Уроки математики / Другое / Планирование - практикум. "Модули в школе"

Планирование - практикум. "Модули в школе"

Модули в школе

Кобаидзе Н. И. 2018 г.

В практикуме приведены подробные решения упражнений с модулями. Обратим внимание, что это только возможные схемы решения. Совсем необязательно, чтобы ученик решал именно так. Эти решения не являются безусловной рекомендацией для оформления. Учащимся известны 4 способа раскрытия модуля. В результате этого распределения получаются следующие способы раскрытия модуля и признаки их применения. Материалы взяты из школьных проектов (7-9 класс).

Способ раскрытия модуля

Признаки применимости способа

Самоконтроль и коррекция

1. По аналитическому определению модуля

В уравнении, неравенстве, системе есть только один модуль и выражение с переменной

1.Решается две системы, включающие: первое неравенство – условие раскрытия модуля (неравенства), второе - результат раскрытия модуля при этом условии

2.Учитывается ОДЗ или выполняется проверка подстановкой

2. Метод промежутков (алгоритм известен)

В уравнении, неравенстве, системе более двух модулей и выражение с переменной

Систем столько, сколько промежутков. В каждой системе: первое неравенство - условие промежутка (неравенство), второе - результат раскрытия всех модулей в соответствующем промежутке

3.Возведение обеих частей в квадрат

В уравнении (неравенстве) один модуль: после возведения обеих частей в квадрат уравнение должно решаться

При возведении в квадрат обеих частей уравнения (неравенства) необходимо учитывать условие теоремы в том, что обе части должны быть неотрицательны. Для уравнения это условие может быть заменено проверкой (подстановкой)

4.Определение модуля через расстояние (последний шаг решения)

Уравнение имеет вид: модуль выражения равен положительному числу

При решении неравенств получается либо двойное неравенство, либо объединение двух неравенств, записанных в одну строчку


Примеры (из централизованных тестов)

П-1. Найти сумму корней уравнения: | x2-2x | = | 1-2x |. (8 – 9 класс)
Решение
(x2-2x)2-(1-2x)2=0; (x2-2x-1+2x)*(x2-2x+1-2x)=0; (x2-1)*(x2-4x+1)=0

x2-1=0 или x2-4x+1=0

x1,2= D=16-4=12; x3= x3=2+; x4= x4=2-; 1-1+2++2-=4 . Ответ: 4

П-2. Найти среднее арифметическое всех корней уравнения: (7-9 класс)

| x-1 | + 2 * | x+3| = 5

Решение.
1) Найдем нули подмодульных выражений: x-1=0, x=1; x+3=0, x=-3

2) Числа -3 и 1 разбивают числовую прямую на три интервала.
Решаем уравнение на каждом интервале – таблица.

Пример - 2

x<-3

-3

x1

x-1

-

-

+

x+3

-

+

+

1-x-2*(x+3)=5

1-x-2x-6=5

-3x-10=0

x=

-3x<-3

x= -корень

1-x+2*(x+3)=5

1-x+2x+6=5

x+7-5=0

x=-2

x=-2 корень

x-1+2*(x+3)=5

x-1+2x+6=5

3x+5=5

3x=0

x=0

нет корней

Среднее арифметическое корней: =-5:2=:2=. Ответ:

П-3. Найти произведение корней: | x2+x-3 | = x. (8 – 9 класс)

1) 2) ,
x2=3; x1,2=; x1=; x2= - не удов. x; x2+x-3=0; x3=1; x4=-3 – не удов. x

Ответ: x1=; x2=1; x1*x2=*1=

П-4. Найти произведение корней уравнения (7 - 9 класс)

| 2x-1 | + | x+1 | = 2x+1

Решение.
Найдем нули:

1) 2x-1=0; x=; x+1=0; x=-1

2) x+1 x+1 x

x x

Решим на промежутках:

3) x<-1 решений нет, т.к. x; -;
1-2x+x+1=2x+1; -3x=-1

x= x1= - корень уравнения;
x>, 2x-1+x+1=2x+1; x=1); x2=1 – корень уравнения

4) Произведение корней равно: . Ответ: .
Упрощение выражений с модулем.
Применяем определение модуля или свойства модуля.

