Уроки математики / Другое / Прототипы заданий ОГЭ 2017 года (9 класс)

Прототипы заданий ОГЭ 2017 года (9 класс)

Название документа Прототип задания 26.doc

Прототип задания 26

№ 340237. На сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC взята точка D так, что окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A, C и D, ка­са­ет­ся пря­мой BC. Най­ди­те AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.

Ре­ше­ние.

Про­ведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Угол, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, по­это­му угол  равен по­ло­ви­не дуги  Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, по­это­му угол  равен по­ло­ви­не дуги Сле­до­ва­тель­но, углы  и  равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и равны, угол  — общий, зна­чит, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­ку­да  Зна­чит,  и  Таким об­ра­зом 

№ 311970. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD бо­ко­вые сто­ро­ны равны мень­ше­му ос­но­ва­нию BC. К диа­го­на­лям тра­пе­ции про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CE. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка BCEH, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 36 .

Ре­ше­ние.

По свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и  равны. Так как  тре­уголь­ни­ки  и  рав­но­бед­рен­ные, сле­до­ва­тель­но,  и  — со­от­вет­ству­ю­щие ме­ди­а­ны этих тре­уголь­ни­ков. Зна­чит,  От­ре­зок  со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, сле­до­ва­тель­но,  и пря­мые   и  па­рал­лель­ны, по­это­му,  — тра­пе­ция. Про­ведём  — вы­со­ту тра­пе­ции  и  — вы­со­ту тра­пе­ции  Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны, зна­чит,

Пло­щадь тра­пе­ции:  

Пло­щадь тра­пе­ции: 

 

 

Ответ: 9.

№ 314990. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 9 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и  равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

 

 

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

 

Ответ: 

№ 339435. В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 208. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

Ре­ше­ние.

Пусть  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков  и  (см. рис.). Тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са  яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

 

.

 

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

 

 

Про­ведём через вер­ши­ну  пря­мую, па­рал­лель­ную . Пусть  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны . Тогда 

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков  и  сле­ду­ет, что  По­это­му  и  Сле­до­ва­тель­но,

 

Ответ: 

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

 

Тре­уголь­ни­ки  и  равны: они пря­мо­уголь­ные, углы  и  равны, сто­ро­на — общая. Тогда  и За­ме­тим далее, что а тогда Бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, к ко­то­рой она про­ве­де­на, на от-резки про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам, по­это­му  от­ку­да Найдём  и 

 

Тре­уголь­ни­ки  и  равны:  углы и  равны,  — общая сто­ро­на, по­это­му  Ме­ди­а­на  тре-уголь­ни­ка  делит его на два рав­но­ве­ли­ких, по­это­му спра­вед­ли­во ра­вен­ство:  Тем самым, На­ко­нец, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка  от­ку­да

 

 

Пло­щадь вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин диаго-налей на синус угла между ними, по­это­му:

 

Тогда:  С дру­гой сто­ро­ны,  от­ку­да

 

 

Длину  найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка 

 

 

Зна­чит, 

Длину  найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре-уголь­ни­ка   тогда:

 

 

По­это­му 

 

Ответ: 

№ 314944. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 16. Окруж­ность ра­ди­у­са 12 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и  равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

 

 

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

 

Ответ: 

№ 311713. В тре­уголь­ни­ке  бис­сек­три­са угла  делит вы­со­ту, про­ведённую из вер­ши­ны , в от­но­ше­нии , счи­тая от точки . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка , если .

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим  вы­со­ту, про­ведённую из вер­ши­ны . Бис­сек­три­са, про­ведённая из угла , делит вы­со­ту в от­но­ше­нии, рав­но­му от­но­ше­нию и . Зна­чит , по­это­му . По тео­ре­ме си­ну­сов ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка  окруж­но­сти 


Ответ: 13.

№ 314990. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 10. Окруж­ность ра­ди­у­са 9 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и  равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

 

 

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

 

Ответ: 

№ 208. Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK.

Ре­ше­ние.

Про­ведём от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP. Тогда MT — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC и CT = TP, а KP — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT и TP = BP. Обо­зна­чим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKPчерез . Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPС, име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше ос­но­ва­ние, равна . Зна­чит пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKB равна  и равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СMK, ко­то­рая в свою оче­редь равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВК равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АМК. Итак,            Зна­чит, 

 

Ответ: 5:3.

№ 311702. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  катет  равен 8, катет  равен 15. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая про­хо­дит через концы ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся пря­мой .

Ре­ше­ние.

По усло­вию окруж­ность про­хо­дит через точку  и это един­ствен­ная общая точка окруж­но­сти и пря­мой . Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус  окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой . По­это­му пря­мые и  па­рал­лель­ны. Центр  окруж­но­сти рав­но­уда­лен от точек  и , сле­до­ва­тель­но, он лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к . Обо­зна­чим се­ре­ди­ну  бук­вой .

 — это на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых и се­ку­щей .

Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что . Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен

 

Тогда 


Ответ: .

№ 156. Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Длина сто­ро­ны AC равна 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

Ре­ше­ние.

Ме­ди­а­на BM делит AC по­по­лам. Центр окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ме­ди­а­ны BM, тогда ON - сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке BMC, где O - центр окруж­но­сти, а N - точка пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти сто­ро­ны BC. Сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке равна по­ло­ви­не ос­но­ва­ния, по­это­му ON=1. Сред­няя линия ON яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом окруж­но­сти. Так как ме­ди­а­на BM яв­ля­ет­ся диа­мет­ром, то BM=2ON=2. Про­ве­дем MN в тре­уголь­ни­ке BMC. Так как угол BNM опи­ра­ет­ся на диа­метр BM, то , таким об­ра­зом, тре­уголь­ник BNM- пря­мо­уголь­ный. Так как MN- сред­няя линия, то она па­рал­лель­на AB, тогда тре­уголь­ник ABC - пря­мо­уголь­ный. Центр опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы, таким об­ра­зом, ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти равен 2.

№ 314941. Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 18. Окруж­ность ра­ди­у­са 12 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Лучи и  — со­от­вет­ствен­но бис­сек­три­сы углов  и , по­сколь­ку эти лучи про­хо­дят через цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей.  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния  сле­до­ва­тель­но  Углы  и  равны друг другу, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  — они пря­мо­уголь­ные и имеют рав­ные углы  и , сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:

 

 

От­сю­да сле­ду­ет, что ра­ди­ус впи­са­ной окруж­но­сти:

 

Ответ:6,75.

№ 314862. Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CP. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ACP, равен 4, тан­генс угла BAC равен 0,75. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник  тан­генс угла — это от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, сле­до­ва­тель­но:

 

 

Пусть  —  тогда  равно  и, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, ги­по­те­ну­за  — 

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как про­из­ве­де­ние его по­лу­пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка также можно найти пло­щадь, как по­лу­про­из­ве­де­ние ка­те­тов. При­рав­няв эти вы­ра­же­ния, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень ноль не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Сле­до­ва­тель­но Найдём  из тре­уголь­ни­ка 

 

 

Найдём  по тео­рем Пи­фа­го­ра:

 

 

Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке  можно найти пло­щадь двумя спо­со­ба­ми. Со­ста­вим урав­не­ние и найдём ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник 

 

 

Ответ: 5.

№ 340323. Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 25 и 100 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Точки A и B лежат на пер­вой окруж­но­сти, точки C и D — на вто­рой. При этом AC и BD — общие ка­са­тель­ные окруж­но­стей. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ведём пря­мую  па­рал­лель­ную  Пря­мая — ка­са­тель­ная к обеим окруж­но­стям по­это­му ра­ди­у­сы  и  пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой  от­ку­да за­клю­ча­ем, что  от­ку­да  Рас­смот­рим четырёхуголь­ник   сле­до­ва­тель­но,  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Зна­чит,  Также за­ме­тим, что  Углы  и  равны, как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых. Из тре­уголь­ни­ка 

 

 

Из тре­уголь­ни­ка   Из тре­уголь­ни­ка   Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние:

 

Ответ: 80.

№ 314992. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 1 м, а длин­ное плечо — 3 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Здесь  — плечи "жу­рав­ля" до опус­ка­ния,  — после,  — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча,  — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и  равны, как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

 

 

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны по двум углам, то есть 

Рас­смот­ри пря­мые  и  их пе­ре­се­ка­ет се­ку­щая  углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке 1 и 2 на­крест ле­жа­щие и равны друг другу, сле­до­ва­тель­но пря­мые  и  па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но они равны.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны, зна­чит:

 

 

Ответ: 1,5.

 

 

При­ме­ча­ние

 

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков  и . На при­ведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные  и , они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков  и  со­от­вет­ствен­ные углы, не важно какие, равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми  и  Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны.

 

№ 314847. Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Длина сто­ро­ны AC равна 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник  — он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, . Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке  имеем:  Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ник : сумма его углов равна 180°, по­это­му

 

 

По­сколь­ку кроме этого  имеем:

 

 

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, имеют общий катет и  равно сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, .

Точка  от­сто­ит на рав­ное рас­сто­я­ние от всех трёх вер­шин тре­уголь­ни­ка, , сле­до­ва­тель­но, точка  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка . Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти 

 

Ответ: 2.

Название документа Прототипы задания 23.doc

Прототипы задания № 23

№ 338249. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

 

 

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  имеет с гра­фи­ком функ­ции не менее одной точки пе­ре­се­че­ния при  при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку 

 

Ответ: 

№ 338288. По­строй­те гра­фик функ­ции  И опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

 

 

Гра­фик функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы  с вы­ко­ло­той точ­кой 

 

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку при  и 

 

Ответ: −1; 3.

№ 314407. При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  ирас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от оси ?

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по раз­ные сто­ро­ны от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют раз­ные знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют раз­ный знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние от­ри­ца­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

 

 

За­ме­тим, что пер­вый мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

 

 

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют оди­на­к­вый знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

 

 

Ответ: 

№ 338249. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

 

 

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  имеет с гра­фи­ком функ­ции не менее одной точки пе­ре­се­че­ния при  при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку 

 

Ответ: 

№ 314801. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с па­ра­бо­лой  ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки и по­строй­те дан­ные гра­фи­ки в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

 

 

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

 

 

По усло­вию  по­это­му нам под­хо­дит зна­че­ние 

Под­ста­вив па­ра­метр  в урав­не­ние, найдём  ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

 

 

Ко­ор­ди­на­та  на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты  в любое из урав­не­ний, на­при­мер, в пер­вое:

 

 

Те­перь, зная  можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

 

 

 

Ответ: (2; 0).

№ 314446. При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют оди­на­ко­вые знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние по­ло­жи­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

 

 

За­ме­тим, что вто­рой мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

 

 

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

 

 

Ответ: 

№ 314727. Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций  и  имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

 

 

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

 

 

Под­ста­вив па­ра­метр  в урав­не­ние, найдём  ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

 

 

Ко­ор­ди­на­та  на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты  в любое из урав­не­ний, на­при­мер, во вто­рое:

 

 

Те­перь, зная  можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

 

 

 

Ответ: (1; 0).

№ 314715. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что гра­фик функ­ции можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

 

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

 

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно три общие точки при  и 

 

Ответ: 0; 4.

№ 314409. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; 6), B(6; –6), C(1; 9). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Ре­ше­ние.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так:  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­ту вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх урав­не­ний:

 

 

Найдём ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны:

 

 

Ответ: (2; 10).

№ 338207. По­строй­те гра­фик функ­ции  и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

 

 

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции  с вы­ко­ло­тыми точ­ками  и  По­стро­им гра­фик функ­ции (см. ри­су­нок).

 

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно две общие точки при  при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку 

 

Ответ: 

№ 314761. По­строй­те гра­фик функ­ции

 

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  будет пе­ре­се­кать по­стро­ен­ный гра­фик в трёх точ­ках.

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик функ­ции (см. ри­су­нок).

 

 

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  будет иметь с гра­фи­ком функ­ции ровно три точки пе­ре­се­че­ния при  при­над­ле­жа­щем мно­же­ству: 

 

Ответ: (−5; 0).

№ 333156. По­строй­те гра­фик функ­ции

 

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик функ­ции  при  и гра­фик функ­ции  при 

Пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки при  и 

 

Ответ: −3; −2.

Название документа Прототип задания 19.doc

Прототип задания № 19

№ 315135. Де­вя­ти­класс­ни­ки Петя, Катя, Ваня, Даша и На­та­ша бро­си­ли жре­бий, кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет де­воч­ка.

Ре­ше­ние.

Из пя­те­рых детей — де­во­чек трое. По­это­му ве­ро­ят­ность равна 

 

Ответ: 0,6.

№ 325496. Иг­раль­ную кость бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что сумма двух вы­пав­ших чисел не­чет­на.

Ре­ше­ние.

При бро­са­нии ку­би­ка два­жды рав­но­воз­мож­ны 6 · 6 = 36 раз­лич­ных ис­хо­дов. Сумма нечётна, если на пер­вом ку­би­ке вы­па­да­ет нечётное число, а на вто­ром вы­па­да­ет чётное число, этому со­от­вет­ству­ет 3 · 3 = 9 ис­хо­дов. Либо, если на­о­бо­рот, на пер­вом ку­би­ке вы­па­да­ет чётное число, а на вто­ром вы­па­да­ет нечётное число, этому со­от­вет­ству­ет 3 · 3 = 9 ис­хо­дов. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что сумма двух вы­пав­ших чисел нечётна равна 

 

Ответ: 0,5.

№ 311501. На эк­за­ме­не 25 би­ле­тов, Сер­гей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет.

Ре­ше­ние.

Сер­гей вы­учил 25 − 3 = 22 би­ле­та. Таким об­ра­зом ве­ро­ят­ность того, что ему попадётся вы­учен­ный билет равна 

Ответ: 0,88

№ 311493. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии.

Ре­ше­ние.

Всего вы­сту­па­ет 13 + 2 + 5 = 20 спортс­ме­нов. Из них не из Рос­сии 7 спортс­ме­нов. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии равна 

Ответ: 0,35

№ 311486. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5?

Ре­ше­ние.

Всего чисел - 20 штук. Из них 4 де­лят­ся на 5. Таким об­ра­зом,ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5 равна 0,2.

Ответ: 0,2

№ 325460. Валя вы­би­ра­ет слу­чай­ное трех­знач­ное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 51.

Ре­ше­ние.

Всего трёхзнач­ных чисел 900 штук. Из трёхзнач­ных чисел, на 51 де­лит­ся каж­дое 51-ое число, на­чи­ная со 102. Из треёхзнач­ных чисел на 51 де­лит­ся  По­это­му ве­ро­ят­ность того, что Валя вы­бра­ла число, де­ля­ще­е­ся на 51 равна 

 

Ответ: 0,02.

