УРОК 4 "Дробные выражения"

Дробные выражения - это те же самые дроби, только содержащие в числителе и знаменателе не только числа, но и какие-то буквенные выражения, то есть неизвестные. Вот примеры дробных выражений... (см. видеоурок)

На самом деле, обычная у нас дробь или дробное выражение - не имеет значения. Все операции, действия с обоими этими дробями выполняются одинаково по общим правилам. Но поговорим мы отдельно о дробных выражениях лишь потому, что многих учеников эти буковки путают.

Итак, вот, например, у нас есть такое дробное выражение... (см. видеоурок) Что это такое? Это означает, что в числителе стоит каких-то три числа, которые между собой перемножаются (знак умножения как правило не пишется). Что это за числа мы не знаем. Знаем только, что раз они обозначены разными буквами, то они разные. А в знаменателе перемножаются два разных числа. Причем такие же числа есть и в числителе. То есть "а" в числителе и "а" в знаменателе - это одно и то же число. Также и с "х". Ну раз числитель и знаменатель умножаются на одинаковые числа, то на эти числа мы можем дробь сократить. Вот сокращаем на "а"... а теперь на "х"... Остается "с" делить на один. То есть просто "с". Можно было, кстати, и сразу поделить числитель и знаменатель на "ах".

Но, внимание! Сокращать дробь (то есть делить ее числитель и знаменатель на одно и то же число) мы можем только в том случае, когда ВЕСЬ числитель и ВЕСЬ знаменатель умножаются на одно и то же число.

То есть необходимо, чтобы это число умножалось на все остальное, чтостоит в числителе и знаменателе.

Вот, например, эту дробь мы можем сократить на "t". (см. видеоурок) А вот эту... уже не можем. Чтобы понять почему, давайте заменим наши буквы числами. К примеру, m равно пять, n равно два, t равно четыре. Теперь видно, что выражение "пять умножить на четыре" делится на четыре. А вот выражение "пять плюс четыре" уже на четыре не делится.

Это очень важный момент, в котором многие ошибаются. Будьте внимательны! Не спешите при сокращении дробных выражений зачеркивать сверху и снизу все одинаковые буквы. Помните, что сокращать можно только на то число, или то выражение, на которое умножаются ВЕСЬ числитель и ВЕСЬ знаменатель. Ошибка в этом является очень существенной и сильно подпортит вашу репутацию в глазах учителя.

Чтобы закрепить эту тему, давайте решим еще один пример... (см. видеоурок) Дано вот такое длинное дробное выражение... На что его можно сократить? И в числителе, и в знаменателе есть одинаковая скобка "а - b". Можем ли мы на нее сократить? Да, так как вот здесь эта скобка умножается на все остальное, что стоит в числителе. И в знаменателе она умножается на все остальное. Также здесь мы можем еще сократить дробь на два... А вот если бы, например, вот здесь стояло еще "плюс три" или что-нибудь похожее, то сокращать дробное выражение мы уже не могли бы. Так как в этом случае в числителе и скобка, и двойка умножаются не на весь числитель, а только на вот эту его часть.

Надеюсь, теперь при сокращении любых дробей сложностей у вас не возникнет.

Также и приведение дробных выражений к общему знаменателю аналогично приведению обычных дробей к общему знаменателю.

Рассмотрим три примера.

Пример первый.

Приведем к общему знаменателю следующие дроби... (см. видеоурок)

Знаменатели у обоих дробей совершенно разные, поэтому чтобы получить общий знаменатель, достаточно перемножить оба данных знаменателя. Получим "два а икс". Соответственно, числитель первой дроби умножим на "два икс", а числитель второй дроби - на "а". Все. Получили две дроби с одинаковыми знаменателями.

Вообще таким способом можно пользоваться всегда для того, чтобы получить общий знаменатель. Но не всегда будет получаться наименьший из возможных общий знаменатель. Может оказаться так, что получив таким образом общий знаменатель, наши дроби станут столь сложными, что с ними трудно будет работать. А потому договоримся приводить дроби к общему знаменателю путем перемножения обоих знаменателей мы будем только в том случае, когда эти оба знаменателя совершенно разные, то есть не имеют общих делителей. Когда нет числа или какой-то неизвестной переменной, или какого-то выражения, на которое делился бы и первый и второй знаменатели одновременно.

Приведем пример обратных случаев.

Пример два. (см. видеоурок)

Здесь дроби уже посложнее. Но сразу можно заметить, что какие-то части в обоих знаменателях одинаковые. Это вот эта скобка... "5-а". То есть оба знаменателя состоят из нескольких множителей. И по одному множителю у них есть общему. В этом случае, чтобы найти наименьший общий знаменатель данных двух дробей, необходимо доумножить первый знаменатель на недостающие множители из второго знаменателя. То есть на вот эти. А второй знаменатель доумножить на недостающие множители из первого знаменателя. На вот эти. Ну и не забываем, что если мы на что-то умножаем знаменатель, то, чтобы дробь не изменилась, умножаем на это же и числитель.

Вот таким образом мы привели дроби к наименьшему общему знаменателю.Здесь можно еще упрощать их, раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые. Но мы это уже опустим, главное мы сделали.

Бывают случаи, когда не так очевидно, на что же нужно доумножать знаменатели обоих дробей, чтобы получить общий знаменатель.

Пример третий. (см. видеоурок)

Необходимо привести к общему знаменателю вот такие дроби.

Видим, что здесь знаменатели обоих дробей не имеют на первый взгляд общих делителей. Однако, если мы преобразуем второй знаменатель (то есть вынесем за скобки "минус а"), то получим такую же скобку, как и в первом знаменателе. Ну а далее проделываем те же действия, что и в предыдущем примере. То есть доумножаем числитель и знаменатель первой дроби на "минус а", а числитель и знаменатель второй дроби на "четыре". Получаем вот такие две дроби с общим знаменателем.

В этом примере мы выносили за скобки "минус а", чтобы увидеть общий множитель у обоих знаменателей. Часто приходится для этих целей использовать формулы сокращенного умножения. Сейчас мы не будем о них говорить, но в теме преобразования дробей они встречаются очень часто. Поэтому помнить их вы должны обязательно!

Ну а в следующих урокам мы поговорим о сложении/вычитании/умножении и делении дробей.