  1. | a | =

  2. a2= | a |2; | -a | =a, | a-b | = | b-a |

3) | ab | = | a | * | b | и | | =

Другие свойства модуля будут указаны в процессе решения задач.

Задача 1. Упростить выражение:
1) Нули подмодульных выражений: 0 и 1 делят числовую ось на промежутки:

(-;0), [0;1), (1;+); дробь определена для a1.

2) Упростить дробь на каждом из промежутков

a<0

0a<1

a>1

Ответ: при a(-;0), ; при a[0;1), 1-a; при a(1;+), a-1.

З-2. Упростить выражение:

Решение

ОДЗ: выражение определено для всех значений x-1

1) Найдем нули подмодульных выражений: -1 и 1. Они разбивают числовую ось на промежутки: (-;-1), (-1;1), [1;+)

2) Упростим выражение на каждом промежутке

a) x<-1,

б) -1<x<1,

в) x1,

Ответ: при x(-;-1), 1; при x(-1;1), при x[1;+), 3.

З-3. Упростить выражение. .

Решение

Дробь определена на R, кроме 0.

x+x+1=(x+)+ при любых x. Дробь примет вид :

1) Найдем нули подмодульных выражений: -1; 0; 1. Они разбивают числовую ось на промежутки: (-;-1), [-1;0), (0;1), [1;+).

2) Упростим выражение на каждом промежутке

а) при x <-1, ,
б)при -1 и 0< x <1,

в) при x,

Ответ: при x<-1, -1; при x; при x 1.

З-4. Найти сумму корней уравнения: (7 – 8 класс)

Решение. Дробь определена при x

|x-1|;

  1. Найдем нули подмодульных выражений:

х -1=0, x=1 и x=0. Решим уравнение на каждом из промежутков:

x<0

0

x

Решений нет

5=x+4x+4

x+4x-1=0

x=-2+

x не уд., <0

Следовательно, x=-2+

корень уравнения

5-(4x-x)=0

5-2x+x

x уд.

x не уд.

Следовательно, x=3

  1. Сумма корней уравнения равна:

-2+. Ответ: 1+

Решение неравенств.

  1. | x |

-a a x

-a [-a; a]

  1. | x |<a, a>0

-a a x

-a < x < a, (-a; a)

  1. | x | х=0

0 х

  1. | x |<0; | x | | x |<-a, a>0 , нет решений

  2. | x | a>0 x

  3. | x |≥ а, а≥ 0, х – любое число,

7. | x |> 0 , (-)(0;)

П-1. Найти число целых решений неравенства.

1

Решение

1; т.к.

1)

2) |x-3|3

;

3) Общее решение: [0;2][4;6]

0 2 4 6 Целые решения: 0,1,2,4,5,6

Ответ: 6

П-2. Найти наименьшее целое положительное решение неравенства.

Решение

1)

2) , не имеет решения

3) Общее решение: (-;-2)(3;+)

Наименьшее положительное целое решение равно 4. Ответ: 4

П-3. Решить неравенство: (квадратичная функция) 9 класс

. Решение

1) 3x2-x-1>1

3x2-x-2>0

3x2-x-2=0; x1=1, x2=

3*(x-1)*(x)>0

2) 3x2-x-1<-1

3x2-x<0; 3x2-x=0, x*(3x-1)=0

x=0; x=

3x*(x-)<0

x*(3x-1)<0

3) Общее решение: объединим эти решения


Ответ: (-;-)(0;) (1;+)

П-4. Решить уравнение

Решение

Пусть =y0, тогда

y2-5y+6=0, y1=3, y2=2

Значит:

1. , а) ,

б) , D<0, решений нет

2.

а) ,

б) , D<0, решений нет. Ответ: ; 4; 1.

7

Автор
Дата добавления 22.02.2018
Раздел Алгебра
Подраздел Другое
Просмотров149
Номер материала 5376
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.