Урок «Аксиомы стереометрии»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Что такое аксиома? 

Аксиома – это утверждение не требующее доказательства.

Аксиомы стереометрии  – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.

Аксиома А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома А1 состоит из двух частей.

Первая часть утверждает, что через три точки проходит плоскость, т.е. существует хотя бы одна плоскость.

А вторая часть аксиомы говорит, что такая плоскость только одна.

На экране изображены три точки  A, B и C.

Если  C не принадлежит прямой AB,  то существует плоскость α,  проходящая через эти три точки, причем, только одна.

Символ   читается как существует.

По этой аксиоме, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость.

Поэтому  плоскости иногда обозначают тремя большими буквами, используя  любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой.

У нас на экране плоскость обозначена как α. Эту же плоскость можно обозначить  как ABC

Аксиома А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

На экране вы видите две точки A и B.

Если точки A и B принадлежат плоскости  , то прямая AB лежит в плоскости α,  плоскость проходит через  прямую AB.

Эта аксиома устанавливает взаимосвязь между прямой и плоскостью, то есть тот факт, что плоскость действительно плоская и прямая ее не «протыкает», а целиком содержится в ней.

Из аксиомы A2 следует,  что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома А3.

Если две плоскости имеют общую точку,  то  они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку..

На экране мы видим, плоскости   имеют общую точку M.

Если точка M – общая для плоскостей  , то они  пересекаются по прямой a, проходящей через  точку M.

Эта аксиома очень важная. Она утверждает, что две плоскости не могут пересекаться по одной единственной точке.

Справедливость фактов планиметрии

Мы с вами познакомились с тремя аксиомами стереометрии.

Возникает вопрос: «Можем ли мы пользоваться теми фактами, которые справедливы на плоскости: теорема Пифагора, формулы площади треугольников, параллелограмма?  Или все эти формулы, теоремы для нас уже не имеют значения?»

Оказывается можем.

В планиметрии мы имели дело с одной плоскостью, на которой располагались  все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много плоскостей.

И в каждой из плоскостей, справедливы все факты планиметрии. В любой из плоскостей выполняется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, верны формулы длины окружности, верны формулы для площади.

Все что мы изучали,  мы теперь можем применять смело в каждой из рассматриваемых плоскостей.