№ 132734. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 9 чер­ных, 4 жел­тых и 7 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­ку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к нему при­е­дет жел­тое такси.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что при­е­дет жел­тая ма­ши­на равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства жел­тых машин к об­ще­му ко­ли­че­ству машин: 

 

Ответ: 0,2.

№ 325480. Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии ку­би­ка вы­па­ло число очков, не мень­шее 1.

Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Ре­ше­ние.

При бро­са­нии ку­би­ка все­гда вы­па­да­ет не мень­ше од­но­го очка, то есть ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­па­дет число очков не мень­шее 1» равна од­но­му.

 

Ответ: 1.

№ 311486. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5?

Ре­ше­ние.

Всего чисел - 20 штук. Из них 4 де­лят­ся на 5. Таким об­ра­зом,ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 192 до 211 вклю­чи­тель­но де­лит­ся на 5 равна 0,2.

Ответ: 0,2

№ 325494. Иг­раль­ную кость бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что наи­мень­шее из двух вы­пав­ших чисел равно 2.

Ре­ше­ние.

При бро­са­нии ку­би­ка два­жды рав­но­воз­мож­ны 6 · 6 = 36 раз­лич­ных ис­хо­дов. Число 2 будет наи­мень­шим из вы­пав­ших, если хотя бы один раз вы­па­да­ет 2 и ни разу — 1. То есть либо на пер­вом ку­би­ке долж­но вы­пасть 2 очка, а на вто­ром — любое число кроме 1, либо на­о­бо­рот, на вто­ром ку­би­ке долж­но вы­пасть 2, а на пер­вом — любое число кроме 1. Также не­об­хо­ди­мо пом­нить, что при таком подсчёте ва­ри­ант, когда на обоих ку­би­ках вы­па­да­ет двой­ка, мы учи­ты­ва­ем два­жды: 5 + 5 − 1 = 9. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что наи­мень­шее из двух вы­пав­ших чисел — 2 равна 

 

Ответ: 0,25.

№ 333152. Из 500 мо­ни­то­ров, по­сту­пив­ших в про­да­жу, в сред­нем 15 не ра­бо­та­ют. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный в ма­га­зи­не мо­ни­тор ра­бо­та­ет?

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что мо­ни­тор не ра­бо­та­ет  По­это­му ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный мо­ни­тор ра­бо­та­ет 

 

Ответ: 0,97.

№ 311347. Для эк­за­ме­на под­го­то­ви­ли би­ле­ты с но­ме­ра­ми от 1 до 25. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет номер, яв­ля­ю­щий­ся дву­знач­ным чис­лом?

Ре­ше­ние.

Всего было под­го­тов­ле­но 25 би­ле­тов. Среди них 16 дву­знач­ных. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность взять билет с двух­знач­ным но­ме­ром равна 

Ответ: 0,64

№ 311482. В сред­нем на 147 ис­прав­ных дре­лей при­хо­дят­ся три не­ис­прав­ные. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на.

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство всех дре­лей равно 147 + 3 = 150. По­это­му, ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на равна 

Ответ: 0,98

№ 311490. На та­рел­ке лежат пи­рож­ки, оди­на­ко­вые на вид: 4 с мясом, 8 с ка­пу­стой и 3 с виш­ней. Петя на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пи­ро­жок ока­жет­ся с виш­ней.

Ре­ше­ние.

Всего пи­рож­ков 4 + 8 + 3 = 15. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ный пи­ро­жок ока­жет­ся с виш­ней равна 

Ответ: 0,2

№ 315196. За­пи­сан рост (в сан­ти­мет­рах) пяти уча­щих­ся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколь­ко от­ли­ча­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этого на­бо­ра чисел от его ме­ди­а­ны?

Ре­ше­ние.

Ме­ди­а­ной ряда, со­сто­я­ще­го из не­чет­но­го ко­ли­че­ства чисел, на­зы­ва­ет­ся число дан­но­го ряда, ко­то­рое ока­жет­ся по­се­ре­ди­не, если этот ряд упо­ря­до­чить. Ме­ди­а­ной ряда, со­сто­я­ще­го из чет­но­го ко­ли­че­ства чисел, на­зы­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское двух сто­я­щих по­се­ре­ди­не чисел этого ряда.

Упо­ря­до­чим дан­ный ряд: 130, 132, 134, 158, 166, сле­до­ва­тель­но, ме­ди­а­на равна 134. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское же будет равно

 

 

Раз­ни­ца между ме­ди­а­ной и сред­ним ариф­ме­ти­че­ским со­став­ля­ет 144 − 134 = 10.

 

Ответ: 10.

Название документа Прототип задания15.doc

Прототип задания № 15

№ 322173.

 

На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость кру­тя­ще­го мо­мен­та дви­га­те­ля от числа его обо­ро­тов в ми­ну­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся число обо­ро­тов в ми­ну­ту, на оси ор­ди­нат — кру­тя­щий мо­мент в Н·м. На сколь­ко Н·м уве­ли­чил­ся кру­тя­щий мо­мент, если число обо­ро­тов дви­га­те­ля воз­рос­ло с 1000 до 1500 обо­ро­тов в ми­ну­ту?

Ре­ше­ние.

При 1000 обо­ро­тов в ми­ну­ту кру­тя­щий мо­мент был равен 20 Н·м, а при 1500 обо­ро­тах — 60 Н·м. По­это­му кру­тя­щий мо­мент уве­ли­чил­ся на 60 − 20 = 40 Н·м.

 

Ответ: 40.

№ 311477. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах).

На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­бы от­ли­ча­ет­ся дав­ле­ние на вы­со­те 2 км от дав­ле­ния на вы­со­те 8 км?

Ре­ше­ние.

Найдём раз­ность дав­ле­ния на вы­со­те 2 км и 8 км: 580-260 = 320 мм рт. ст.

 

Ответ:320.

№ 311401. При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, на сколь­ко вольт упа­дет на­пря­же­ние за 15 часов ра­бо­ты фо­на­ри­ка.

Ре­ше­ние.

По гра­фи­ку видно, что за 15 часов на­пря­же­ние упа­дет на 1,6 − 1 = 0,6 В.

 

Ответ: 0,6.

№ 311508. В таб­ли­це при­ве­де­ны ре­зуль­та­ты двух по­лу­фи­наль­ных за­бе­гов на ди­стан­цию 60 м. В фи­наль­ном за­бе­ге 6 участ­ни­ков. Из каж­до­го по­лу­фи­на­ла в финал вы­хо­дят два спортс­ме­на, по­ка­зав­ших пер­вый и вто­рой ре­зуль­та­ты. К ним до­бав­ля­ют еще двух спортс­ме­нов, по­ка­зав­ших луч­шее время среди всех осталь­ных участ­ни­ков по­лу­фи­на­лов.

За­пи­ши­те в от­ве­те но­ме­ра спортс­ме­нов, не по­пав­ших в финал.

Ре­ше­ние.

В пер­вом по­лу­фи­на­ле два луч­ших вре­ме­ни по­ка­за­ли спортс­ме­ны 1 и 4, во вто­ром — спортс­ме­ны 6 и 7. Среди всех осталь­ных участ­ни­ков по­лу­фи­на­ла два наи­луч­ших вре­ме­ни по­ка­за­ли спортс­ме­ны 5 и 8. Сле­до­ва­тель­но, в финал не по­па­дут спортс­ме­ны 2 и 3.

 

Ответ: 23.

Ответ: 23|2,3|32|3,2

№ 322141. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Сколь­ко часов в пер­вой по­ло­ви­не дня тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 25 °C?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что в пер­вой по­ло­ви­не дня, то есть до 12:00, тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 25 °C в те­че­ние трёх часов.

 

Ответ: 3.

№ 146. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те наи­мень­шее зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в среду.

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но, что ми­ни­маль­ное зна­че­ние дав­ле­ния в среду равно 752 мм рт. ст.

 

Ответ: 752.

№ 311764. На ри­сун­ке по­ка­за­но, как из­ме­ня­лась тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли ука­за­но время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­ста­ви­ла 8 °С.

 

Ответ: 8.

№ 322037. Ан­дрей и Иван со­рев­но­ва­лись в 50-мет­ро­вом бас­сей­не на ди­стан­ции 100 м. Гра­фи­ки их за­плы­вов по­ка­за­ны на ри­сун­ке. По го­ри­зон­таль­ной оси от­ло­же­но время, а по вер­ти­каль­ной – рас­сто­я­ние плов­ца от стар­та. Кто быст­рее про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции? В от­ве­те за­пи­ши­те, на сколь­ко се­кунд быст­рее он про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции.

 

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что Ан­дрей быст­рее про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции за 40 с, а Иван за 60 с. Таким об­ра­зом, Ан­дрей про­плыл первую по­ло­ви­ну ди­стан­ции на 80 − 60 = 20 с быст­рее.

 

Ответ: 20.

№ 311357.

 

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик по­ле­та тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся рас­сто­я­ние от земли (в м), по го­ри­зон­таль­ной оси — прой­ден­ный путь (в м). По ри­сун­ку опре­де­ли­те, на какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся тело в мо­мент вре­ме­ни, когда оно про­ле­тит 60 мет­ров.

Ре­ше­ние.

По гра­фи­ку видно, что когда тело про­ле­тит 60 мет­ров, оно будет на­хо­дить­ся на вы­со­те 2 м.

 

Ответ: 2.

№ 314672. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты мест­но­сти над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На сколь­ко мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба ат­мо­сфер­ное дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста ниже ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния на вы­со­те Боль­шо­го Ше­ло­ма?

 

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что дав­ле­ние на вы­со­те Эве­ре­ста мень­ше дав­ле­ния на вы­со­те Боль­шо­го Ше­ло­ма на 380 мм. рт. ст.

 

Ответ: 380.

Название документа Прототип задания 17.doc

Прототип задания 17

№ 132764. Че­ло­век ро­стом 1,7 м стоит на рас­сто­я­нии 8 шагов от стол­ба, на ко­то­ром висит фо­нарь. Тень че­ло­ве­ка равна че­ты­рем шагам. На какой вы­со­те (в мет­рах) рас­по­ло­жен фо­нарь?

Ре­ше­ние.

Столб и че­ло­век об­ра­зу­ют два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках ABC и FEB. Эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам. Пусть вы­со­та фо­на­ря равна , тогда

 

от­ку­да

 

По­это­му фо­нарь рас­по­ло­жен на вы­со­те 5,1 м.

 

Ответ: 5,1.

17 № 314914. Че­ло­век, рост ко­то­ро­го равен 1,8 м, стоит на рас­сто­я­нии 16 м от улич­но­го фо­на­ря. При этом длина тени че­ло­ве­ка равна 9 м. Опре­де­ли­те вы­со­ту фо­на­ря (в мет­рах).

 

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и  они имеют общий угол  и, сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны по двум углам. Зна­чит,  от­ку­да 

Ответ: 5.

№ 311688. Про­ек­тор пол­но­стью осве­ща­ет экран A вы­со­той 80 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 250 см от про­ек­то­ра. На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии (в сан­ти­мет­рах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 160 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки про­ек­то­ра оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми?

 

Ре­ше­ние.

Пусть x — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Тре­уголь­ни­ки СDE и СAO по­доб­ны, по­это­му

 

Имеем:

 

 

 

Ответ: 500.

№ 311390. Какой угол (в гра­ду­сах) об­ра­зу­ют ми­нут­ная и ча­со­вая стрел­ки, когда часы по­ка­зы­ва­ют ровно 4 часа?

Ре­ше­ние.

Ча­со­вы­ми де­ле­ни­я­ми ци­фер­блат раз­бит на 12 кру­го­вых сек­то­ров. Угол каж­до­го из них равен 360° : 12 = 30°. Между ми­нут­ной и ча­со­вой стрел­кой че­ты­ре ча­со­вых де­ле­ния. Они об­ра­зу­ют угол 120°.

 

Ответ: 120.

№ 314820.

 На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от фо­на­ря стоит че­ло­век ро­стом 2 м, если длина его тени равна 1 м, вы­со­та фо­на­ря 9 м?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки  и  они имеют общий угол  и, сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны по двум углам. Зна­чит,  от­ку­да  По­лу­ча­ем, что 

 

Ответ: 3,5.

№ 316378.

 

Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,11 м, а рас­сто­я­ние между её ос­но­ва­ни­я­ми в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 0,72 м. Най­ди­те вы­со­ту (в мет­рах) стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

Ре­ше­ние.

Дан­ная за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Пусть  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние, тогда:

 

 

Ответ: 1,05.

№ 325085. За сколь­ко часов Земля по­вер­нет­ся во­круг своей оси на 120°?

Ре­ше­ние.

За сутки Земля со­вер­ша­ет пол­ный обо­рот, то есть по­во­ра­чи­ва­ет­ся на 360°. Сле­до­ва­тель­но, за один час Земля по­во­ра­чи­ва­ет­ся на 360° : 24 = 15°. По­лу­ча­ем, что на 120° часов Земля по­во­ра­чи­ва­ет­ся за 120° : 15° = 8 часов.

 

Ответ: 8.

№ 333097. На какой угол (в гра­ду­сах) по­во­ра­чи­ва­ет­ся ми­нут­ная стрел­ка, пока ча­со­вая про­хо­дит 25°?

Ре­ше­ние.

Ми­нут­ная стрел­ка дви­жет­ся в 12 раз быст­рее ча­со­вой, по­это­му она пройдёт 25° · 12 = 300°.

 

При­ме­ча­ние.

Су­ще­ствен­но, что ци­фер­блат пред­по­ла­га­ет­ся 12-ча­со­вым.

 

Ответ: 300.

№ 316289. Де­воч­ка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 880 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 900 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 400 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­за­лась де­воч­ка?

Ре­ше­ние.

Во­сток и запад — про­ти­во­по­лож­ные на­прав­ле­ния, по­это­му де­воч­ка про­шла 880 − 400 = 480 м на запад. Пусть  — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, ги­по­те­ну­за ищет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

 

Ответ: 1020.

№ 311524. Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки    и   , рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 25 м. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те вы­со­ту   (в мет­рах), на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца.

Ре­ше­ние.

Про­филь каж­дой сту­пень­ки имеет форму пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 14 и 48 см. Найдём ги­по­те­ну­зу каж­до­го из них:

 

Так как рас­сто­я­ние от A до B равно 25 мет­рам можем найти ко­ли­че­ство сту­пе­ней: 25 : 0,5 = 50 шт.

По усло­вию за­да­чи вы­со­та одной сту­пе­ни равна 14 см, таким об­ра­зом, най­дем вы­со­ту лест­ни­цы: 50 · 14 см = 700 см = 7 м.

