Похожие материалы
Уроки математики / Статья / Доклад по геометрии по теме: "Теорема Пифагора и различные способы её доказательства".

Доклад по геометрии по теме: "Теорема Пифагора и различные способы её доказательства".

III. Практическая часть.

1.Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

 – Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам).

– Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и острому углу).

– Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

– Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету).

 

Свойства прямоугольного треугольника

   1.1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

1.2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

 1.3. Теорема Пифагора С2=A2+B2, где А, B – катеты, С – гипотенуза.

  1.4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами : 

 1.5. Высота  прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты  и гипотенузу следующим образом: 

 

1.6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

1. 7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы : 

1. 8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

 2. Формулировки теоремы Пифагора

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через  и :

а2+  в22

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел а,в,с, таких, что а222,существует прямоугольный треугольник с катетами а,в и гипотенузой с.

3. Различные способы доказательства теоремы Пифагора.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Известно более или менее строгих доказательств около пятисот, но стремление к преумножению их числа сохранилось.

         На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
      Приведу некоторые доказательства Теоремы:

простейшее доказательство :

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

3.1. Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

3.2. Метод подобия

    Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Приведу в современном изложении одно из таких доказательств, возможно принадлежащих Пифагору.      Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные математики обычно приписывают Евклиду.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения ВС=а, АС=в, АВ=с

получаем     а/с=|НВ|/а,     в/с=|АН|/в

Что эквивалентно  а2=с*|НВ|;   в2=с*|АН|

Сложив, получаем а2+  в2=с*(|НВ|+|АН|)=с2.

Или а2+  в22, что и требовалось доказать

3.3.Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

  1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.

  2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.

  3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

(а+в)2=4*(ав/2)+с2;        а2+2ав+в2=2ав+с2;  или а2+  в22, что и требовалось доказать.

3.4.Через определение косинуса угла прямоугольного треугольника

Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB.

Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доказана.

Древнекитайское доказательство

      Наглядное доказательство теоремы Пифагора принадлежит индусам. Посмотрите внимательно на два квадрата, и вам всё станет ясно. Индусы к этому чертежу добавляли лишь одно слово: «СМОТРИ»

  3.5. Доказательство Гарфилда

На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.

3.6.Доказательство Мёльманна

Площадь данного прямоугольника с одной  стороны равна 0.5 ab , с другой 0.5 pr , где  p –  полупериметр треугольника,  r  – радиус  вписанной в него окружности ( r   =   0.5(a+b-c)). 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c)     Отсюда следует , что с2=а2+b2

3.7. Доказательство  Евклида

            Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

          Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

     Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

      Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK, AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).

          Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

          Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.

            Данное доказательство также получило название «Пифагоровы штаны».

3.8.Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства — симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок СI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG.

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

  1. Применение Теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора применяется в  строительстве и архитектуре.

 При проектировании любых строительных объектов возникает необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по известным сторонам. Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни, используя мет оды теоремы Пифагора.

В мобильной связи .

         В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе. И эти задачи решаются, применив теорему Пифагора.

 Мало кто знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист  Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

5. Пифагоровы Тройки.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел xyz, что 

x2 + y2 = z2.  (1)


Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа x=3, y=4, z=5: 9+16=25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки (x,y,z)? Иными словами, можно ли найти все решения уравнения x2+y2=z2 в натуральных числах? (В связи с терминологией обратите внимание, что решение --- это не одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде 

x=l(m2-n2),   y=2lmn,   z=l(m2+n2),  (2)

где l, m, n --- натуральные числа, причем m>n, или в аналогичном виде, в котором x и y меняются местами. Можно чуть короче сказать, что x, y, z из (2) со всевозможными натуральными l и m > n суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки x и y. Например, тройка (3,4,5) получается при l=1, m=2, n=1.

То что при любых натуральных lmn с m>n тройка (x,y,z), определяемая согласно (2), является решением (1), можно проверить непосредственно путем простого вычисления, и я на этом останавливаться не буду. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2)? Об этом я и буду говорить. На самом деле, как это часто бывает, "прокручивая в обратную сторону" мои рассуждения, тоже можно доказать, что любая тройка вида (2) является решением, но на этом я тоже не буду останавливаться. Что при перестановке x и y снова получается решение --- об этом и говорить нечего.

По-видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли --- неизвестно. (Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить побольше решений.) Как его позднее доказывали древние греки --- известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих книгах, и, вероятно, многие из вас его знают. А я хочу рассказать несколько более простое доказательство, которое я узнал в свои студенческие годы от моего однокурсника Юры Манина. Ныне Юрий Иванович Манин --- член-корреспондент Российской академии наук, лауреат Ленинской премии, один из директоров международного Математического института им. Макса Планка в Бонне. Ни одного из этих высоких титулов вроде бы не нужно, чтобы придумать то простое рассуждение, которое я сейчас расскажу; в истории неоднократно бывало, что любители придумывали куда более затейливые вещи. Тем не менее, я нигде в литературе не встречал этого рассуждения. Впрочем, не могу поручиться, что его нигде нет или что никто, кроме Манина, такого доказательства не мог придумать. Так что не исключено, что кто-нибудь из вас это рассуждение знает. Но уж точно, что таких среди вас не может быть много --- рассуждение если и является известным, то не общеизвестным.

