Презентация по алгебре 10 кл по теме "Построение графиков функций"

Построение графиков функций Учитель математики Леонова Елена Сергеевна по УМК А.Г. Мордковича 10 класс

План построения графика функции с помощью производной Найти область определения функции и определить точки разрыва если они существуют Выяснить является ли функция четно или нечетной, проверить её на периодичность Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно Найти стационарные и критические точки Найти точки экстремума функции и промежутки монотонности Определить промежутки вогнутости, выпуклости и точки перегиба графика функции Найти координаты ещё нескольких точек (для большей точности)

Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функции Промежутки выпуклости и вогнутости кривой можно находить с помощью производной. Теорема. (признак вогнутости и выпуклости) Если вторая производная функции у=f(х) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке.

Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм: Находят f΄(х), а затем f ΄΄(х) Находят точки, в которых f ΄΄(х) = 0 Отмечают полученные точки на числовой прямой и получают несколько промежутков области определения функции Устанавливают знаки второй производной в каждом из полученных промежутков. Если f ΄΄(х) < 0, то на этом промежутке кривая выпукла; если f ΄΄(х)>0 - вогнута

Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой её части. Точкой перегиба кривой графика функции будут те точки, в которых f ΄΄(х) = 0 и при переходе через неё вторая производная меняет знак. 0 х0

Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функции Решение. Найдем у΄(х) и у΄΄(х): у΄(х) = 4х³-12х => у΄΄(х) = 12х²-12=12(х²-1) Найдём стационарные точки второго порядка, т.е. у΄΄(х)=0 => 12(х²-1)=0 => х²-1=0 => х²=1 х = ±1 Значит: при х ϵ (-∞; -1) и (1;+ ∞ ) функция вогнута, а при х ϵ (-1:1) – выпукла; точки перегиба х= ±1 1 -1 у΄΄(х) + + -

Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её график Решение. D(у)= (-∞; +∞), четность не определена Найдем стационарные точки: т.к. у΄=6х²+6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0 тогда х=0 и х=-1 стационарные точки Найдем точки экстремума: т.к. и х=-1 – точка максимума х= 0 – точка минимума х 0 -1 f´(x) + + - f(x)

Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; -1] и [0; + ∞) - функция возрастает при x ϵ [-1; 0] - функция убывает Найдем точки пересечения графика с осями координат: если х=0, то у=-1 => (0;-1) если у=0, то х= -1 => (-1; 0)

Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные): т.к. х=-1 – точка максимума, то уmax=0 => (-1; 0) -точка локального максимума т.к. х= 0 – точка минимума, уmin=-1 => (0;-1) -точка локального минимума если х=1, то у=4 => (1;4) если х=-2, то у=-5 => (-2;-5) Удобнее все эти данные заполнять в виде таблицы.

Составим таблицу: Найдем f ΄΄(х). f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1) f΄΄(х)=0 => 6(2х+1)=0 => х = -0,5 - точка перегиба т.к. при х=-1(левее х=-0,5) f΄΄(х) <0, а при х=-0,1(правее х=-0,5) f΄΄(х) >0 Найдем её координаты: (-0,5; ? ), если это не трудно х (-∞;-1) -1 (-1;0) f΄(х) + 0 - f(х) ↑ 0 (-1;0) max ↓ (0;+∞) + ↑ 0 0 -1 (0;-1) min

Построим график функции: х у 0 -1 -2 4 1 -5

Исследовать функцию и построить её график 1) у = 3х² - х³ 2) у = - 9х + х³ 3) у = х³ - 3х² + 2 4) у = - х³ + 6х² - 5 5) у = 3х³ + х² - 8х – 7 6) у = (х)/(1+х²)

Работа с графиками функций

№ 1. По графику функции ответьте на вопросы 1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно сказать о производной в точке х2? 3) Назовите точки экстремума. 4) Что можно сказать о производной на (−∞; х2]? 5) Укажите промежутки возрастания функции. 6) Отметьте критические точки

Проверим ответы 1. х1,х3,х4 2. не существует 3. х2,х3,х4 4. f′(х) ≤ 0 5. [х2; х3]U [х4;+∞)функция возрастает 6. х2

№ 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на [а;в], удовлетворяющей следующим условиям: а) а=-1, в=4, f΄(х)>0 при -1<х<4, f(1)=0, f(4)=3 б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2 График. а) -1 1 1 3 4

б) а=0, в=5, f΄(х)<0 при 0<х<5, f(2)=0, f(3)=-2 График. 0 -2 3 5 2 1

№ 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.

№ 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция?

№ 5. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

Верно или не верно ? №1 1. График производной. Точки х= -1, х=1, х=2 являются точками максимума. 2. Производная функции в точке хо равна 0, значит хо - критическая точка. 3. Производная функции не существует в точке хо, значит хо - критическая точка.

4. Критическая точка является точкой экстремума. 5. Точка экстремума является критической точкой. 6. Функция y(x) непрерывна в точке x=4, причем y' (x)>0 на (1;4) и y'(x)<0 на (4;7). Точка x=4 является точкой минимума.

№ 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание 0 х у Х1 Х2 Х3 Х4

Точка х1 – точка минимума. Точка х1 – точка перегиба. В точках х2 и х4 касательная параллельна оси абсцисс В точке х3 производной не существует. Точка х4 – точка экстремума Точка х4 – точка минимума Точка х4 – стационарная точка Точка х3 – точка экстремума Точка х2 – точка максимума Да Да Да Да Да Да Да Нет Нет

Используемые ресурсы А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. Учебник,- М., Мнемозина, 2016 А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. Задачник,- М., Мнемозина, 2016 Л.И. Мартышова «Открытые уроки алгебры и начала анализа» 9-11 классы, - М., ВАКО, 2012