Методическая разработка "Понятие логарифма "

Логарифмы и их свойства

Для различных целей оказывается полезным представлять числа в виде степени одного и того же основания, например:

для сравнения чисел 5²⁴ и 25¹⁰ ,

для решения уравнений 3^{1 – х} = 81,

для упрощения вычислений над действиями 7^-1 × (1/49)^-0,5 – 64^-(1/3) ×3^-2

5^-1 – (1/9)^-0,5

При этом обязательно надо знать свойства степеней!

a^m·aⁿ=a^m+n ; a^m:aⁿ=a^m−n; (a^m)ⁿ=a^m·n; (a:b)n=aⁿ:bⁿ.

Любое положительное число b может быть однозначно представлено в виде степени а^х, т.е. а^х = b. Например:

1. 5² = 25 показатель степени числа 5 чтобы получить 25 равен 2

2. 2¹⁰ = 1024 показатель степени числа 2 чтобы получить 1024 равен 10

3. 3⁵ = 243 показатель степени числа 3 чтобы получить 243 равен 5 и т.д.

4. 2^х = 16. ВОПРОС: 2 в какой степени дает 16? Ответ: …?

Итак показатель степени числа 2 чтобы получить 16 равен 4.

5. 2^х = 32. ВОПРОС: Чему равен показатель степени числа 2 чтобы получить 32? Ответ:…?

Мы знаем 2¹ = 2,

2² = 4.

Значит 2 в какой-то степени будет равен 3?, т.е. 2^х = 3.

ВОПРОС: Кто скажет 2 в какой степени будет равен 3?

Не знаете? И я не знаю, и никто не знает. Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем, т.е. 2^х = 3. Можем только заявить, что это число, заключенное в промежутке 1<x<2.

Математика решает данную проблему очень просто и элегантно – введением понятия логарифма.

Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 3.

Вот и назовём этот показатель степени  х логарифмом 3 по основанию 2!  В математической форме эти слова выглядят так:

        x = log₂3. А произносится эта запись вот так: "Икс равен логарифму трех по основанию два."

        Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2^х. 

Итак для удобства, для краткости показатель степени обозначают через log.

Для наших примеров: log₅25=2, log₂1024=10, log₃243=5, log₂16=4, log₂32=5, log₂3=x.

И для общего случая а^х = b х называется логарифмом числа b по основанию а и обозначается log_а b т.е. х = log_а b.

Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Читайте вслух: log₂8= (показатель степени числа 2 чтобы получить 8 равен…) log₆36= (показатель 36 по основанию 6 равен …)

log₅(1/25)= (показатель 1/25 по основанию 5 равен …)

Что следует из записей: 6³ = 216 …….? 9² = 81 …..?

3⁴ = 81 ……? 5³ = 125 ….?

В качестве основания логарифмов может быть выбрано любое положительное число, отличное от 1.(а > 0, а ≠ 1)

Например 64 = 4³; log₄64 = 3

64 = 8²; log₈64 = 2

64 = 2⁶ log₂64 = 6

64 = (1/2)^–6 log_(1/2)64 = – 6

64 = 5^x log₅64 = x

На определение логарифма возможны три типа упражнений:

Пример 1. Попробуйте вычислить устно. Если трудновато, то вычислите через показательное уравнение (в уме или письменно).

log₁₀100 = так как 10^х = 100 х =

log₂(1/4) = так как 2^х = ¼ х =

log₂₅5 = так как 25^х = 5 х =

log₅0,04 = так как 5^х = 0,04; 5^х = 4/100; 5^х = 1/25; 5^х = 5^-2; х = -2

log₃81 = ; log₅25 = ; log₉1 = ;

log₆6 = ; 16= ; = ;

8= ; = ; ;

Можно заметить, если число под знаком логарифма целое, а основание – дробное число, или наоборот, то сам логарифм - число отрицательное.

Попробуйте обосновать формулы. Приведите примеры. log_a1=0 log_aa=1 =b

Пример 2. Вычислите, составив показательное уравнение

х=4

х =2,5

х =3,5

х =-3

3. Следующие задания предназначены для выработки навыка логарифмирования.

4. Решите уравнения: а) log₈ х = 1/3; б) log_х 8 = -(3/4);

в) log₆х = 2; г) log₁₆х = ¾; д)log_х4 = -1/2; е) log_х1000 = 6

Логарифмы были созданы шотландским математиком  Джон Непером  в начале 17 века.

Придумали логарифмы для упрощения, облегчения вычислений. Первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером, помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления.

Рассмотрим одну из таких таблиц.

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. Так вот показатели степеней и называли логарифмами. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

С помощью этой таблицы легко вычислить, например: 32*128 = 2⁵*2⁷ = 2¹² = 4096.

Оба числа 32 и 128 находятся в нижней строке. Оказывается, если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например, 32 и 128, нам достаточно сложить соответствующие показатели степеней чисел верхнего ряда: над числом 32 стоит 2⁵, над числом 128 стоит 2⁷; сложим числа 5 и 7 (будет 12) и опустимся вниз – под 12 стоит 4096. Значит, 32·128 = 4096.

Пусть надо вычислить 16*64. Используя эту таблицу получим: 4+6=10 значит, 16*64=1024. Мы от умножения перешли к сложению степеней, т.е. работали с показателем – логарифмом.

Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать. Вычислите 512:32, при делении показатели вычитаются, т.е. 9-5=4, а под 4 стоит 16. Значит 512:32=16.

Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верхнего ряда.