Уроки математики / Другое / Методическая разработка "Понятие логарифма "

Методическая разработка "Понятие логарифма "

Логарифмы и их свойства

Для различных целей оказывается полезным представлять числа в виде степени одного и того же основания, например:

для сравнения чисел 524 и 2510 ,

для решения уравнений 31 – х = 81,

для упрощения вычислений над действиями 7-1 × (1/49)-0,5 – 64-(1/3) ×3-2

5-1 – (1/9)-0,5

При этом обязательно надо знать свойства степеней!

am·an=am+n ; am:an=am−n; (am)n=am·n; (a:b)n=an:bn.

Любое положительное число b может быть однозначно представлено в виде степени ах, т.е. ах = b. Например:

  1. 52 = 25 показатель степени числа 5 чтобы получить 25 равен 2

  2. 210 = 1024 показатель степени числа 2 чтобы получить 1024 равен 10

  3. 35 = 243 показатель степени числа 3 чтобы получить 243 равен 5 и т.д.

  4. 2х = 16. ВОПРОС: 2 в какой степени дает 16? Ответ: …?

Итак показатель степени числа 2 чтобы получить 16 равен 4.

  1. 2х = 32. ВОПРОС: Чему равен показатель степени числа 2 чтобы получить 32? Ответ:…?

Мы знаем 21 = 2,

22 = 4.

Значит 2 в какой-то степени будет равен 3?, т.е. 2х = 3.

ВОПРОС: Кто скажет 2 в какой степени будет равен 3?

Не знаете? И я не знаю, и никто не знает. Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем, т.е. 2х = 3. Можем только заявить, что это число, заключенное в промежутке 1<x<2.

Математика решает данную проблему очень просто и элегантно – введением понятия логарифма.

Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число хв которое надо возвести 2, чтобы получить 3.

Вот и назовём этот показатель степени  х логарифмом 3 по основанию 2!  В математической форме эти слова выглядят так:

        x = log23. А произносится эта запись вот так: "Икс равен логарифму трех по основанию два."

        Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2х

Итак для удобства, для краткости показатель степени обозначают через log.

Для наших примеров: log525=2, log21024=10, log3243=5, log216=4, log232=5, log23=x.

И для общего случая ах = b х называется логарифмом числа b по основанию а и обозначается logа b т.е. х = logа b.

Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Читайте вслух: log28= (показатель степени числа 2 чтобы получить 8 равен…) log636= (показатель 36 по основанию 6 равен …)

log5(1/25)= (показатель 1/25 по основанию 5 равен …)

Что следует из записей: 63 = 216 …….? 92 = 81 …..?

34 = 81 ……? 53 = 125 ….?

В качестве основания логарифмов может быть выбрано любое положительное число, отличное от 1.(а > 0, а ≠ 1)

Например 64 = 43; log464 = 3

64 = 82; log864 = 2

64 = 26 log264 = 6

64 = (1/2)–6 log(1/2)64 = – 6

64 = 5x log564 = x

На определение логарифма возможны три типа упражнений:

log216 = …, так как 2 = 16

log2(1/8) = …, так как 2 = 1/8

log71 = …, так как 7 = 1

Нахождение логарифма по данному числу и по данному основанию

log64 = 4, так как …4 = 64

log(1/32)= - 5 так как …-5 = 1/32

Нахождение основания логарифма по числу и логарифму.

log5… = 4, так как 54 = …

log3… = - 4, так как 3-4 = …

Нахождение числа по логарифму и основанию.

Пример 1. Попробуйте вычислить устно. Если трудновато, то вычислите через показательное уравнение (в уме или письменно).

log10100 = так как 10х = 100 х =

log2(1/4) = так как 2х = ¼ х =

log255 = так как 25х = 5 х =

log50,04 = так как 5х = 0,04; 5х = 4/100; 5х = 1/25; 5х = 5-2; х = -2

log381 = ; log525 = ; log91 = ;

log66 = ; 16= ; = ;

8= ; = ; ;

Можно заметить, если число под знаком логарифма целое, а основание – дробное число, или наоборот, то сам логарифм - число отрицательное.

a

b

то, отрицательное число

целое

дробное

Попробуйте обосновать формулы. Приведите примеры. loga1=0 logaa=1 =b

Пример 2. Вычислите, составив показательное уравнение

х=4

х =2,5

х =3,5

х =-3

3. Следующие задания предназначены для выработки навыка логарифмирования.

1 вар

2 вар

3 вар

4 вар

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4. Решите уравнения: а) log8 х = 1/3; б) logх 8 = -(3/4);

в) log6х = 2; г) log16х = ¾; д)logх4 = -1/2; е) logх1000 = 6

Логарифмы были созданы шотландским математиком  Джон Непером  в начале 17 века.

Придумали логарифмы для упрощения, облегчения вычислений. Первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером, помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления.

Рассмотрим одну из таких таблиц.

21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

211

212

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. Так вот показатели степеней и называли логарифмами. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

211

212

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

log2 2=1

log2 4=2

log2 128=7

log2 4096=12

С помощью этой таблицы легко вычислить, например: 32*128 = 25*27 = 212 = 4096.

Оба числа 32 и 128 находятся в нижней строке. Оказывается, если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например, 32 и 128, нам достаточно сложить соответствующие показатели степеней чисел верхнего ряда: над числом 32 стоит 25, над числом 128 стоит 27; сложим числа 5 и 7 (будет 12) и опустимся вниз – под 12 стоит 4096. Значит, 32·128 = 4096.

Пусть надо вычислить 16*64. Используя эту таблицу получим: 4+6=10 значит, 16*64=1024. Мы от умножения перешли к сложению степеней, т.е. работали с показателем – логарифмом.

Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать. Вычислите 512:32, при делении показатели вычитаются, т.е. 9-5=4, а под 4 стоит 16. Значит 512:32=16.

Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верхнего ряда. 

Автор
Дата добавления 12.02.2020
Раздел Алгебра
Подраздел Другое
Просмотров67
Номер материала 6544
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.