 

Ответ: 7.

№ 311918. Глу­би­на бас­сей­на со­став­ля­ет 2 метра, ши­ри­на — 10 мет­ров, а длина — 25 мет­ров. Най­ди­те сум­мар­ную пло­щадь бо­ко­вых стен и дна бас­сей­на (в квад­рат­ных мет­рах).

Ре­ше­ние.

Дно и стены бас­сей­на — пря­мо­уголь­ни­ки, по­это­му пло­щадь дна бас­сей­на равна 10 · 25 = 250 м2, а пло­щадь че­ты­рех его стен равна 2 · (2 · 10 + 2 · 25) = 140 м2. Тем самым, общая пло­щадь равна 390 м2.

 

Ответ: 390.

№ 325270.

 

Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 5,5 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 4,8 м. Най­ди­те длину троса. Ответ дайте в мет­рах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что длина троса равна: 

 

Ответ: 7,3.

№ 311522. Опре­де­ли­те вы­со­ту дома, ши­ри­на фа­са­да ко­то­ро­го равна 6 м, вы­со­та от фун­да­мен­та до крыши равна 4 м, а длина ската крыши равна 5 м.

Ре­ше­ние.

Крыша дома имеет форму рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Вы­со­та этого тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и равна

 

Вы­со­та всего дома равна длине вы­со­ты крыши и вы­со­ты фун­да­мен­та до крыши. Таким об­ра­зом вы­со­та дома равна: 4 + 4 = 8 м.

 

Ответ: 8.

№ 311323.

 

Опре­де­ли­те, сколь­ко не­об­хо­ди­мо за­ку­пить плен­ки  для гид­ро­изо­ля­ции са­до­вой до­рож­ки, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке, если её ши­ри­на везде оди­на­ко­ва.

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим фи­гу­ру,изоб­ра­жен­ную на кар­тин­ке на 3 пря­мо­уголь­ни­ка. Най­дем пло­щадь пер­во­го пря­мо­уголь­ни­ка: 5 · 1 = 5 м2. Най­дем пло­щадь вто­ро­го пря­мо­уголь­ни­ка: 4 · 1 = 4 м2. Най­дем пло­щадь тре­тье­го пря­мо­уголь­ни­ка: 4 · 1 = 4 м2. Сло­жим все пло­ща­ди: 5 м2+4 м2 + 4 м2 = 13 м2.

Таким об­ра­зом, по­тре­бу­ет­ся за­ку­пить 13 м2 плен­ки.

 

Ответ: 13.

Название документа Прототип задания20.doc

Прототип задания № 20

№ 338342. Пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия в шкалу Фа­рен­гей­та поз­во­ля­ет фор­му­ла F = 1,8C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 155° по шкале Фа­рен­гей­та? Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим гра­ду­сы Цель­сия из фо­ру­лы для пе­ре­во­да гра­ду­сов Цель­сия в гра­ду­сы Фа­рен­гей­та:

 

Под­ста­вим в фор­му­лу зна­че­ние 

 

 

Ответ: 68,3.

№ 338071. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может при­ближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, если l = 80 см, n = 1600? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Найдём какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, под­ста­вим длину шага и число шагов в фор­му­лу:

 

 

Ответ: 1,28

№ 311542. Чтобы пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия (t °C) в шкалу Фа­рен­гей­та ( °F) поль­зу­ют­ся фор­му­лой  , где  — гра­ду­сы Цель­сия,  — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах) по шкале Фа­рен­гей­та со­от­вет­ству­ет 20° по шкале Цель­сия?

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в фор­му­лу :

 

 

Ответ: 68.

№ 311532. В фирме «Род­ник» сто­и­мость (в руб­лях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  , где   — число колец, уста­нов­лен­ных при рытье ко­лод­ца. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, рас­счи­тай­те сто­и­мость ко­лод­ца из 5 колец.

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим ко­ли­че­ство колец в фор­му­лу для рас­че­та сто­и­мо­сти. Имеем:

 

 

Ответ: 21 100.

№ 316381. Пол­ную ме­ха­ни­че­скую энер­гию тела (в джо­у­лях) можно вы­чис­лить по фор­му­ле  где  — масса тела (в ки­ло­грам­мах),  — его ско­рость (в м/с),  — вы­со­та по­ло­же­ния цен­тра масс тела над про­из­воль­но вы­бран­ным ну­ле­вым уров­нем (в мет­рах), а  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (в м/с2). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  (в ки­ло­грам­мах), если    а 

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим массу:  Под­ста­вим зна­че­ния пе­ре­мен­ных:

 

 

Ответ: 7.

№ 311531. В фирме «Эх, про­ка­чу!» сто­и­мость по­езд­ки на такси (в руб­лях) рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  , где  — дли­тель­ность по­езд­ки, вы­ра­жен­ная в ми­ну­тах  . Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, рас­счи­тай­те сто­и­мость 15-ми­нут­ной по­езд­ки.

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим время в фор­му­лу для рас­че­та сто­и­мо­сти по­езд­ки. Имеем:

 

 

Ответ: 260.

№ 314143. В фирме «Эх, про­ка­чу!» сто­и­мость по­езд­ки на такси (в руб­лях) рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле C = 150 + 11 · (t − 5), где t — дли­тель­ность по­езд­ки, вы­ра­жен­ная в ми­ну­тах (t > 5). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, рас­счи­тай­те сто­и­мость 14-ми­нут­ной по­езд­ки.

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу зна­че­ние пе­ре­мен­ной :

 

 

Ответ: 249.

№ 325480. Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии ку­би­ка вы­па­ло число очков, не мень­шее 1.

Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Ре­ше­ние.

При бро­са­нии ку­би­ка все­гда вы­па­да­ет не мень­ше од­но­го очка, то есть ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­па­дет число очков не мень­шее 1» равна од­но­му.

 

Ответ: 1.

№ 311544. Пе­ри­од ко­ле­ба­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка    (в се­кун­дах) при­бли­жен­но можно вы­чис­лить по фор­му­ле  , где   — длина нити (в мет­рах). Поль­зу­ясь дан­ной фор­му­лой, най­ди­те длину нити ма­ят­ни­ка, пе­ри­од ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го со­став­ля­ет 7 с.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину ма­ят­ни­ка:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

 

 

Ответ: 12,25.

№ 311544. Пе­ри­од ко­ле­ба­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка    (в се­кун­дах) при­бли­жен­но можно вы­чис­лить по фор­му­ле  , где   — длина нити (в мет­рах). Поль­зу­ясь дан­ной фор­му­лой, най­ди­те длину нити ма­ят­ни­ка, пе­ри­од ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го со­став­ля­ет 7 с.

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину ма­ят­ни­ка:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

 

 

Ответ: 12,25.

№ 311536. Длину бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка, про­ведённой к сто­ро­не  , можно вы­чис­лить по фор­му­ле  . Вы­чис­ли­те  ,  если  .

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим из дан­ной фор­му­лы :

 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

 

 

Ответ: 0,8.

№ 311535. Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти можно найти по фор­му­ле  , где    и    — ка­те­ты, а   — ги­по­те­ну­за тре­уголь­ни­ка. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те  , если    и  .

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин:

 

 

 

Ответ: 3,2.

№ 338238. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле где  и  — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка,  — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли  если   a 

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину диа­го­на­ли  из фор­му­лы для пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка:

 

 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 4.

№ 338396. Рас­сто­я­ние s (в мет­рах) до места удара мол­нии можно при­ближённо вы­чис­лить по фор­му­ле s = 330t, где t — ко­ли­че­ство се­кунд, про­шед­ших между вспыш­кой мол­нии и уда­ром грома. Опре­де­ли­те, на каком рас­сто­я­нии от места удара мол­нии на­хо­дит­ся на­блю­да­тель, если t = 10 с. Ответ дайте в ки­ло­мет­рах, округ­лив его до целых.

Ре­ше­ние.

Най­дем рас­сто­я­ние, на ко­то­ром на­хо­дит­ся на­блю­да­тель от места удара мол­нии:

 

Ответ: 3.

№ 311541. Объём пи­ра­ми­ды вы­чис­ля­ют по фор­му­ле  , где   — пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды,   — её вы­со­та. Объём пи­ра­ми­ды равен 40, пло­щадь ос­но­ва­ния 15. Чему равна вы­со­та пи­ра­ми­ды?

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим вы­со­ту пи­ра­ми­ды из фор­му­лы для ее объ­е­ма:

 

 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

 

 

 

Ответ: 8.

Название документа Прототипы задания № 6.docx

Прототипы задания № 6

№ 321579. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448; 112; 28; … Найдите сумму первых четырёх её членов.

B 6 № 314425. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –7,2; –6,9; …

№ 321579. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448; 112; 28; … Найдите сумму первых четырёх её членов.

№ 137302. Арифметические прогрессии  и  заданы формулами n-го члена: 

№ 137303. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

 

1) 

2) 

3) 

4) 

6 № 321663. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой .

№ 137304. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) 

2) 

3) 

4) 

№ 316254. Дана арифметическая прогрессия: 11, 7, 3, ... . Какое число стоит в этой последовательности на 7-м месте?

№ 311787. Дана арифметическая прогрессия −19, −15, −11, ... Какое число стоит в этой последовательности на 81-м месте?

№ 191. Арифметическая прогрессия  задана условиями: . Найдите 

№ 314408. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; …

№ 311330. Арифметическая прогрессия  задана формулой n-го члена  и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии.

№ 316369. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 93; 85,5; 78; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

№ 316317. Дана арифметическая прогрессия: −18, −11, −4, ... . Какое число стоит в этой последовательности на 21-м месте?

№ 113. Дана арифметическая прогрессия   Найдите  .

Прототипы задания № 6

№ 321579. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448; 112; 28; … Найдите сумму первых четырёх её членов.

B 6 № 314425. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –7,2; –6,9; …

№ 321579. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448; 112; 28; … Найдите сумму первых четырёх её членов.

№ 137302. Арифметические прогрессии  и  заданы формулами n-го члена: 

№ 137303. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

 

1) 

2) 

3) 

4) 

6 № 321663. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой .

№ 137304. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) 

2) 

3) 

4) 

№ 316254. Дана арифметическая прогрессия: 11, 7, 3, ... . Какое число стоит в этой последовательности на 7-м месте?

№ 311787. Дана арифметическая прогрессия −19, −15, −11, ... Какое число стоит в этой последовательности на 81-м месте?

№ 191. Арифметическая прогрессия  задана условиями: . Найдите 

№ 314408. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; …

№ 311330. Арифметическая прогрессия  задана формулой n-го члена  и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии.

№ 316369. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 93; 85,5; 78; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

№ 316317. Дана арифметическая прогрессия: −18, −11, −4, ... . Какое число стоит в этой последовательности на 21-м месте?

№ 113. Дана арифметическая прогрессия   Найдите  .

Название документа Прототип задапрния 14.doc

Прототип задания 14

№ 108. В таб­ли­це даны ре­ко­мен­ду­е­мые су­точ­ные нормы по­треб­ле­ния (в г/сутки) жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов детьми от 1 года до 14 лет и взрос­лы­ми.

 

Ве­ще­ство

Дети от 1 года до 14 лет

Муж­чи­ны

Жен­щи­ны

Жиры

40−97

70−154

60−102

Белки

36−87

65−117

58−87

Уг­ле­во­ды

170−420

257−586

 

Какой вывод о су­точ­ном по­треб­ле­нии жиров 10-лет­ней де­воч­кой можно сде­лать, если по подсчётам ди­е­то­ло­га в сред­нем за сутки она по­треб­ля­ет 102 г жиров?

 

1) По­треб­ле­ние в норме.

2) По­треб­ле­ние выше ре­ко­мен­ду­е­мой нормы.

3) По­треб­ле­ние ниже ре­ко­мен­ду­е­мой нормы.

4) В таб­ли­це не­до­ста­точ­но дан­ных.

Ре­ше­ние.

Су­точ­ная норма жиров де­ся­ти­лет­ней де­воч­ки лежит в пре­де­лах 40−97 г. По­треб­ле­ние 102 г жиров в сутки пре­вы­ша­ет норму.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

№ 317658. Ку­ри­ные яйца в за­ви­си­мо­сти от их массы под­раз­де­ля­ют на пять ка­те­го­рий: выс­шая, от­бор­ная, пер­вая, вто­рая и тре­тья. Ис­поль­зуя дан­ные, пред­став­лен­ные в таб­ли­це, опре­де­ли­те, к какой ка­те­го­рии от­но­сит­ся яйцо, мас­сой 82,2 г.

 

Ка­те­го­рия

Масса од­но­го яйца,

не менее, г

Выс­шая

75,0

От­бор­ная

65,0

Пер­вая

55,0

Вто­рая

45,0

Тре­тья

35,0

 

1) Выс­шая

2) От­бор­ная

3) Вто­рая

4) Тре­тья

Ре­ше­ние.

Масса яйца равна 82,2 г, это зна­че­ние боль­ше 75,0 г, сле­до­ва­тель­но, яйцо от­но­сит­ся к выс­шей ка­те­го­рии.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

№ 311299. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство школь­ни­ков, по­се­тив­ших те­ат­ры г. Крас­но­да­ра за 2010 г. Опре­де­ли­те, сколь­ко при­мер­но зри­те­лей по­се­ти­ли за этот пе­ри­од Фи­лар­мо­нию, если во всех этих те­ат­рах школь­ни­ков было 2000 че­ло­век.

 

1) 150

2) 240

3) 350

4) 500

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что «Фи­лар­мо­нию» по­се­ти­ло более  школь­ни­ков, но менее  школь­ни­ков, т. е. боль­ше 250, но мень­ше 500 че­ло­век. Наи­бо­лее близ­кий ва­ри­ант от­ве­та — 350 школь­ни­ков.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

№ 311290. До­рож­ный знак, изоб­ражённый на ри­сун­ке, на­зы­ва­ет­ся «Огра­ни­че­ние вы­со­ты». Его уста­нав­ли­ва­ют перед мо­ста­ми, тон­не­ля­ми и про­чи­ми со­ору­же­ни­я­ми, чтобы за­пре­тить про­езд транс­порт­но­го сред­ства, га­ба­ри­ты ко­то­ро­го (с гру­зом или без груза) пре­вы­ша­ют уста­нов­лен­ную вы­со­ту.

Ка­ко­му из дан­ных транс­порт­ных средств этот знак за­пре­ща­ет про­езд?

 

1) мо­ло­ко­во­зу вы­со­той 3770 мм

2) по­жар­но­му ав­то­мо­би­лю вы­со­той 3400 мм

3) ав­то­топ­ли­во­за­прав­щи­ку вы­со­той 2900 мм

4) ав­то­ци­стер­не вы­со­той 3350 мм

Ре­ше­ние.

