Урок "Как построить график функции у=f(x+l)+m, если известен график функции у=f(x)"

Достаточно часто при решении тех или иных задач возникает необходимость построения графиков зависимостей одних переменных от значений других, то есть графиков функций. Довольно просто выполнять построения сложных графиков? владея навыками построения более простых. Одним из таких случаев является построение графика функции y=f(x+l)+m при наличии графика функции y=f(x).

Рассмотрим примеры построения графиков функций.

Построим график функции у=(х-2)²-3. Для удобства построения графика разобьем весь процесс на этапы.

Вначале построим график функции у=х². На предложенном видео этот график изображен сплошной красной линией.

После этого перенесем наш график параллельно оси ох на 2 единицы вправо. Полученный график соответствует функции у=(х-2)². На видео он изображен зеленым цветом.

Осталось перенести промежуточный график параллельно оси оу на 3 единицы вниз, и мы получаем график нашей функции, то есть у=(х-2)²-3. Окончательный график на видео представлен желтой параболой.

Но в то же время возникает вопрос о целесообразности построения трех графиков при необходимости построения только одного. Ведь фактически графиком функции у=(х-2)²-3 является парабола у=х², вершина которой просто переместилась в точку (2;-3). Поэтому рассмотрим более рациональный, с точки зрения математиков, способ построения графиков более сложных функций с использованием графиков простых.

Для построения графика функции у=(х-2)²-3 достаточно построить пунктиром вспомогательную прямоугольную систему координат с началом в точке (2;-3). Проведем прямые х=2 и у=-3. А уже в этой вспомогательной прямоугольной системе координат, пользуясь шаблоном функции у=х², остается построить нужный график.

Иными словами, привяжем функцию у=х² к новой системе координат для получения нужного графика.

В следующем примере воспользуемся предложенным методом построения графика. Для этого построим график функции у=-2(х+3)²+1. Вначале создадим вспомогательную прямоугольную систему координат, построив прямые х=-3 и у=1 пунктиром. Начало отсчета в новой системе переместится в точку (-3;1). Остается привязать функцию у=-2х² к полученной системе. Подставим в уравнение функции, например,  значения х=0, х=-1, х=1, х=-2 и х=2. Используем контрольные точки (0;0), (-1;-2), (1;-2), (-2;-8), (2;-8) и строим их в новой системе. Достаточно провести через полученные точки параболу, и наш график функции у=-2(х+3)²+1 построен.

Мы можем сказать, что, проделав весь этот путь, выработан определенный алгоритм построения графика функции y=f(x+l)+m при наличии графика функции y=f(x). Он состоит в следующем:

Вначале необходимо просто построить график функции y=f(x). Затем параллельным переносом переместить вдоль оси ох на модуль l единиц влево, если l положительно или вправо, если l отрицательно.

После этого остается параллельно перенести вдоль оси оу полученный ранее график на модуль m единиц вверх, при положительном значении m или вниз, при его отрицательном значении.

Суть второго алгоритма:

Пунктирными линиями строим прямые х=-l и у=m, получая вспомогательную систему координат с началом в точке (-l; m). Привязываем график функции y=f(x) к новой системе координат. Он и будет необходимым.