Логарифмы и их свойства
Для различных целей оказывается полезным представлять числа в виде степени одного и того же основания, например:
для сравнения чисел 524 и 2510 ,
для решения уравнений 31 – х = 81,
для упрощения вычислений над действиями 7-1 × (1/49)-0,5 – 64-(1/3) ×3-2
5-1 – (1/9)-0,5
При этом обязательно надо знать свойства степеней!
am·an=am+n ; am:an=am−n; (am)n=am·n; (a:b)n=an:bn.
Любое положительное число b может быть однозначно представлено в виде степени ах, т.е. ах = b. Например:
52 = 25 показатель степени числа 5 чтобы получить 25 равен 2
210 = 1024 показатель степени числа 2 чтобы получить 1024 равен 10
35 = 243 показатель степени числа 3 чтобы получить 243 равен 5 и т.д.
2х = 16. ВОПРОС: 2 в какой степени дает 16? Ответ: …?
Итак показатель степени числа 2 чтобы получить 16 равен 4.
2х = 32. ВОПРОС: Чему равен показатель степени числа 2 чтобы получить 32? Ответ:…?
Мы знаем 21 = 2,
22 = 4.
Значит 2 в какой-то степени будет равен 3?, т.е. 2х = 3.
ВОПРОС: Кто скажет 2 в какой степени будет равен 3?
Не знаете? И я не знаю, и никто не знает. Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем, т.е. 2х = 3. Можем только заявить, что это число, заключенное в промежутке 1<x<2.
Математика решает данную проблему очень просто и элегантно – введением понятия логарифма.
Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 3.
Вот и назовём этот показатель степени х логарифмом 3 по основанию 2! В математической форме эти слова выглядят так:
x = log23. А произносится эта запись вот так: "Икс равен логарифму трех по основанию два."
Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2х.
Итак для удобства, для краткости показатель степени обозначают через log.
Для наших примеров: log525=2, log21024=10, log3243=5, log216=4, log232=5, log23=x.
И для общего случая ах = b х называется логарифмом числа b по основанию а и обозначается logа b т.е. х = logа b.
Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Читайте вслух: log28= (показатель степени числа 2 чтобы получить 8 равен…) log636= (показатель 36 по основанию 6 равен …)
log5(1/25)= (показатель 1/25 по основанию 5 равен …)
Что следует из записей: 63 = 216 …….? 92 = 81 …..?
34 = 81 ……? 53 = 125 ….?
В качестве основания логарифмов может быть выбрано любое положительное число, отличное от 1.(а > 0, а ≠ 1)
Например 64 = 43; log464 = 3
64 = 82; log864 = 2
64 = 26 log264 = 6
64 = (1/2)–6 log(1/2)64 = – 6
64 = 5x log564 = x
На определение логарифма возможны три типа упражнений:
log216 = …, так как 2… = 16 log2(1/8) = …, так как 2… = 1/8 log71 = …, так как 7… = 1 | Нахождение логарифма по данному числу и по данному основанию |
log…64 = 4, так как …4 = 64 log…(1/32)= - 5 так как …-5 = 1/32 | Нахождение основания логарифма по числу и логарифму. |
log5… = 4, так как 54 = … log3… = - 4, так как 3-4 = … | Нахождение числа по логарифму и основанию. |
Пример 1. Попробуйте вычислить устно. Если трудновато, то вычислите через показательное уравнение (в уме или письменно).
log10100 = так как 10х = 100 х =
log2(1/4) = так как 2х = ¼ х =
log255 = так как 25х = 5 х =
log50,04 = так как 5х = 0,04; 5х = 4/100; 5х = 1/25; 5х = 5-2; х = -2
log381 = ; log525 = ; log91 = ;
log66 = ; 16= ; = ;
8= ; = ; ;
Можно заметить, если число под знаком логарифма целое, а основание – дробное число, или наоборот, то сам логарифм - число отрицательное.
a | | b | то, отрицательное число |
целое | дробное |
Попробуйте обосновать формулы. Приведите примеры. loga1=0 logaa=1 =b
Пример 2. Вычислите, составив показательное уравнение
х=4
х =2,5
х =3,5
х =-3
3. Следующие задания предназначены для выработки навыка логарифмирования.
1 вар | 2 вар | 3 вар | 4 вар | |
1 | ||||
2 |
| |||
3 |
| |||
4 | ||||
5 |
| |||
6 | ||||
7 | ||||
9 | ||||
10 | ||||
11 | ||||
12 |
|
4. Решите уравнения: а) log8 х = 1/3; б) logх 8 = -(3/4);
в) log6х = 2; г) log16х = ¾; д)logх4 = -1/2; е) logх1000 = 6
Логарифмы были созданы шотландским математиком Джон Непером в начале 17 века.
Придумали логарифмы для упрощения, облегчения вычислений. Первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером, помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления.
Рассмотрим одну из таких таблиц.
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 210 | 211 | 212 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. Так вот показатели степеней и называли логарифмами. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 210 | 211 | 212 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
log2 2=1 | log2 4=2 | log2 128=7 | log2 4096=12 |
С помощью этой таблицы легко вычислить, например: 32*128 = 25*27 = 212 = 4096.
Оба числа 32 и 128 находятся в нижней строке. Оказывается, если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например, 32 и 128, нам достаточно сложить соответствующие показатели степеней чисел верхнего ряда: над числом 32 стоит 25, над числом 128 стоит 27; сложим числа 5 и 7 (будет 12) и опустимся вниз – под 12 стоит 4096. Значит, 32·128 = 4096.
Пусть надо вычислить 16*64. Используя эту таблицу получим: 4+6=10 значит, 16*64=1024. Мы от умножения перешли к сложению степеней, т.е. работали с показателем – логарифмом.
Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать. Вычислите 512:32, при делении показатели вычитаются, т.е. 9-5=4, а под 4 стоит 16. Значит 512:32=16.
Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более простые операции с числами верхнего ряда.
Автор |
|
---|---|
Дата добавления | 12.02.2020 |
Раздел | Алгебра |
Подраздел | Другое |
Просмотров | 1178 |
Номер материала | 6544 |
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное. |