Пе­ре­ведём до­пу­сти­мую вы­со­ту в мил­ли­мет­ры: 3,5 м = 3500 мм и срав­ним с пред­ло­жен­ны­ми ва­ри­ан­та­ми:

1) 3770 > 3500 — про­езд за­пре­щен.

2) 3400 < 3500 — про­езд раз­ре­шен.

3) 2900 < 3500 — про­езд раз­ре­шен.

4) 3350 < 3500 — про­езд раз­ре­шен.

 

Таким об­ра­зом, знак «Огра­ни­че­ние вы­со­ты» за­пре­ща­ет про­езд мо­ло­ко­во­зу.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

№ 314202. Сту­дент­ка Фи­ал­ко­ва вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 8:30. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

 

От­прав­ле­ние от

ст. Нара

При­бы­тие на

Ки­ев­ский вок­зал

6:17

7:13

6:29

7:40

6:35

7:59

7:05

8:23

 

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 40 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­дент­ке.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку путь от вок­за­ла до места уни­вер­си­те­та­за­ни­ма­ет 40 минут, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 07:50. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да, от­прав­ля­ю­щи­е­ся в 6:17 и 6:29. Из них самый позд­ний от­прав­ля­ет­ся в 6:29.

 

Ответ: 2.

№ 311425. В таб­ли­це пред­став­ле­ны цены (в руб­лях) на не­ко­то­рые то­ва­ры в трёх ма­га­зи­нах:

 

Ма­га­зин

Орехи (за кг.)

Шо­ко­лад (за плит­ку)

Зефир (за кг.)

«Ма­шень­ка»

600

45

144

«Лидия»

585

65

116

«Камея»

660

53

225

 

Ла­ри­са Кузь­ми­нич­на хочет ку­пить 0,4 кг оре­хов, 5 пли­ток шо­ко­ла­да и 1,5 кг зе­фи­ра. В каком ма­га­зи­не сто­и­мость такой по­куп­ки будет наи­мень­шей, если в «Камее» про­хо­дит акция: скид­ка 20% на орехи и зефир, а в «Ма­шень­ке» скид­ка 10% на все про­дук­ты?

 

1) В «Ма­шень­ке»

2) В «Лидии»

3) В «Камее»

4) Во всех ма­га­зи­нах сто­и­мость по­куп­ки будет оди­на­ко­вой

Ре­ше­ние.

Най­дем сто­и­мость по­куп­ки в каж­дом ма­га­зи­не и вы­бе­рем наи­мень­шую.

1) В ма­га­зи­не «Ма­шень­ка» сто­и­мость по­куп­ки без учета скид­ки будет равна:

 

600 · 0,4 + 5 · 45 + 1,5 · 144 = 681 рубль.

 

С уче­том 10% скид­ки на все то­ва­ры сто­и­мость будет равна 612 руб. 90 коп.

2) В ма­га­зи­не «Лидия» сто­и­мость по­куп­ки будет равна: 585 · 0,4 + 5 · 65 + 1,5 · 116 = 733 рубля.

3) В ма­га­зи­не «Камея» сто­и­мость по­куп­ки с уче­том 20% ски­док на орехи и зефир будет равна:

 

660 · (1−0,2) · 0,4 + 53 · 5 + 225 · (1−0,2) · 1,5 = 746 руб. 20 коп.

 

Таким об­ра­зом, наи­мень­шая цена с уче­том всех име­ю­щих­ся ски­док в ма­га­зи­не «Ма­шень­ка».

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

№ 316666. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

 

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч

21—40

41—60

61—80

81 и более

Раз­мер штра­фа, руб.

500

1000

2000

5000

 

Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 82 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 40 км/ч?

 

1) 500 руб­лей

2) 1000 руб­лей

3) 2000 руб­лей

4) 5000 руб­лей

Ре­ше­ние.

Найдём пре­вы­ше­ние ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля: 82 − 40 = 42 км/ч. Из таб­ли­цы на­хо­дим, что та­ко­му пре­вы­ше­нию ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет штраф в раз­ме­ре 1000 руб­лей.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

№ 337839. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты олим­пи­ад по гео­гра­фии и био­ло­гии в 8 «А» клас­се.

 

Номер уче­ни­ка

Балл по гео­гра­фии

Балл по био­ло­гии

5005

69

36

5006

88

48

5011

53

34

5015

98

55

5028

44

98

5020

74

37

5025

66

83

5027

76

82

5029

79

98

5032

76

39

5041

69

72

5042

45

54

5043

45

72

5048

55

48

5054

84

68

 

По­хваль­ные гра­мо­ты дают тем школь­ни­кам, у кого сум­мар­ный балл по двум олим­пи­а­дам боль­ше 120 или хотя бы по од­но­му пред­ме­ту на­бра­но не мень­ше 65 бал­лов.

 

Сколь­ко че­ло­век из 8 «А», на­брав­ших мень­ше 65 бал­лов по гео­гра­фии, по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты?

 

1) 1

2) 3

3) 4

4) 2

Ре­ше­ние.

Вы­де­лим тех, кто по­лу­чил мень­ше 65 бал­лов по гео­гра­фии:

 

Номер уче­ни­ка

Балл по гео­гра­фии

Балл по био­ло­гии

5005

69

36

5006

88

48

5011

53

34

5015

98

55

5028

44

98

5020

74

37

5025

66

83

5027

76

82

5029

79

98

5032

76

39

5041

69

72

5042

45

54

5043

45

72

5048

55

48

5054

84

68

 

Из них те, кто ука­зан под но­ме­ра­ми 5028, 5043, на­бра­ли не мень­ше 65 бал­лов по био­ло­гии. А более 120 бал­лов по­лу­чи­л по двум олим­пи­а­дам тот, кто участ­во­вал под но­ме­ро­м 5028. Таким об­ра­зом, из 8 «А» двое участ­ни­ков по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты: участ­ни­ки под но­ме­ра­ми 5028 и 5043.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

№ 317678. Для квар­ти­ры пло­ща­дью 75 кв. м за­ка­зан на­тяж­ной по­то­лок бе­ло­го цвета. Сто­и­мость работ по уста­нов­ке на­тяж­ных по­тол­ков при­ве­де­на в таб­ли­це.

 

Цвет по­тол­ка

Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­висмо­сти от пло­ща­ли по­ме­ще­ния)

до 10 м2

от 11 до 30 м2

от 31 до 60 м2

свыше 60 м2

белый

1200

1000

800

600

цвет­ной

1350

1150

950

750

 

Ка­ко­ва сто­и­мость за­ка­за, если дей­ству­ет се­зон­ная скид­ка в 5%?

 

1) 4275 руб­лей

2) 45 000 руб­лей

3) 42 750 руб­лей

4) 44 995 руб­лей

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди квар­ти­ры 75 кв. м, что боль­ше 60 м2, по­это­му цена за 1 м2 на­тяж­но­го бе­ло­го по­тол­ка со­ста­вит 600 руб­лей. Зна­чит, сто­и­мость за­ка­за без учёта скид­ки 600 · 75 = 45 000 руб. Скид­ка со­став­ля­ет 0,05 · 45 000 = 2250 руб. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за с учётом скид­ки со­ста­вит 45 000 − 2250 = 42 750 руб.

 

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

№ 333084. Для квар­ти­ры пло­ща­дью 135 м2 за­ка­зан на­тяж­ной по­то­лок бе­ло­го цвета. Сто­и­мость работ по уста­нов­ке на­тяж­ных по­тол­ков при­ве­де­на в таб­ли­це.

 

Цвет по­тол­ка

Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­висмо­сти от пло­ща­ли по­ме­ще­ния)

до 10 м2

от 11 до 30 м2

от 31 до 60 м2

свыше 60 м2

белый

1200

1000

800

600

цвет­ной

1350

1150

950

750

 

Ка­ко­ва сто­и­мость за­ка­за, если дей­ству­ет се­зон­ная скид­ка в 20%?

 

1) 81 000 руб­лей

2) 64 800 руб­лей

3) 6480 руб­лей

4) 80 980 руб­лей

Ре­ше­ние.

При пло­ща­ди квар­ти­ры 135 м2 она по­па­да­ет в диа­па­зон свыше 60 м2, то есть цена за 1 м2 на­тяж­но­го бе­ло­го по­тол­ка со­ста­вит 600 руб­лей. Зна­чит, сто­и­мость за­ка­за без учёта скид­ки 600 · 135 = 81 000 руб. Скид­ка со­став­ля­ет 0,2 · 81 000 = 16 200 руб. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за с учётом скид­ки со­ста­вит 81 000 − 16 200 = 64 800 руб.

 

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

№ 316592. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты за­бе­га маль­чи­ков 8 клас­са на ди­стан­цию 60 м. Зачет вы­став­ля­ет­ся при усло­вии, что по­ка­зан ре­зуль­тат не хуже 10,5 с.

 

Номер до­рож­ки

I

II

III

IV

Время (в с)

10,6

9,7

10,1

11,4

 

Ука­жи­те но­ме­ра до­ро­жек, по ко­то­рым бе­жа­ли маль­чи­ки, по­лу­чив­шие зачет.

 

1) толь­ко I

2) толь­ко II

3) I, IV

4) II, III

Ре­ше­ние.

Маль­чи­ки, бе­жав­шие по до­рож­кам II и III, по­ка­за­ли время, не­об­хо­ди­мое для зачёта: их ре­зуль­тат не пре­вы­ша­ет 10,5 с.

 

Пра­виль­ный ответ указ­ан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

№ 337545. В не­сколь­ких эс­та­фе­тах, ко­то­рые про­во­ди­лись в школе, ко­ман­ды по­ка­за­ли сле­ду­ю­щие ре­зуль­та­ты:

 

Ко­ман­да

I эс­та­фе­та, мин.

II эс­та­фе­та, мин.

III эс­та­фе­та, мин.

IV эс­та­фе­та, мин.

«Не­по­бе­ди­мые»

3,0

5,6

2,8

6,8

«Про­рыв»

4,6

4,6

2,6

6,5

«Чем­пи­о­ны»

3,6

4,0

2,3

5,0

«Тай­фун»

3,9

5,3

2,0

5,1

 

За каж­дую эс­та­фе­ту ко­ман­да по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство бал­лов, рав­ное за­ня­то­му в этой эс­та­фе­те месту, затем баллы по всем эс­та­фе­там сум­ми­ру­ют­ся. Какое ито­го­вое место за­ня­ла ко­ман­да «Чем­пи­о­ны», если по­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся ко­ман­да, на­брав­шая наи­мень­шее ко­ли­че­ство очков?

 

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Найдём число бал­лов, ко­то­рое по­лу­чи­ла каж­дая ко­ман­да за все эс­та­фе­ты. Ко­ман­да «Не­по­бе­ди­мые» по­лу­чи­ла 1 очко за первую эс­та­фе­ту, 4 — за вто­рую, 4 — за тре­тью и 4 — за четвёртую, сум­мар­но — 13 очков. Ко­ман­да «Про­рыв» по­лу­чи­ла 4 очка за первую эс­та­фе­ту, 2 — за вто­рую, 3 — за тре­тью и 3 — за четвёртую, сум­мар­но — 12 очков. Ко­ман­да «Чем­пи­о­ны» по­лу­чи­ла 2 очка за первую эс­та­фе­ту, 1 — за вто­рую, 2 — за тре­тью и 1 — за четвёртую, сум­мар­но — 6 очков. Ко­ман­да «Тай­фун» по­лу­чи­ла 3 очка за первую эс­та­фе­ту, 3 — за вто­рую, 1 — за тре­тью и 2 — за четвёртую, сум­мар­но — 9 очков. По­сколь­ку по­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся ко­ман­да, на­брав­шая наи­мень­шее ко­ли­че­ство очков, «Чем­пи­о­ны» за­ня­ли пер­вое место.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

№ 333110. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты за­бе­га маль­чи­ков 8 клас­са на ди­стан­цию 60 м. Зачет вы­став­ля­ет­ся при усло­вии, что по­ка­зан ре­зуль­тат не хуже 10,5 с.

 

Номер до­рож­ки

I

II

III

IV

Время (в с)

10,3

10,6

11,0

9,1

 

Ука­жи­те но­ме­ра до­ро­жек, по ко­то­рым бе­жа­ли маль­чи­ки, по­лу­чив­шие зачет.

 

 

 

1) I, IV

2) II, III

3) толь­ко III

4) толь­ко IV

Ре­ше­ние.

Маль­чи­ки, бе­жав­шие по до­рож­кам I и IV по­ка­за­ли время, не­об­хо­ди­мое для зачёта, их ре­зуль­тат не пре­вы­ша­ет 10,5 с.

 

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

№ 316658. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

 

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч

21—40

41—60

61—80

81 и более

Раз­мер штра­фа, руб.

500

1000

2000

5000

 

Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 166 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 70 км/ч?

 

1) 500 руб­лей

2) 1000 руб­лей

3) 2000 руб­лей

4) 5000 руб­лей

Ре­ше­ние.

Найдём пре­вы­ше­ние ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля: 166 − 70 = 96 км/ч. Из таб­ли­цы на­хо­дим, что та­ко­му пре­вы­ше­нию ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет штраф в раз­ме­ре 5000 руб­лей.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

№ 311298. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­са­жен­ных де­ре­вьев и ку­стар­ни­ков в г. Сочи за пе­ри­од с 2009 по 2012 гг. Опре­де­ли­те, сколь­ко всего было по­са­же­но зелёных на­саж­де­ний за 2011 г. и 2012 г.?

 

1) 10 000

2) 4 000

3) 12 000

4) 8 000

Ре­ше­ние.

Зе­ле­ные на­саж­де­ния, по­са­жен­ные в 2011 году со­от­вет­ству­ют на диа­грам­ме столб­цу 3, в 2012 году — столб­цу 4. Из диа­грам­мы мы видно, что в 2011 было по­са­же­но 8 тысяч, в 2012 году — 4 ты­ся­чи зелёных на­саж­де­ний. Таким об­ра­зом, за 2011 и 2012 года было по­са­же­но 12 000 зелёных на­саж­де­ний.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

Название документа Прототип задания 14.doc

Прототип задания 14

№ 108. В таб­ли­це даны ре­ко­мен­ду­е­мые су­точ­ные нормы по­треб­ле­ния (в г/сутки) жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов детьми от 1 года до 14 лет и взрос­лы­ми.

 

Ве­ще­ство

Дети от 1 года до 14 лет

Муж­чи­ны

Жен­щи­ны

Жиры

40−97

70−154

60−102

Белки

36−87

65−117

58−87

Уг­ле­во­ды

170−420

257−586

 

Какой вывод о су­точ­ном по­треб­ле­нии жиров 10-лет­ней де­воч­кой можно сде­лать, если по подсчётам ди­е­то­ло­га в сред­нем за сутки она по­треб­ля­ет 102 г жиров?

