Презентация "Производная .Определение, физический и геометрический смысл"

Тема урока: Производная и её применение

«Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира» Н.И. Лобачевский

Цели урока: узнать историю открытия производной; узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники. ввести определение производной познакомиться с правилами дифференцирования Узнать в чём заключается геометрический и физический смысл производной

немного из истории Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой. Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

1. Выражение вида f появилось уже в конце 17 в. и означает «приращение». 2. Термин производная ввел в 1797г. Ж. Лагранж 3. И. Ньютон называл производную функцию флюксией , а саму функцию – флюентой. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций , называется дифференциальным исчислением. Дифференциальное исчисление создан Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия.

Приращение аргумента, приращение функции. Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х-х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х. ∆х = х – х0 – приращение независимой переменной Приращением функции f в точке x0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке. f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции f ∆f=f(х0+∆х) – f(х0)

Таблица производных элементарных функций

Основные правила дифференцирования Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то справедливы следующие правила: 1. Производная суммы (u+v)'= u' + v' 2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu' 3. Производная произведения (uv)'=u'v+uv' 4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv') / v2

Образцы решения задач. Решая примеры, проговаривай вслух. Помни: «Мысль рождается с собственной речи!»

Тест по теме «Производная функции»

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной со- стоит в том, что производная в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной в точке х0 и тангенсу угла наклона касатель- ной k=tgα=∆y/∆x

Механический смысл производной (физический смысл производной) Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t0: S'(t0)=V(t0).

Ответим на следующие вопросы: Сформулируйте определение производной функции? Как называется математическая операция нахождения производной функции? В чем заключается геометрический смысл производной функции? Каков физический (механический) смысл производной?

“Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике”  Аристотель