некоторой точки О, из которой откладываются вектора, равные векторам aˉ, bˉ и рˉ. Эти вектора называют ОАˉ, ОВˉ и ОРˉ. Через точку Р проводится прямая, параллельная ОВˉ. Пересечение ее с прямой ОА обозначается через точку А₁. Согласно построению, можно увидеть, что по правилу треугольника вектор рˉ равен сумме векторов ОА₁ˉ и А₁Рˉ. Однако по условию построения вектора ОА₁ˉ и аˉ, а также А₁Pˉ и bˉ коллинеарны между собой. Поэтому можно говорить о существовании чисел х и у, для которых будет верно ОА₁ˉ=хаˉ и А₁Рˉ=уbˉ. Соответственно, можно представить данный вектор рˉ = хаˉ + уbˉ . Это означает, что вектор рˉ разложен по векторам aˉ и bˉ.

Дополнительно требуется доказать, что разложение рˉ = хаˉ + уbˉ производится единственным образом. Выполняется доказательство от противного. Предполагается, что кроме выведенного разложения рˉ = хаˉ + уbˉ существует другое разложение рˉ = х₁аˉ + у₁bˉ. На экране демонстрируется вычитание из первого уравнения второго. В результате выходит, что сумма (х-х1)аˉ + (у-у1)bˉ равна нулевому вектору. Но данное выражение равно нулю только при равенстве нулю выражений в скобках, то есть равенстве х и х₁, у и у₁. Предположив, что х≠х₁, получим аˉ=-(у-у1)bˉ/(х-х1). А это значит коллинеарность векторов aˉ и bˉ. Мы пришли к противоречию условию. Соответственно х и х₁, а также у и у₁ совпадают.

Видеоурок «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам» может быть использован для подачи учителем материала по новой теме в школе. Также подробное объяснение поможет ученику самостоятельно более глубоко освоить тему. Наглядное представление материала по теме поможет учителю в ходе дистанционного обучения.