 

1) По­треб­ле­ние в норме.

2) По­треб­ле­ние выше ре­ко­мен­ду­е­мой нормы.

3) По­треб­ле­ние ниже ре­ко­мен­ду­е­мой нормы.

4) В таб­ли­це не­до­ста­точ­но дан­ных.

Ре­ше­ние.

Су­точ­ная норма жиров де­ся­ти­лет­ней де­воч­ки лежит в пре­де­лах 40−97 г. По­треб­ле­ние 102 г жиров в сутки пре­вы­ша­ет норму.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

№ 317658. Ку­ри­ные яйца в за­ви­си­мо­сти от их массы под­раз­де­ля­ют на пять ка­те­го­рий: выс­шая, от­бор­ная, пер­вая, вто­рая и тре­тья. Ис­поль­зуя дан­ные, пред­став­лен­ные в таб­ли­це, опре­де­ли­те, к какой ка­те­го­рии от­но­сит­ся яйцо, мас­сой 82,2 г.

 

Ка­те­го­рия

Масса од­но­го яйца,

не менее, г

Выс­шая

75,0

От­бор­ная

65,0

Пер­вая

55,0

Вто­рая

45,0

Тре­тья

35,0

 

1) Выс­шая

2) От­бор­ная

3) Вто­рая

4) Тре­тья

Ре­ше­ние.

Масса яйца равна 82,2 г, это зна­че­ние боль­ше 75,0 г, сле­до­ва­тель­но, яйцо от­но­сит­ся к выс­шей ка­те­го­рии.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

№ 311299. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство школь­ни­ков, по­се­тив­ших те­ат­ры г. Крас­но­да­ра за 2010 г. Опре­де­ли­те, сколь­ко при­мер­но зри­те­лей по­се­ти­ли за этот пе­ри­од Фи­лар­мо­нию, если во всех этих те­ат­рах школь­ни­ков было 2000 че­ло­век.

 

1) 150

2) 240

3) 350

4) 500

Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что «Фи­лар­мо­нию» по­се­ти­ло более  школь­ни­ков, но менее  школь­ни­ков, т. е. боль­ше 250, но мень­ше 500 че­ло­век. Наи­бо­лее близ­кий ва­ри­ант от­ве­та — 350 школь­ни­ков.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

№ 311290. До­рож­ный знак, изоб­ражённый на ри­сун­ке, на­зы­ва­ет­ся «Огра­ни­че­ние вы­со­ты». Его уста­нав­ли­ва­ют перед мо­ста­ми, тон­не­ля­ми и про­чи­ми со­ору­же­ни­я­ми, чтобы за­пре­тить про­езд транс­порт­но­го сред­ства, га­ба­ри­ты ко­то­ро­го (с гру­зом или без груза) пре­вы­ша­ют уста­нов­лен­ную вы­со­ту.

Ка­ко­му из дан­ных транс­порт­ных средств этот знак за­пре­ща­ет про­езд?

 

1) мо­ло­ко­во­зу вы­со­той 3770 мм

2) по­жар­но­му ав­то­мо­би­лю вы­со­той 3400 мм

3) ав­то­топ­ли­во­за­прав­щи­ку вы­со­той 2900 мм

4) ав­то­ци­стер­не вы­со­той 3350 мм

Ре­ше­ние.

Пе­ре­ведём до­пу­сти­мую вы­со­ту в мил­ли­мет­ры: 3,5 м = 3500 мм и срав­ним с пред­ло­жен­ны­ми ва­ри­ан­та­ми:

1) 3770 > 3500 — про­езд за­пре­щен.

2) 3400 < 3500 — про­езд раз­ре­шен.

3) 2900 < 3500 — про­езд раз­ре­шен.

4) 3350 < 3500 — про­езд раз­ре­шен.

 

Таким об­ра­зом, знак «Огра­ни­че­ние вы­со­ты» за­пре­ща­ет про­езд мо­ло­ко­во­зу.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

№ 314202. Сту­дент­ка Фи­ал­ко­ва вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 8:30. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

 

От­прав­ле­ние от

ст. Нара

При­бы­тие на

Ки­ев­ский вок­зал

6:17

7:13

6:29

7:40

6:35

7:59

7:05

8:23

 

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 40 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­дент­ке.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку путь от вок­за­ла до места уни­вер­си­те­та­за­ни­ма­ет 40 минут, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 07:50. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да, от­прав­ля­ю­щи­е­ся в 6:17 и 6:29. Из них самый позд­ний от­прав­ля­ет­ся в 6:29.

 

Ответ: 2.

№ 311425. В таб­ли­це пред­став­ле­ны цены (в руб­лях) на не­ко­то­рые то­ва­ры в трёх ма­га­зи­нах:

 

Ма­га­зин

Орехи (за кг.)

Шо­ко­лад (за плит­ку)

Зефир (за кг.)

«Ма­шень­ка»

600

45

144

«Лидия»

585

65

116

«Камея»

660

53

225

 

Ла­ри­са Кузь­ми­нич­на хочет ку­пить 0,4 кг оре­хов, 5 пли­ток шо­ко­ла­да и 1,5 кг зе­фи­ра. В каком ма­га­зи­не сто­и­мость такой по­куп­ки будет наи­мень­шей, если в «Камее» про­хо­дит акция: скид­ка 20% на орехи и зефир, а в «Ма­шень­ке» скид­ка 10% на все про­дук­ты?

 

1) В «Ма­шень­ке»

2) В «Лидии»

3) В «Камее»

4) Во всех ма­га­зи­нах сто­и­мость по­куп­ки будет оди­на­ко­вой

Ре­ше­ние.

Най­дем сто­и­мость по­куп­ки в каж­дом ма­га­зи­не и вы­бе­рем наи­мень­шую.

1) В ма­га­зи­не «Ма­шень­ка» сто­и­мость по­куп­ки без учета скид­ки будет равна:

 

600 · 0,4 + 5 · 45 + 1,5 · 144 = 681 рубль.

 

С уче­том 10% скид­ки на все то­ва­ры сто­и­мость будет равна 612 руб. 90 коп.

2) В ма­га­зи­не «Лидия» сто­и­мость по­куп­ки будет равна: 585 · 0,4 + 5 · 65 + 1,5 · 116 = 733 рубля.

3) В ма­га­зи­не «Камея» сто­и­мость по­куп­ки с уче­том 20% ски­док на орехи и зефир будет равна:

 

660 · (1−0,2) · 0,4 + 53 · 5 + 225 · (1−0,2) · 1,5 = 746 руб. 20 коп.

 

Таким об­ра­зом, наи­мень­шая цена с уче­том всех име­ю­щих­ся ски­док в ма­га­зи­не «Ма­шень­ка».

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

№ 316666. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

 

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч

21—40

41—60

61—80

81 и более

Раз­мер штра­фа, руб.

500

1000

2000

5000

 

Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 82 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 40 км/ч?

 

1) 500 руб­лей

2) 1000 руб­лей

3) 2000 руб­лей

4) 5000 руб­лей

Ре­ше­ние.

Найдём пре­вы­ше­ние ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля: 82 − 40 = 42 км/ч. Из таб­ли­цы на­хо­дим, что та­ко­му пре­вы­ше­нию ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет штраф в раз­ме­ре 1000 руб­лей.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

№ 337839. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты олим­пи­ад по гео­гра­фии и био­ло­гии в 8 «А» клас­се.

 

Номер уче­ни­ка

Балл по гео­гра­фии

Балл по био­ло­гии

5005

69

36

5006

88

48

5011

53

34

5015

98

55

5028

44

98

5020

74

37

5025

66

83

5027

76

82

5029

79

98

5032

76

39

5041

69

72

5042

45

54

5043

45

72

5048

55

48

5054

84

68

 

По­хваль­ные гра­мо­ты дают тем школь­ни­кам, у кого сум­мар­ный балл по двум олим­пи­а­дам боль­ше 120 или хотя бы по од­но­му пред­ме­ту на­бра­но не мень­ше 65 бал­лов.

 

Сколь­ко че­ло­век из 8 «А», на­брав­ших мень­ше 65 бал­лов по гео­гра­фии, по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты?

 

1) 1

2) 3

3) 4

4) 2

Ре­ше­ние.

Вы­де­лим тех, кто по­лу­чил мень­ше 65 бал­лов по гео­гра­фии:

 

Номер уче­ни­ка

Балл по гео­гра­фии

Балл по био­ло­гии

5005

69

36

5006

88

48

5011

53

34

5015

98

55

5028

44

98

5020

74

37

5025

66

83

5027

76

82

5029

79

98

5032

76

39

5041

69

72

5042

45

54

5043

45

72

5048

55

48

5054

84

68

 

Из них те, кто ука­зан под но­ме­ра­ми 5028, 5043, на­бра­ли не мень­ше 65 бал­лов по био­ло­гии. А более 120 бал­лов по­лу­чи­л по двум олим­пи­а­дам тот, кто участ­во­вал под но­ме­ро­м 5028. Таким об­ра­зом, из 8 «А» двое участ­ни­ков по­лу­чат по­хваль­ные гра­мо­ты: участ­ни­ки под но­ме­ра­ми 5028 и 5043.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

№ 317678. Для квар­ти­ры пло­ща­дью 75 кв. м за­ка­зан на­тяж­ной по­то­лок бе­ло­го цвета. Сто­и­мость работ по уста­нов­ке на­тяж­ных по­тол­ков при­ве­де­на в таб­ли­це.

 

Цвет по­тол­ка

Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­висмо­сти от пло­ща­ли по­ме­ще­ния)

до 10 м2

от 11 до 30 м2

от 31 до 60 м2

свыше 60 м2

белый

1200

1000

800

600

цвет­ной

1350

1150

950

750

 

Ка­ко­ва сто­и­мость за­ка­за, если дей­ству­ет се­зон­ная скид­ка в 5%?

 

1) 4275 руб­лей

2) 45 000 руб­лей

3) 42 750 руб­лей

4) 44 995 руб­лей

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди квар­ти­ры 75 кв. м, что боль­ше 60 м2, по­это­му цена за 1 м2 на­тяж­но­го бе­ло­го по­тол­ка со­ста­вит 600 руб­лей. Зна­чит, сто­и­мость за­ка­за без учёта скид­ки 600 · 75 = 45 000 руб. Скид­ка со­став­ля­ет 0,05 · 45 000 = 2250 руб. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за с учётом скид­ки со­ста­вит 45 000 − 2250 = 42 750 руб.

 

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

№ 333084. Для квар­ти­ры пло­ща­дью 135 м2 за­ка­зан на­тяж­ной по­то­лок бе­ло­го цвета. Сто­и­мость работ по уста­нов­ке на­тяж­ных по­тол­ков при­ве­де­на в таб­ли­це.

 

Цвет по­тол­ка

Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­висмо­сти от пло­ща­ли по­ме­ще­ния)

до 10 м2

от 11 до 30 м2

от 31 до 60 м2

свыше 60 м2

белый

1200

1000

800

600

цвет­ной

1350

1150

950

750

 

Ка­ко­ва сто­и­мость за­ка­за, если дей­ству­ет се­зон­ная скид­ка в 20%?

 

1) 81 000 руб­лей

2) 64 800 руб­лей

3) 6480 руб­лей

4) 80 980 руб­лей

Ре­ше­ние.

При пло­ща­ди квар­ти­ры 135 м2 она по­па­да­ет в диа­па­зон свыше 60 м2, то есть цена за 1 м2 на­тяж­но­го бе­ло­го по­тол­ка со­ста­вит 600 руб­лей. Зна­чит, сто­и­мость за­ка­за без учёта скид­ки 600 · 135 = 81 000 руб. Скид­ка со­став­ля­ет 0,2 · 81 000 = 16 200 руб. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за с учётом скид­ки со­ста­вит 81 000 − 16 200 = 64 800 руб.

 

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

№ 316592. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты за­бе­га маль­чи­ков 8 клас­са на ди­стан­цию 60 м. Зачет вы­став­ля­ет­ся при усло­вии, что по­ка­зан ре­зуль­тат не хуже 10,5 с.

 

Номер до­рож­ки

I

II

III

IV

Время (в с)

10,6

9,7

10,1

11,4

 

Ука­жи­те но­ме­ра до­ро­жек, по ко­то­рым бе­жа­ли маль­чи­ки, по­лу­чив­шие зачет.

 

1) толь­ко I

2) толь­ко II

3) I, IV

4) II, III

Ре­ше­ние.

Маль­чи­ки, бе­жав­шие по до­рож­кам II и III, по­ка­за­ли время, не­об­хо­ди­мое для зачёта: их ре­зуль­тат не пре­вы­ша­ет 10,5 с.

 

Пра­виль­ный ответ указ­ан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

№ 337545. В не­сколь­ких эс­та­фе­тах, ко­то­рые про­во­ди­лись в школе, ко­ман­ды по­ка­за­ли сле­ду­ю­щие ре­зуль­та­ты:

 

Ко­ман­да

I эс­та­фе­та, мин.

II эс­та­фе­та, мин.

III эс­та­фе­та, мин.

IV эс­та­фе­та, мин.

«Не­по­бе­ди­мые»

3,0

5,6

2,8

6,8

«Про­рыв»

4,6

4,6

2,6

6,5

«Чем­пи­о­ны»

3,6

4,0

2,3

5,0

«Тай­фун»

3,9

5,3

2,0

5,1

 

За каж­дую эс­та­фе­ту ко­ман­да по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство бал­лов, рав­ное за­ня­то­му в этой эс­та­фе­те месту, затем баллы по всем эс­та­фе­там сум­ми­ру­ют­ся. Какое ито­го­вое место за­ня­ла ко­ман­да «Чем­пи­о­ны», если по­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся ко­ман­да, на­брав­шая наи­мень­шее ко­ли­че­ство очков?

 

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Ре­ше­ние.

