Уроки математики / Видеоурок / Урок «Компланарные вектора»

Урок «Компланарные вектора»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Иначе:

векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Урок «Компланарные вектора»

На рисунке векторы  CA,CA1,DD1  компланарны, так как, если отложить от точки C вектор CC1=DD1 то все три вектора  CA, CA1,CC1  и окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы DC,CA,DD1 не компланарны, так как вектор DD1 не лежит в плоскости ACD.

Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Докажем признак компланарности трех векторов.  Если вектор   можно представить в виде  =x , где х и у – некоторые числа, то векторы   – компланарны.

Урок «Компланарные вектора»

Для доказательства будем считать, что векторы а и в неколлинеарны, так как если они коллинеарны, то компланарность очевидна. Отложим от произвольной точки О векторы ОА и ОВ, равные соответственно векторам данным а и в. Вектороы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Вектор ОА1 равен вектору ОА, умноженному на число х. Вектор ОВ1 равен вектору ОВ, умноженному на число у. Векторы ОА1 и ОВ1 так же лежат в этой плоскости. Следовательно, их сумма тоже лежит в этой плоскости. А их сумма равна вектору с. Значит , и вектор с лежит в этой плоскости. Векторы а, в и с компланарны. Что и требовалось доказать.

Справедливо и утверждение, обратное признаку компланарности векторов:

Урок «Компланарные вектора»

Если векторы а, в, с компланарны, а векторы а и в неколлинеарны, то вектор с можно представить как сумму  x , при чем коэффициенты х и у определяются единственным образом.

В таком случае говорят, что вектор с разложен по векторам а и в.

Рассмотрим задачу №355(а)    Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Компланарны ли векторы АА1, СС1, ВВ1?

Решение : Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. А в нашем случае все три вектора являются коллинеарными так как лежат на параллельных ребрах параллелепипеда, значит, эти векторы компланарны.

Рассмотрим задачу

Урок «Компланарные вектора»

Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Компланарны ли векторы АD, СС1, А1В1?

Решение: Вектор АА1 равен вектору СС1, вектор АВ равен А1В1. Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС. Значит, и АD, СС1, А1В1- некомпланарны.

Автор
Дата добавления 28.10.2014
Раздел Геометрия
Подраздел Видеоурок
Просмотров2611
Номер материала 954
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.