Сперва несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если xy и z имеют общий делитель k>1, скажем x=ku,y=kvz=kw, где uvw --- натуральные числа, то ясно, что тройка (u,v,w) снова является решением (1). Обратно, если мы знаем какое-то решение(x,y,z), то, умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное k, мы снова получим решение. Поэтому можно ограничиться разысканием решений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идет об общем делителе всех трех чисел. Но если бы у двух из этих чисел, скажем у x и y, был общий делитель, то тот же делитель был бы и у третьего. Поэтому мы можем ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа (x и yx и zy и z) не имеют общих делителей, больших 1. Это выражают словами: рассматриваемые числа xyz попарно взаимно просты.

При l1 числа xyz в (2) не взаимно просты: они имеют общий делитель l. Так что если мы интересуемся только взаимно простыми xyz, то для них в (2) должно быть l=1, и утверждение, которое мы хотим доказать, несколько упрощается: натуральные решения (x,y,z) уравнения (1) с взаимно простыми xyz с точностью до перестановки x и y представимы в виде 

x=m2-n2,   y=2mn,   z=m2+n2,  (3)

где m, n --- натуральные числа и m>n. Заметьте, что я вовсе не утверждаю обратного: что любые (x,y,z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, являются решением (1) и попарно взаимно просты. Решением эта тройка будет, но числа x, y, z не обязательно получатся взаимно простыми. Ведь если у m и n есть общий делитель, то он войдет (даже с квадратом) и в x, и в y, и в z.

Так что если бы я хотел настаивать на обратном утверждении, что любые (x,y,z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, будут решением (1) с попарно взаимно простыми xyz, то я, самое меньшее, должен был бы уточнить: с взаимно простыми m и n. А было бы такого уточнения достаточно? Оказывается, нет (вначале, должен сознаться, я было подумал, что да, но меня поправили). Ведь если m и n оба нечетные, то x получится четным, а y в (3) всегда четное. Но если одно из чисел mn четное, а другое нечетное, то x получится нечетным, и общим с y у него мог бы быть только нечетный делитель. Тогда у x и y имеется и нечетный простой делитель p. Раз 2mn делится на p, то m или n делится на p, а тогда, раз m2-n2 тоже делится на p, то и второе из чисел mn делится на p, т. е. m и n не взаимно просты, а мы уже решили, что будем брать только взаимно простые mn. Но главное, что этого нам сейчас не нужно. Нам надо только установить, что решение (1) с взаимно простыми натуральными xyz обязательно представимо в виде (3) с какими-то mn, а что при каких-то других mn могут получиться решения с не взаимно простыми xyz --- это нас сейчас не касается.

Другое замечание состоит в том, что когда мы ограничиваемся решениями с попарно взаимно простыми xyz, то одно из чисел x и y должно быть четным, а другое --- нечетным; z при этом, конечно, нечетно. Действительно, если x и y оба четные, то они не взаимно просты, а имеют общий делитель 2. Если же они оба нечетны, то мы можем написать, что x=2r-1y=2s-1 с некоторыми натуральными rs. Отсюда 

z2=(2r-1)2+(2s-1)2=4(r2-r+s2-s)+2.

Получается, что z2 делится на 2, но не делится на 4. Но это невозможно: если z нечетно, то z2 и на 2 не делится, а если z четно, то z2 делится на 4.

Раз одно из чисел x и y четно, а другое нечетно, то можно считать, что нечетно x, а четно y, --- в противном случае мы просто изменим обозначения. Вот теперь начинается главное. Перепишем (1) так:

y2=z2-x2, 2-2=1


или, обозначая  через u и  через v, в виде u2-v2=1, т. е. (u+v)(u-v)=1. u и v суть частные двух натуральных чисел, т. е. положительные рациональные числа (дроби). u+v тоже рациональное число, причем положительное. Любое такое число представляется в виде несократимой дроби ; здесь m и n --- натуральные числа, причем взаимно простые (раз дробь несократимая). А если (u-v)=1, то u-v=. Итак, 

    (4)

m2+n2 где m, n --- взаимно простые натуральные числа. Рассматривая ( как линейную систему уравнений относительно u, v, решим ее, для чего достаточно сложить эти два уравнения, откуда получится 2u, и вычесть второе из первого, откуда получится 2v: 

=u=,    =v=.  (5)

Отсюда видно, кстати, что m>n.
Мы знаем, что  и  --- несократимые дроби. Если бы мы знали, что дробь  тоже несократимая, то из (5) сразу следовали бы соотношения (3). Но пока что мы этого не знаем; однако о дробях  мы знаем, что они несократимые. Поэтому из (5) мы вправе сделать заключение, несколько более слабое, чем (3): существует такое натуральное k, что 

m2+n2=kz,   2mn=ky,   m2-n2=kx.  (6)

Допустим, что k имеет нечетный простой делитель p. Тогда 2mn делится на p, а раз это нечетное простое число, то m или n делится на p. Но тогда и одно из слагаемых в левой части равенства m2+n2=kz, и его правая часть делятся на p; выходит, что и второе слагаемое в левой части тоже делится на p. Получается, что и m, и n делятся на p, хотя они взаимно просты. Итак, у k нет нечетных простых делителей, так что k есть степень двойки. Вспомним, что y --- четное число, y=2w. Получается, что 2mn=2kwmn=kw, и если k --- степень двойки (с ненулевым показателем), то число mn четное. Тогда хотя бы одно из чисел mn --- четное. Но из m2+n2=kz следует, что m2+n2 --- четное число, и если вдобавок одно из чисел m или n --- четное, то и другое должно быть четным. Снова у m и n нашелся общий делитель. Остается признать, что k=1, а это и означает (3).

19

Автор
Дата добавления 19.05.2017
Раздел Геометрия
Подраздел Статья
Просмотров434
Номер материала 4133
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.