Найдём число бал­лов, ко­то­рое по­лу­чи­ла каж­дая ко­ман­да за все эс­та­фе­ты. Ко­ман­да «Не­по­бе­ди­мые» по­лу­чи­ла 1 очко за первую эс­та­фе­ту, 4 — за вто­рую, 4 — за тре­тью и 4 — за четвёртую, сум­мар­но — 13 очков. Ко­ман­да «Про­рыв» по­лу­чи­ла 4 очка за первую эс­та­фе­ту, 2 — за вто­рую, 3 — за тре­тью и 3 — за четвёртую, сум­мар­но — 12 очков. Ко­ман­да «Чем­пи­о­ны» по­лу­чи­ла 2 очка за первую эс­та­фе­ту, 1 — за вто­рую, 2 — за тре­тью и 1 — за четвёртую, сум­мар­но — 6 очков. Ко­ман­да «Тай­фун» по­лу­чи­ла 3 очка за первую эс­та­фе­ту, 3 — за вто­рую, 1 — за тре­тью и 2 — за четвёртую, сум­мар­но — 9 очков. По­сколь­ку по­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся ко­ман­да, на­брав­шая наи­мень­шее ко­ли­че­ство очков, «Чем­пи­о­ны» за­ня­ли пер­вое место.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

Ответ: 1

№ 333110. В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты за­бе­га маль­чи­ков 8 клас­са на ди­стан­цию 60 м. Зачет вы­став­ля­ет­ся при усло­вии, что по­ка­зан ре­зуль­тат не хуже 10,5 с.

 

Номер до­рож­ки

I

II

III

IV

Время (в с)

10,3

10,6

11,0

9,1

 

Ука­жи­те но­ме­ра до­ро­жек, по ко­то­рым бе­жа­ли маль­чи­ки, по­лу­чив­шие зачет.

 

 

 

1) I, IV

2) II, III

3) толь­ко III

4) толь­ко IV

Ре­ше­ние.

Маль­чи­ки, бе­жав­шие по до­рож­кам I и IV по­ка­за­ли время, не­об­хо­ди­мое для зачёта, их ре­зуль­тат не пре­вы­ша­ет 10,5 с.

 

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

№ 316658. В таб­ли­це при­ве­де­ны раз­ме­ры штра­фов за пре­вы­ше­ние мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­сти, за­фик­си­ро­ван­ное с по­мо­щью средств ав­то­ма­ти­че­ской фик­са­ции, уста­нов­лен­ных на тер­ри­то­рии Рос­сии с 1 сен­тяб­ря 2013 года.

 

Пре­вы­ше­ние ско­ро­сти, км/ч

21—40

41—60

61—80

81 и более

Раз­мер штра­фа, руб.

500

1000

2000

5000

 

Какой штраф дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля, за­фик­си­ро­ван­ная ско­рость ко­то­ро­го со­ста­ви­ла 166 км/ч на участ­ке до­ро­ги с мак­си­маль­ной раз­решённой ско­ро­стью 70 км/ч?

 

1) 500 руб­лей

2) 1000 руб­лей

3) 2000 руб­лей

4) 5000 руб­лей

Ре­ше­ние.

Найдём пре­вы­ше­ние ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля: 166 − 70 = 96 км/ч. Из таб­ли­цы на­хо­дим, что та­ко­му пре­вы­ше­нию ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет штраф в раз­ме­ре 5000 руб­лей.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

№ 311298. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­са­жен­ных де­ре­вьев и ку­стар­ни­ков в г. Сочи за пе­ри­од с 2009 по 2012 гг. Опре­де­ли­те, сколь­ко всего было по­са­же­но зелёных на­саж­де­ний за 2011 г. и 2012 г.?

 

1) 10 000

2) 4 000

3) 12 000

4) 8 000

Ре­ше­ние.

Зе­ле­ные на­саж­де­ния, по­са­жен­ные в 2011 году со­от­вет­ству­ют на диа­грам­ме столб­цу 3, в 2012 году — столб­цу 4. Из диа­грам­мы мы видно, что в 2011 было по­са­же­но 8 тысяч, в 2012 году — 4 ты­ся­чи зелёных на­саж­де­ний. Таким об­ра­зом, за 2011 и 2012 года было по­са­же­но 12 000 зелёных на­саж­де­ний.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

Название документа Прототип 21.doc

Прототип № 21

 № 338125. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

 

Ответ: 0; 2; 8.

№ 99. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим  во вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­чим урав­не­ние от­но­си­тель­но . От­сю­да  и . Под­ста­вим  и  в урав­не­ние , по­лу­чим:  и  со­от­вет­ствен­но.

 

Ответ: (-7; −2), (-3; 2).

№ 338551. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

 

 

Ответ: (0; 0); 

№ 338222. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  если 

Ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния 

 

По­это­му 

Ответ: 1.

№ 314310. Со­кра­ти­те дробь 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но раз­де­лим мно­го­член на од­но­чле­ны в стол­бик:

 

 

Ответ: 

№ 177. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  

Ре­ше­ние.

Пе­ре­несём две части не­ра­вен­ства в одну часть и из­ба­вим­ся от зна­ме­на­те­ля: при­рав­ня­ем левую часть к нулю и найдём корни. От­сю­да  и  Рас­ста­вив корни на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, опре­де­лим знаки не­ра­вен­ства, по­лу­ча­ем: 

 

Ответ: (-0,75; 3).

№ 314594. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Рас­кро­ем скоб­ки, при­ведём по­доб­ные сла­га­е­мые, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

 

 

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

 

 

Ответ: 

№ 311569. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний   

Ре­ше­ние.

Из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы на­хо­дим  .


Под­ста­вив по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­ча­ем

 

 


от­ку­да на­хо­дим   . Таким об­ра­зом, ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы  .


Ответ:  .

№ 314360. Со­кра­ти­те дробь

 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но раз­де­лим мно­го­член на од­но­чле­ны в стол­бик:

 

 

Ответ: 

№ 314400. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

 

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим  из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во вто­рое, пред­ва­ри­тель­но умно­жив обе его части на 12:

 

 

Ответ: (2; 1,5).

№ 338628. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что вы­ра­же­ние  от­ри­ца­тель­но при любом  по­жто­му на это вы­ра­же­ние можно со­кра­тить, по­сколь­ку оно от­ри­ца­тель­но знак не­ра­вен­ства сме­нит­ся на про­ти­во­по­лож­ный:

Таким об­ра­зом, ответ 

 

Ответ: 

№ 311243. Со­кра­ти­те дробь  

Ре­ше­ние.

Корни квад­рат­но­го трех­чле­на

 

Имеем:

 

За­ме­ча­ние. Уча­щий­ся может раз­ло­жить трех­член на мно­жи­те­ли каким-либо иным спо­со­бом. На­при­мер:

 

Ответ: 

№ 314420. Со­кра­ти­те дробь 

Ре­ше­ние.

Имеем:

 

Ответ: 

№ 314595. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Умно­жим на 15, при­ведём по­доб­ные сла­га­е­мые и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

 

 

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. ри­су­нок). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ:

 

 

Ответ: 

№ 338137. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

 

 

 

 

Ответ: −6.

5

Название документа ПРОТОТИПЫ ЗАДАНИЯ № 9.ppt

* ПРОТОТИПЫ ЗАДАНИЯ № 9
Ответ: 70 *
Ответ: 111. *
Ответ: 6. *
Ответ: 130. * Сумма двух углов параллелограмма равна 50°. Найти один из остав...
Ответ: 134. * Один из углов параллелограмма на 46° больше другого. Найти боль...
1 из 6

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

* ПРОТОТИПЫ ЗАДАНИЯ № 9

№ слайда 2

Ответ: 70 *

№ слайда 3

Ответ: 111. *

№ слайда 4

Ответ: 6. *

№ слайда 5

Ответ: 130. * Сумма двух углов параллелограмма равна 50°. Найти один из оставшихся углов. ∠А+∠С=50° ∠С+∠D=180° ∠D=180°-50°=130°

№ слайда 6

Ответ: 134. * Один из углов параллелограмма на 46° больше другого. Найти больший из них. ∠А+∠D=180° Пусть ∠А=х°, тогда∠D=х°+46° х+х+46=180 2х=134 х=67 ∠D =2∙67°=134°

Название документа Прототип задания 25.doc

Прототип задания № 25

№ 315087. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CKСF = АM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны и по усло­вию   сле­до­ва­тель­но:

 

 

 

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны:  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , в этих тре­уголь­ни­ках  сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, . Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки  и  а сле­до­ва­тель­но равны от­рез­ки  и  Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка  равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

№ 314810. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка A — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, чтоKA = NA. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , в них  равно  равно  и  равно  сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит, 

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

 

 

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

 

 

Все углы па­рал­ле­ло­грамм пря­мые, а сле­до­ва­тель­но, этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

№ 340387. Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Eсто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что E — се­ре­ди­на BC.

Ре­ше­ние.

По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма   — се­ку­щая при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, углы  и  равны как на­крест ле­жа­щие. По­сколь­ку  тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да  Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный и  Сто­ро­ны  и равны, как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, сле­до­ва­тель­но:

 Таким об­ра­зом, точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны 

№ 311549. В па­рал­ле­ло­грам­ме    точка   — се­ре­ди­на сто­ро­ны  . Из­вест­но, что  . До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Пусть точка  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  па­рал­ле­ло­грам­ма  — рав­но­уда­ле­на от его вер­шин    и  . Тогда, тре­уголь­ник   — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му  . По­сколь­ку пря­мая    па­рал­лель­на сто­ро­не  , то    и    как на­крест ле­жа­щие. Таким об­ра­зом,    по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков  .

Зна­чит,  . Их сумма равна 180°, т. к. это два угла па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ле­жа­щие к одной сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но,   90°. По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма углы    и    также пря­мые. Зна­чит,   — пря­мо­уголь­ник.

№ 340324. Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках I и J не имеют общих точек. Внут­рен­няя общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий их цен­тры, в от­но­ше­нии m:n. До­ка­жи­те, что диа­мет­ры этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как m:n.

Ре­ше­ние.

Про­ведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, углы  и  равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да 

№ 314830. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AOB.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  так, чтобы она про­хо­ди­ла через точку  Углы  и равны друг другу как вер­ти­каль­ные. Вспом­ним также, что диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, сле­до­ва­тель­но,  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы и рав­ные ги­по­те­ну­зы, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит равны от­рез­ки  и . Таким об­ра­зом, 

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грамм равна  а пло­щадь тре­уголь­ни­ка 

 

№ 333322. Из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AB и CD четырёхуголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки MBC и MDA по­доб­ны.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку четырёхуголь­ник ABCD впи­сан­ный, сумма углов BAD иBCD равна 180°.

Сле­до­ва­тель­но,

 

MCB = 180° − ∠BCD = ∠BAD.

 

По­лу­ча­ем, что в тре­уголь­ни­ках MBC и MDA углы MCB и MADравны, угол M общий, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

№ 314881. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Из­вест­но, чтоEA = EB. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , в них  равно   равно  и  равно  сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит, 

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

 

 

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

 

 

Все углы па­рал­ле­ло­грамм пря­мые, а сле­до­ва­тель­но, этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

№ 314987. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту  так, чтобы она про­хо­ди­ла через точку  Углы  и равны друг другу как вер­ти­каль­ные. Вспом­ним также, что диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, сле­до­ва­тель­но,  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы и рав­ные ги­по­те­ну­зы, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит равны от­рез­ки  и . Таким об­ра­зом, 

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грамм равна  а пло­щадь тре­уголь­ни­ка 

 

№ 314915. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка A — се­ре­ди­на сто­ро­ны KN. Из­вест­но, чтоAL = AM. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , в них  равно  равно  и  равно  сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит, 

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

 

 

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

 

 

Все углы па­рал­ле­ло­грамм пря­мые, а сле­до­ва­тель­но, этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

№ 315096. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки BEF  и  DFE равны.

Ре­ше­ние.

 — па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му сто­ро­ны  и  равны. Углы  и  равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых и  и се­ку­щей  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, их ги­по­те­ну­зы равны и угол  равен углу сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и углу, зна­чит, равны от­рез­ки  и   и  сле­до­ва­тель­но . Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм, зна­чит 

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и   равно  равно  —общая, сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны.

№ 340243. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA1 и BB1. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A1CB1 и ACB по­доб­ны.

Ре­ше­ние.

Углы  и  равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  они пря­мо­уголь­ные, углы  и  равны, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и равны как вер­ти­каль­ные,  сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

№ 339384. До­ка­жи­те, что ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два тре­уголь­ни­ка, пло­ща­ди ко­то­рых равны между собой.

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ведём ме­ди­а­ну  и вы­со­ту  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  , пло­щадь тре­уголь­ни­ка   От­рез­ки  и  равны, сле­до­ва­тель­но, 

№ 315110. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём BF = DMBE = DK. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны и по усло­вию   сле­до­ва­тель­но:

 

 

 

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны:  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , в этих тре­уголь­ни­ках  сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, . Ана­ло­гич­но равны тре­уголь­ни­ки  и  а сле­до­ва­тель­но равны от­рез­ки  и  Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка  равны, сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма, этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

№ 314919. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, чтоMC = MD. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то есть  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и , в них  равно  равно  и  равно  сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ни­ки равны по трём сто­ро­нам, а зна­чит, 

Вспом­ним также, что про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но:

 

 

Сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма 360°:

 

 

Все углы па­рал­ле­ло­грамм пря­мые, а сле­до­ва­тель­но, этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

Название документа Прототип 22.doc

Прототип № 22

№ 314457. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 40%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 48%, по­лу­чил­ся рас­твор с кон­цен­тра­ци­ей 42%. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве x грамм, тогда он со­дер­жит 0,4x грамм соли, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве y грамм, тогда он со­дер­жит 0,48y грамм соли. При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой x + y грамм, по усло­вию за­да­чи, он со­дер­жит 0,42(x + y) соли. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

 

Вы­ра­зим x через y:

 

Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние, в ко­то­ром были взяты рас­тво­ры:

 

 

Ответ: 

№ 311858. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют  часть бас­сей­на. Таким об­ра­зом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет  часть бас­сей­на, то есть она на­пол­нит весь бас­сейн за 15 часов.

 

Ответ: 15.

№ 316357. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва.

Ре­ше­ние.

Пусть масса пер­во­го спла­ва x кг. Тогда масса вто­ро­го спла­ва (x + 4) кг, а тре­тье­го — (2x + 4) кг. В пер­вом спла­ве со­дер­жит­ся 0,05x кг меди, а во вто­ром — 0,13(x + 4) кг. По­сколь­ку в тре­тьем спла­ве со­дер­жит­ся 0,1(2x + 4) кг меди, со­ста­вим и решим урав­не­ние:

 

 

От­ку­да 

 

Масса тре­тье­го спла­ва равна 16 кг.

 

Ответ:16 кг.

№ 311621. Мо­тор­ная лодка про­шла 36 км по те­че­нию реки и вер­ну­лась об­рат­но, по­тра­тив на весь путь 5 часов. Ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим  км/ч ис­ко­мую ско­рость. По те­че­нию реки лодка дви­га­лась ч. 
Про­тив те­че­ния лодка шла  ч. По­лу­ча­ем урав­не­ние

.

 

Решим его:

 

Корни квад­рат­но­го урав­не­ния: 15 и −0,6. Сле­до­ва­тель­но, ско­рость лодки равна 15 км/ч.


