Урок математики в 11 классе "Простейшие задачи в координатах"

Тема урока: Простейшие задачи в координатах.

Скалярное произведение векторов.

Решений задач.

Цели урока:

• Обучающая: отработка навыков и умений решения простейших задач в координатах, решения задач на скалярное произведение векторов.

• Развивающая: формирование умений выполнять обобщение; развитие качеств мышления: целенаправленность, рациональность, развитие самостоятельной деятельности учащихся.

• Воспитывающая: воспитание интереса и любви к предмету; умения работать в коллективе и культуры общения.

План урока:

• Организационный момент.

• Сообщение темы и цели урока.

• Повторение: математический диктант с повторением теории.

• Решение задач.

• Тест с последующей проверкой.

• Итог урока.

• Оценка работ.

• Задание на дом.

Конспект урока.

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы и цели урока:

Тема нашего сегодняшнего урока: Решение задач по теме «Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов» - слайд № 1

Цели урока: - слайд № 2

• Обучающая: отработка навыков и умений решения простейших задач в координатах, решения задач на скалярное произведение векторов. – слайд № 3

• Развивающая: формирование умений выполнять обобщение; развитие качеств мышления: целенаправленность, рациональность, развитие самостоятельной деятельности учащихся. – слайд № 4

• Воспитывающая: воспитание интереса и любви к предмету; умения работать в коллективе и культуры общения. – слайд № 5

3. Повторение: математический диктант с повторением теории.

• Повторение: найти координаты вектора АВ, если А (3; -1; 2) и В (2; -1; 4). – cлайд № 7

• Вопрос: как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? - слайд № 8

• Ответ: А (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) AB {x₂ – x₁; y₂ – y₁; z₂ – z₁} - слайд № 9

• Ответ: (-1; 0; 2); - слайд № 10

• Повторение: точка М – середина отрезка АВ; найти координаты точки М, если А (0; 3; 4) и В (-2; 2; 0). – слайд № 11

• Вопрос: как найти координаты середины отрезка? – слайд № 12

• Ответ: А (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) М ((x₂ + x₁)/2; (y₂ + y₁)/2; (z₂ + z₁)/2). – слайд № 13

• Ответ: {-1; 2,5; 2} – слайд № 14

• Повторение: найти длину вектора а, если он имеет координаты: {-5; -1; 7}. – слайд № 15

• Вопрос: как вычислить длину вектора по его координатам? – слайд № 16

• Ответ: a {x; y; z} ! a ! = x² + y² + z² . – слайд № 17

• Ответ: 5 корней квадратных из 3 – слайд № 18

• Повторение: найти расстояние между точками А и В, если А (9; 3; -5) и В (2; 10; -5). – слайд № 19

• Вопрос: как вычислить расстояние между точками? – слайд № 20

• Ответ: А (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) ! AB! = ({x₂ – x₁)² + ( y₂ – y₁)² + ( z₂ – z₁)². – слайд - № 21

• Ответ: 7 корней квадратных из 2 - слайд - № 22

• Повторение: найти скалярное произведение векторов: а {1; -1; 2} и b {5; 6; 2}. – слайд № 23

• Вопрос: что называется скалярным произведением векторов? – слайд № 24

• Ответ: скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

ab = !a! !b! cos (a b). – слайд № 25

• Вопрос: как вычислить скалярное произведение векторов по их координатам? – слайд № 26

• Ответ: ав = х₁х₂ + y₁y₂ + z₁z₂ - слайд № 27

• Ответ: 3 - слайд № 28

4. Решение задач у доски и индивидуально:

• Доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом,

если A (6; 7; 8), В (8; 2; 6), C (4; 3; 2), D (2; 8; 4). – слайды № 29 - 30

Дано: ABCD – четырехугольник;

A (6; 7; 8), В (8; 2; 6), C (4; 3; 2), D (2; 8; 4).

Доказать: ABCD – ромб.

Доказательство:

АВ = 2² + (-5)² + (-2)² = 4 + 25 + 4 = 33

ВС = (-4)² + 1² + (-4)² = 16 + 1 + 16 = 33

CD = (-2)² + 5² + 2² = 4 + 25 + 4 = 33

AD = (-4)² + 1² + (-4)² = 16 + 1 + 16 = 33

AB = BC = CD = AD;

АВ = {2; -5; -2} и CD = {-2; 5; 2}; AB = -CD, значит AB !! CD

BC = {-4; 1; -4} и AD = {-4; 1; -4}; BC = AD, значит BC !! AD

значит ABCD – ромб.

• № 453. – слайды № 31 - 32

Дано: А (1; 3; 0); В (2; 3; -1); С (1; 2; 1).

Найти: Угол между векторами СА и СВ.

Решение: СА {0; 1; -1}; CB {1; 1; -2};

Cos СА СВ = (0 1 + 1 1 + (-1) (-2)) / (0 + 1 + 1)^1/2 (1 + 1 + 4)^1/2 = 3 / 2 3^1/2 = 3^1/2/2.

СА СВ = 60 ^о.

Ответ: 60 ^о.

• Даны точки: А(1;2;3); В(2;3;1) и С(3;1;2). Найти периметр треугольника АВС. - Р = 3 6^1/2. - слайды № 33 – 34

Дано: А(1;2;3); В(2;3;1); С(3;1;2).

Найти: периметр треугольника АВС.

Решение: АВ = 1² + 1² + (-2)² = 5;

ВС = 1²+ (-2)²+ 1² = 5;

АС = 2² + (-1)² + (-1)² = 5;

Р = АВ + ВС + АС = 5 + 5 + 5 = 3 5.

Ответ: Р = 3 5.

• Найти расстояние между точками В(-2;0;3) и К(3;4;-2). -

• ВК = 66^1/2. - слайд № 35

• А(1;2;3) и В(3;-6;7). Найти координаты середины отрезка АВ. -

• М (2; -2; 5). - слайд № 35

• Найти скалярное произведение векторов а{1;2;4} и b{-8;2;1}. -

• 0. - слайд № 35

• Найти угол между векторами a{1;2;-2} и b{1;0;-1}. -

• 45 ^о. - слайд № 35

5. Тест с последующей проверкой: - слайды № 36 - 41

I. Если М (-2; -4; 5), Р (-3; -5; 2), то МР имеет координаты:

• 1. (1; 1; 3);

• 2. (-5; -9; 7);

• 3. (-1; -1; -3).

II. Если А (5; 4; 0), В (3; -6; 2) и С – середина отрезка, то С имеет координаты:

• 1. (4; -1; 1);

• 2. (1; 5; -1);

• 3. (-1; -5; 1).

III. Если вектор а имеет координаты {-3; 3; 1}, то его длина равна:

• 1. 1;

• 2. кв. корень из 19;

• 3. 0.

IY. Если А (2; 7; 9), В (-2; 7; 1), то расстояние между точками А и В равно:

• 1. 8;

• 2. кв. корень из 149;

• 3. 4 корней из 5.

Y. Скалярное произведение векторов а {-4; 3; 0}, b {5; 7; -1} равно:

• 1. 0;

• 2. 1;

• 3. 41.

YI. Угол между векторами a {2; -2; 0}, b {3; 0; -3} равен:

• 1. 90 градусов;

• 2. 60 градусов;

• 3. 45 градусов.

Проверка:

3; 1; 2; 3; 2; 2.

6. Итог урока:

• Над какой темой работали?

• Что повторили?

7. Оценка работ:

8. Задание на дом:

• Глава 5, параграфы 1 – 2.