Ответ: 15 км/ч.

2 № 311615. Же­лез­но­до­рож­ный со­став дли­ной в 1 км прошёл бы мимо стол­ба за 1 мин., а через тун­нель (от входа ло­ко­мо­ти­ва до вы­хо­да по­след­не­го ва­го­на) при той же ско­ро­сти — за 3 мин. Ка­ко­ва длина тун­не­ля (в км)?

Ре­ше­ние.

Поезд про­хо­дит через тун­нель за 3 ми­ну­ты, при этом за одну ми­ну­ту поезд про­хо­дит мимо вы­хо­да из тун­не­ля, сле­до­ва­тель­но, от входа ло­ко­мо­ти­ва в тун­нель до вы­хо­да про­хо­дит 2 ми­ну­ты. Мимо стол­ба поезд дли­ной 1 км про­хо­дит за 1 ми­ну­ту, по­это­му его ско­рость равна 1 км/мин. Зна­чит, за 2 ми­ну­ты поезд прой­дет 2 км, по­это­му длина тун­не­ля равна 2 км.


Ответ: 2.

№ 314537. Ры­бо­лов про­плыл на лодке от при­ста­ни не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем бро­сил якорь, 2 часа ловил рыбу и вер­нул­ся об­рат­но через 5 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от при­ста­ни он от­плыл, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 5 км/ч?

Ре­ше­ние.

Пусть S км — рас­сто­я­ние, на ко­то­рое от при­ста­ни от­плы­л ры­бо­лов. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 2 км/ч, а ско­рость лодки — 5 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое он про­плы­л туда и об­рат­но, со­став­ля­ет  Учи­ты­вая, что он был на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лся через 5 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

От­сю­да S = 6,3 км.

 

Ответ: 6,3 км.

№ 316383. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 11% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва.

Ре­ше­ние.

Пусть масса пер­во­го спла­ва x кг. Тогда масса вто­ро­го спла­ва (x + 4) кг, а тре­тье­го — (2x + 4) кг. В пер­вом спла­ве со­дер­жит­ся 0,05x кг меди, а во вто­ром — 0,11(x + 4) кг. По­сколь­ку в тре­тьем спла­ве со­дер­жит­ся 0,1(2x + 4) кг меди, со­ста­вим и решим урав­не­ние:

 

От­ку­да 

Масса тре­тье­го спла­ва равна 6 кг.

 

Ответ:6 кг.

№ 333345. Из двух го­ро­дов од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу от­пра­ви­лись два ве­ло­си­пе­ди­ста. Про­ехав не­ко­то­рую часть пути, пер­вый ве­ло­си­пе­дист сде­лал оста­нов­ку на 40 минут, а затем про­дол­жил дви­же­ние до встре­чи со вто­рым ве­ло­си­пе­ди­стом. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 92 км, ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна 30 км/ч, ско­рость вто­ро­го — 12 км/ч. Опре­де­ли­те рас­сто­я­ние от го­ро­да, из ко­то­ро­го вы­ехал вто­рой ве­ло­си­пе­дист, до места встре­чи.

Ре­ше­ние.

За то время, пока пер­вый ве­ло­си­пе­дист делал оста­нов­ку, вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­ехал . Всё осталь­ное время они од­но­вре­мен­но на­хо­ди­лись в пути, зна­чит, вто­рой ве­ло­си­пе­дист за это время про­ехал  Таким об­ра­зом, сум­мар­но он про­ехал 32 км.

 

Ответ: 32 км.

№ 338854. Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 75 км/ч, про­ез­жа­ет мимо пе­ше­хо­да, иду­ще­го па­рал­лель­но путям со ско­ро­стью 3 км/ч нав­стре­чу по­ез­ду, за 30 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

Ре­ше­ние.

Длина по­ез­да будет равна сумме ско­ро­стей по­ез­да и пе­ше­хо­да, умно­жен­ной на время дви­же­ния по­ез­да мимо пе­ше­хо­да: 

 

Ответ: 650.

№ 339049. До­ро­га между пунк­та­ми A и В со­сто­ит из подъёма и спус­ка, а её длина равна 14 км. Ту­рист прошёл путь из А в В за 4 часа, из ко­то­рых спуск занял 2 часа. С какой ско­ро­стью ту­рист шёл на спус­ке, если его ско­рость на подъёме мень­ше его ско­ро­сти на спус­ке на 3 км/ч?

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость, с ко­то­рой ту­рист спус­кал­ся, равна х км/час, тогда его ско­рость на подъёме равнах − 3 км/ч, длина спус­ка равна 2х км, длина подъёма равна 2(х − 3) км. По­сколь­ку весь путь равен 14 км, имеем: 2х + 2(х − 3) = 14, от­ку­да х = 5 км/ч.

 

Ответ: 5.

№ 314488. Ры­бо­лов про­плыл на лодке от при­ста­ни не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем бро­сил якорь, 2 часа ловил рыбу и вер­нул­ся об­рат­но через 5 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от при­ста­ни он от­плыл, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 6 км/ч?

Ре­ше­ние.

Пусть S км — рас­сто­я­ние, на ко­то­рое от­плыл ры­бо­лов. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 2 км/ч, а ско­рость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое он про­плы­л туда и об­рат­но, со­став­ля­ет  Учи­ты­вая, что он был на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лся через 5 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

От­сю­да S = 8 км.

 

Ответ: 8 км.

№ 311601. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми А и В равно 490 км. Из го­ро­да А в город В со ско­ро­стью 55 км/ч вы­ехал пер­вый ав­то­мо­биль, а через час после этого нав­стре­чу ему из го­ро­да В вы­ехал со ско­ро­стью 90 км/ч вто­рой ав­то­мо­биль. На каком рас­сто­я­нии от го­ро­да А ав­то­мо­би­ли встре­тят­ся?

Ре­ше­ние.

За пер­вый час пути ав­то­мо­биль, вы­ехав­ший из го­ро­да А, про­ехал 55 ки­ло­мет­ров и рас­сто­я­ние от него до го­ро­да В стало рав­ным 435 км. Далее, ско­рость сбли­же­ния двух ав­то­мо­би­лей равна 145 км/ч, зна­чит, они встре­тят­ся через 3 часа после вы­ез­да вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Таким об­ра­зом, пер­вый ав­то­мо­биль до встре­чи на­хо­дил­ся в пути 4 часов, и про­ехал за это время 220 ки­ло­мет­ров.


Ответ: 220 км.

№ 316331. Костя и Рус­лан вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Костя от­ве­ча­ет за час на 19 во­про­сов теста, а Рус­лан — на 20. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Костя за­кон­чил свой тест позже Рус­ла­на на 9 минут.

Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ко­ли­че­ство во­про­сов теста через  . Тогда по­лу­ча­ем:

 

от­ку­да 

 

Ответ: 57

№ 126. Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 9 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем пе­ше­ход, шед­ший из В, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из пунк­та A, равна  км/ч. Тогда ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из пунк­та B, равна  км/ч. Время дви­же­ния пе­ше­хо­да из пунк­та A до места встре­чи   ч на пол­ча­са мень­ше, чем время дви­же­ния дру­го­го пе­ше­хо­да   ч. Со­ста­вим урав­не­ние:   . После пре­об­ра­зо­ва­ния оно при­мет вид:    Корни урав­не­ния 6 и −3. Зна­чит, ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, равна 6 км/ч.

 

Ответ: 6.

Название документа прототип задания № 6.doc

ПРОТОТИП 1

1) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

2) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 18 2) 17 3) 20 4) 19

3) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1)1 2) 0 3) -1 4) -2

4) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 1 2) 0 3) 2 4) 3

5) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 2 2) 4 3) 0 4) 5

6) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 10 2) 11 3) 12 4) 9

7) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

8) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 73 2) 72 3) 74 4) 75

9) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 6 2) 5 3) 3 4) 2

2) Дана арифметическая прогрессия: 28; 26; 24; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

3) Дана арифметическая прогрессия: 28; 20; 12; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

4) Дана арифметическая прогрессия: 37; 34; 31; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

5) Дана арифметическая прогрессия: 38; 33; 28; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

6) Дана арифметическая прогрессия: 40; 34; 28; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

7) Дана арифметическая прогрессия: 27; 22; 17; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

8) Дана арифметическая прогрессия: 34; 28; 22; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

9) Дана арифметическая прогрессия: 22; 18; 14; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

10) Дана арифметическая прогрессия: 36; 33; 30; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

11) Дана арифметическая прогрессия: 29; 25; 21; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

12) Дана арифметическая прогрессия: 33; 26; 19; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

13) Дана арифметическая прогрессия: 42; 36; 30; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

14) Дана арифметическая прогрессия: 44; 41; 38; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

ПРОТОТИП 16

1) В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

2) В первом ряду кинозала 24 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

3) В первом ряду кинозала 50 мест, а в каждом следующем на 1 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

4) В первом ряду кинозала 22 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

5) В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

6) В первом ряду кинозала 50 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

7) В первом ряду кинозала 20 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

8) В первом ряду кинозала 35 мест, а в каждом следующем на 1 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n

9) В первом ряду кинозала 25 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

10) В первом ряду кинозала 34 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

11) В первом ряду кинозала 28 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

ПРОТОТИП 17

1) Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

10) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -1 2) -3 3) -4 4) -2

11) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 5 2) 3 3) 4 4) 6

12) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 1 2) 0 3) 2 4) 3

13) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 4 2) 5 3) 3 4) 2

14) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -13 2) -11 3) -12 4) -10

15) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -3 2) -1 3) -2 4) -4

16) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 49 2) 50 3) 48 4) 51

17) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -7 2) -5 3) -4 4) -8

18) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 1 2) 3 3) 4 4) -1

19) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -22 2) -23 3) -21 4) -20

20) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -2 2) 1 3) 0 4) -1

21) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -3 2) -1 3) 0 4) -4

22) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 24 2) 22 3) 21 4) 23

23) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -6 2) -8 3) -5 4) -7

24) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -44 2) -42 3) -43 4) -45

25) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -5 2) -1 3) -2 4) -4

26) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 0 2) 1 3) -1 4) 2

27) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -3 2) -2 3) -6 4) -4

  1. Последовательность задана условиями ,. Найдите

  2. Последовательность задана условиями , . Найдите

  3. Последовательность задана условиями , . Найдите

  4. Последовательность задана условиями , . Найдите

  5. Последовательность задана условиями , . Найдите

  6. Последовательность задана условиями , . Найдите

  7. Последовательность задана условиями , . Найдите

  8. Последовательность задана условиями , . Найдите

  9. Последовательность задана условиями , . Найдите

  10. Последовательность задана условиями , . Найдите

ПРОТОТИП 15

1) Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 11; х; –13; –25; … . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

17) Последовательность задана условиями , . Найдите

18) Последовательность задана условиями , . Найдите

19) Последовательность задана условиями , . Найдите

20) Последовательность задана условиями , . Найдите

21) Последовательность задана условиями , . Найдите

22) Последовательность задана условиями , . Найдите

23) Последовательность задана условиями , . Найдите .

ПРОТОТИП 14

  1. Последовательность задана условиями , . Найдите

  2. Последовательность задана условиями , . Найдите .

  3. Последовательность задана условиями , . Найдите

  4. Последовательность задана условиями , . Найдите

  5. Последовательность задана условиями , . Найдите

28) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -2 2) -4 3) -3 4) -5

29) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 20 2) 19 3) 17 4) 18

30) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 0 2) -1 3) -3 4) -2

31) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 15 2) 13 3) 14 4) 12

32) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 7 2) 9 3) 10 4) 14

33) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 30 2) 32 3) 31 4) 29

34) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -2 2) -1 3) -3 4) -4

35) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 38 2) 40 3) 37 4) 39

36) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 7 2) 9 3) 10 4) 8

37) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 9 2) 6 3) 5 4) 7

38) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -38 2) -36 3) -35 4) -37

39) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -12 2) -14 3) -13 4) -11

40) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -16 2) -14 3) -13 4) -15

41) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -1 2) 2 3) 0 4) 1

42) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 6 2) 7 3) 5 4) 8

43) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 10 2) 7 3) 6 4) 8

44) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 4 2) 3 3) 2 4) 5

45) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 4 2) 3 3) 7 4) 6

5) Последовательность задана условиями , . Найдите

6) Последовательность задана условиями , . Найдите .

7) Последовательность задана условиями , . Найдите

8) Последовательность задана условиями , . Найдите .

9) Последовательность задана условиями , . Найдите

10) Последовательность задана условиями , . Найдите

11) Последовательность задана условиями , . Найдите

12) Последовательность задана условиями , . Найдите

13) Последовательность задана условиями , . Найдите .

14) Последовательность задана условиями , . Найдите .

15) Последовательность задана условиями , . Найдите

16) Последовательность задана условиями , . Найдите

19) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 6 2) 7 3) 4 4) 5

20) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) -32 2) -33 3) -34 4) -35

21) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 20 2) 24 3) 23 4) 22

22) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое число является членом этой прогрессии?

1) 7 2) 6 3) 5 4) 8

23) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 15 2) 13 3) 16 4) 14

ПРОТОТИП 13

1) Последовательность задана условиями , . Найдите

2) Последовательность задана условиями , . Найдите .

3) Последовательность задана условиями , . Найдите

4) Последовательность задана условиями , . Найдите

46) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 93 2) 92 3) 91 4) 90

47) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -6 2) -5 3) -9 4) -7

48) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -2 2) -3 3) -1 4) 0

49) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -35 2) -37 3) -34 4) -36

50) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) -14 2) -11 3) -13 4) -12

51) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

1) 61 2) 60 3) 63 4) 62

ПРОТОТИП 2

1) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 2) 3) 4)

2) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) -2 2) 3) 4) 2

3) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 11 2) -1 3) 4)

4) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 2) 2 3) 4) 11,5

5) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 2 2) 7,5 3) 0 4)

6) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 2) 3 3) 8,5 4)

7) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 10 2) 0 3) 8 4)

8) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 3 2)11 3) 4)

9) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 1 2) 3) 12 4)

12) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) -26 2) -25 3)-22 4) -24

13) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) -2 2)1 3) -1 4) 0

14) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) -23 2) -21 3) -19 4) -22

15) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) -21 2) -24 3) -23 4) -25

16) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) -22 2) -23 3) -24 4) -20

17) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 13 2)12 3) 14 4) 15

18) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 7 2) 6 3) 8 4) 9

5) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1)20 2) 22 3) 21 4) 18

6) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 6 2) 5 3) 7 4) 4

7) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) -8 2) -10 3)-11 4) -12

8) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 14 2) 12 3) 15 4) 13

9) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 25 2) 23 3) 26 4) 27

10) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 28 2)27 3)29 4)30

11) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 9 2) 7 3) 8 4) 6

10) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 2) 3) 0 4)

11) Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1) 2) -3 3) 0 4) 4

ПРОТОТИП 3

1) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) 3) 4)

2) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) -15,75 3) 4)

3) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) -11,25 3) -5 4)

4) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) -12,5 3) 4)

5) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1)-2,5 2) 3) 4)

6) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) 3) -11,75 4)

7) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) 3) -9,25 4)

8) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) -12,25 2) 3) 4)

9) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) 3) 4)-13,25

10) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) -1 3) 4)-5,5

11) Дана арифметическая прогрессия: 27; 22; 17; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -5 2) -3 3) -2 4) -4

12) Дана арифметическая прогрессия: 22; 18; 14; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -1 2) -3 3) -4 4) -2

13) Дана арифметическая прогрессия: 28; 26; 24; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1)-4 2)-3 3) -1 4) -2

14) Дана арифметическая прогрессия: 27; 21; 15; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -2 2) -4 3) -3 4) -5

ПРОТОТИП 12

1) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 80 2) 56 3) 48 4) 32

2) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 27 2) 26 3) 25 4) 23

3) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 11 2) 10 3) 8 4) 9

4) Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1) 6 2) 7 3) 4 4) 5

1) Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -7 2) -8 3) -9 4) -1

2) Дана арифметическая прогрессия: 20; 15; 10; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1)-7 2) -6 3) -4 4) -5

3) Дана арифметическая прогрессия: 34; 28; 22; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1)-2 2) -1 3) -4 4) -3

4) Дана арифметическая прогрессия: 36; 33; 30; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1)-5 2) -4 3) -2 4) -3

5) Дана арифметическая прогрессия: 28; 19; 10; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -9 2) -8 3) -7 4) -6

6) Дана арифметическая прогрессия: 42; 39; 36; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -5 2) -3 3) -4 4) -2

7) Дана арифметическая прогрессия: 26; 24; 22; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -3 2) -1 3) -2 4) -4

8) Дана арифметическая прогрессия: 44; 41; 38; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -2 2) -3 3) -1 4) -4

9) Дана арифметическая прогрессия: 35; 32; 29; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -2 2) -1 3) -4 4) -3

10) Дана арифметическая прогрессия: 42; 36; 30; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1) -6 2) -7 3) -8 4) -5

11) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) 3) 4) -4,5

12) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) 3) -9,75 4)

13) Какое из указанных чисел не является членом последовательности

1) 2) 3) 4) -8,5

ПРОТОТИП 4

1) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 8 2) 9 3) 10 4) 11

2) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 6 2) 5 3) 8 4) 7

3) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 5 2) 3 3) 2 4) 4

4) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 8 2) 9 3) 6 4) 7

5) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 4 2) 2 3) 3 4) 5

6) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

1) 4 2) 1 3) 2 4) 3

7) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

1) 2 2) 4 3) 3 4) 5

8) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 11 2) 8 3) 9 4) 10

9) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

1) 2 2) 4 3) 5 4) 3

10) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 4 2) 3 3) 2 4) 5

11) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 1 2) 4 3) 2 4) 3

12) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

1) 2 2) 3 3) 1 4) 4

13) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

1) 4 2) 3 3) 5 4) 2

3) В первом ряду кинозала 28 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 2) 3) 4)

4) В первом ряду кинозала 45 мест, а в каждом следующем на 1 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 2) 3) 4) n

5) В первом ряду кинозала 22 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 2) 3) 4)

6) В первом ряду кинозала 26 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 2) 3) 4)

7) В первом ряду кинозала 24 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 2) 3) 4)

8) В первом ряду кинозала 50 мест, а в каждом следующем на 1 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 2)n 3) 4)

9) В первом ряду кинозала 35 мест, а в каждом следующем на 1 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1)36 + n 2) 3)35 + n 4) n

10) В первом ряду кинозала 25 мест, а в каждом следующем на 1 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1)n 2) 3) 4)

11) В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1)30 + 2n 2) 3) 4) 33 + 2n

ПРОТОТИП 11

7) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 10.

1) 2) , 3) ,, 4) ,

8) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 5.

1) 2) , 3) , 4) ,,

9) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 3.

1) , 2) , , 3) , 4)

10) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 2.

1) 2) , 3) , 4) ,,

11) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 2.

1) , 2) 3) , 4) ,,

ПРОТОТИП 10

1) В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 28 + n 2) 30 + 2n 3) 32 + 2n 4) 2n

2) В первом ряду кинозала 40 мест, а в каждом следующем на 1 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 40 + n 2) n 3) 41+n 4) 39 + n

14) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 8 2) 9 3) 7 4) 6

15) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 5 2) 8 3) 6 4) 7

16) Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

1) 4 2) 3 3) 1 4) 2

ПРОТОТИП 5

1) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)1; 2; 3; 5;… 2)1; 2; 4; 8;… 3) 1; 3; 5; 7;… 4)1; ; ;;…

2) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1) 1; 2; 3; 5;.. 2) 1; 2; 4; 8;.. 3)1; 3; 5; 7;.. 4) 1; ; ;;…

3) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)3; 6; 9; 12;.. 2)1; 3; 4; 5;.. 3) 1; 2; 4; 8;.. 4)1; ;;;..

4) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)1; 2; 3; 4;.. 2)1; ; ; ;.. 3)1; 3; 4; 5;.. 4) 1; 2; 4; 8;..

5) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)1; 2; 3; 5;.. 2)2; 4; 6; 8;.. 3)1; ; ; ;.. 4)1; 3; 9; 27;..

6) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)1; 3; 9; 27;.. 2) 1; 3; 4; 5; .. 3) 1; ;;;.. 4)1; 4; 7; 10;..

7) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1) 1; 3; 4; 5;.. 2)1; 2; 4; 8;.. 3)1; ; ; ;.. 4)2; 5; 8; 11;..

8) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)1; ;;;.. 2)1; 2; 3; 6;.. 3)4; 8; 12; 16;.. 4)1; 3; 9; 27;..

9) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)1; 2; 3; 5;.. 2)1; ;;;.. 3)1; 2; 4; 8;.. 4)2; 5; 8; 11;..

10) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1) 2; 5; 8; 11;.. 2)1; ; ; 3) 1; 2; 4; 8;.. 4)1; 2; 4; 5;..

11) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)1; ; ;;.. 2)1; 2; 3; 5;.. 3)1; 4; 7; 10;.. 4)1; 3; 9; 27;..

12) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1) 1; 2; 4; 8;.. 2)1; 3; 4; 5;.. 3)1; 3; 5; 7;.. 4)1; ;;;..

ПРОТОТИП 9

1) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 4.

1) , 2) , 3) ,, 4)

2) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 4.

1) , 2) 3) , 4) ,,

3) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 2.

1) , 2) , 3) ,, 4)

4) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 7.

1) 2) , 3) ,, 4) ,

5) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 6.

1) ,, 2) , 3) 4) ,

6) Арифметические прогрессии , и заданы формулами n-го члена: , , Укажите те из них, у которых разность d равна 8.

1) 2) , 3) ,, 4) ,,

7) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 13; 10; 7; 4;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) -3 2) -1 3) 3 4) -2

8) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -8; -6; -4; -2;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 5 2) -1 3) 0 4) 1

9) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 5; 7; 9;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 18 2) 15 3) 14 4) 16

10) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 9; 6; 3; 0;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) -15 2) -16 3) -20 4) -14

11) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 19; 15; 11; 7;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 0 2) -2 3) -1 4) 4

12) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 7; 10; 13; 16;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 22 2) 23 3) 21 4) 24

13) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 15; 13; 11; 9;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 10 2) 4 3) 5 4) 6

14) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 16; 14; 12; 10;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 5 2) 6 3) 11 4) 7

15) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 17; 15; 13; 11;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 8 2) 6 3) 7 4) 12

16) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 6; 8; 10; 12;… . Какое из чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 17 2) 16 3) 19 4) 15

13) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)2; 4; 6; 8;.. 2)1; 2; 3; 6;.. 3)1; 3; 9;27;.. 4)1; ;;;..

14) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)4; 8; 12; 16;.. 2)1; 3; 9; 27;.. 3)1; ;;;.. 4)1; 2; 3; 5;..

15) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1) 1; ;;;.. 2) 1; 2; 4; 8;.. 3) 1; 2; 3; 5;.. 4)3; 6; 9; 12;..

16) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1)1; 2; 3; 6;.. 2)3; 6; 9; 12;.. 3)1; 2; 4; 8;.. 4)1; ;;;..

17) Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1) 1; 2; 4; 8;.. 2)1; 3; 5; 6;.. 3)1; 2; 3; 4;.. 4)1; ;;;..

ПРОТОТИП 6

1) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)10; 6; 2; -2;.. 2) 5;;;;.. 3) 1; 2; 3; 5;.. 4) ;;;;..

2) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)1; 3; 4; 5;.. 2)1; ; ;;.. 3)9; 3; 1; ;.. 4)1; 2; 3; 4;..

3) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)1; 2; 3; 6;.. 2)5; ; ;;.. 3)1; ; ; ;.. 4)2; 3; 4; 5;..

4) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1) 1; ; ; ;.. 2)2; 4; 8; 12;.. 3)1; 3; 9; 27;.. 4)1; 2; 3; 6;..

5) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)1; 3; 4; 5;.. 2)2; 4; 6; 8;.. 3)3; 1; ; ;.. 4)1; ; ; ;..

6) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)1; 3; 5; 6;.. 2)1; ;; 3)3; 9; 12; 13;.. 4) 5; ; ;;..

7) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)1; 2; 3; 6;.. 2)2; 5; 6; 8;.. 3)12; 4; ; ;.. 4)1; ; ;;..

8) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1) 1; 2; 3; 5;.. 2)20; 10; 5; ;.. 3)1; ;;;.. 4)2; 4; 6; 8; ..

9) Укажите геометрическую прогрессию:.

1) 1; ;;;.. 2)3; 1; ; ;.. 3)3; 9; 12; 13;.. 4) 1; 2; 3; 5;..

10) Укажите геометрическую прогрессию:.

1) 1; ; ; ;.. 2)10; 5; ; ;.. 3) 1; 2; 3; 5;.. 4)2; 4; 6; 8;..

16) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность натуральных чисел, кратных 6

2) Последовательность кубов натуральных чисел

3) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя

4) Последовательность натуральных степеней числа 5

ПРОТОТИП 8

1) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… . Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 83 2) 95 3) 100 4) 102

2) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -1; 1; 3; 5;… . Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 10 2) 14 3) 9 4) 8

3) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 5; 2; -1; -4;… . Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) -10 2) -12 3) -9 4) -11

4) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -5; -8; -11; -14;… . Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) -18 2) -16 3) -17 4) -12

5) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 14; 11; 8; 5;… . Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 4 2) 0 3) -1 4) -2

6) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 8; 12; 16; 20;… . Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1) 28 2) 26 3) 27 4) 29

11) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых равен 1

2) Последовательность натуральных степеней числа 2

3) Последовательность кубов натуральных чисел

4) Последовательность натуральных чисел, кратных 3

12) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность кубов натуральных чисел

2) Последовательность натуральных чисел, кратных 4

3) Последовательность натуральных степеней числа 5

4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

равен 5

13) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность квадратов натуральных чисел

2) Последовательность натуральных чисел, кратных 2

3) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

на 1 меньше знаменателя

4) Последовательность натуральных степеней числа 2

14) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность квадратов натуральных чисел

2) Последовательность натуральных степеней числа 3

3) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

на 1 меньше знаменателя

4) Последовательность натуральных чисел, кратных 3

15) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность натуральных степеней числа 5

2) Последовательность натуральных чисел, кратных 3

3) Последовательность квадратов натуральных чисел

4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

на 1 меньше знаменателя

11) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1) 1; 2; 3; 5;.. 2)1; 2; 3; 4;.. 3) 1; ; ; ;.. 4)1; 2; 4; 8;..

12) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1) 1; ; ; ;.. 2)1; 2; 3; 6;.. 3)3; 9; 12; 15;.. 4)9; 3; 1; ;..

13) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)20; 10; 5; ;.. 2)2; 4; 8; 12;.. 3)1; 3; 4; 6;.. 4)1; ;;;..

14) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)1; 3; 4; 5;.. 2) 10; 5; ; ;.. 3) 1; ;; ;.. 4)1; 2; 3; 4;..

15) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)2; 4; 6; 8;.. 2)1; 2; 3; 5;.. 3)1; ;; ;.. 4)9; 3; 1; ;..

16) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)1; 2; 4; 8;.. 2) 1; ; ; ;.. 3) 1; 2; 3; 6;.. 4)2; 5; 6; 8;..

17) Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1)2; 4; 8; 12; .. 2)10; 5; ; ;.. 3)1; ; ; ;.. 4)1; 2; 3; 6;..

ПРОТОТИП 7

1) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность натуральных степеней числа 2

2) Последовательность натуральных чисел, кратных 5

3) Последовательность кубов натуральных чисел

4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя

2) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность натуральных степеней числа 7

2) Последовательность кубов натуральных чисел

3) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

на 2 меньше знаменателя

4) Последовательность натуральных чисел, кратных 2

3) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

на 1 меньше знаменателя

2) Последовательность натуральных степеней числа 8

3) Последовательность квадратов натуральных чисел

4) Последовательность натуральных чисел, кратных 3

4) Какая последовательность является арифметической прогрессией?

1) Последовательность квадратов натуральных чисел

2) Последовательность натуральных степеней числа2

3) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

на 2 меньше знаменателя

4) Последовательность натуральных чисел, кратных 4

5) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность натуральных чисел, кратных 5

2) Последовательность натуральных степеней числа 8

3) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

на 2 меньше знаменателя

4) Последовательность квадратов натуральных чисел

6) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

равен 7

2) Последовательность натуральных степеней числа 6

3) Последовательность кубов натуральных чисел

4) Последовательность натуральных чисел, кратных 4

7) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

на 1 меньше знаменателя

2) Последовательность натуральных степеней числа 8

3) Последовательность натуральных чисел, кратных 6

4) Последовательность кубов натуральных чисел

8) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя

2) Последовательность натуральных чисел, кратных 3

3) Последовательность квадратов натуральных чисел

4) Последовательность натуральных степеней числа 6

9) Какая последовательность является арифметической прогрессией?

1) Последовательность натуральных чисел, кратных 7

2) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых

равен 10

3) Последовательность натуральных степеней числа8

4) Последовательность квадратов натуральных чисел

10) Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность натуральных степеней числа 4

2) Последовательность кубов натуральных чисел

3) Последовательность натуральных чисел, кратных 6

4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя

Автор
Дата добавления 27.02.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Другое
Просмотров6730
Номер материала 3138
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.