Урок «Многогранный угол»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В планиметрии одним из объектов изучения является  угол.

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки – вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки.

Два  угла одна сторона, которых общая и две другие являются продолжением одна другой, в планиметрии называются смежными.

Циркуль можно рассматривать как модель плоского угла.

Вспомним понятие двухгранного угла.

Это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости – это грани двугранного угла. Прямая а – это ребро двугранного угла.

Крыша дома наглядно демонстрирует двухгранный угол.

Но крыша дома на рисунке два  выполнена в виде фигуры образованной из шести плоских углов с общей вершиной так, что углы берутся в определенном порядке и каждая пара соседних углов, включая первый и последний, имеет общую сторону. Как называется такая форма крыши?

В геометрии фигура, составленная из углов

А1ОА2, А2ОА3 и так далее АnОА1 и их внутренних областей так, что смежные не лежат в одной плоскости, а не смежные углы (с их внутренними областями) не имеют общих точек называется многогранный угол ОА1А2 А3…Аn.

А углы из которых составлен этот угол называются плоскими углами. Стороны плоских углов называются ребрами многогранного угла. Точка О называется вершиной угла.

Примеры многогранных углов можно найти в тетраэдре и параллелепипеде.

Грани тетраэдра DBA, ABC, DBC образуют многогранный угол ВADC. Чаще он называется трёхгранным углом.

В параллелепипеде  грани АА1D1D, ABCD, AA1B1B образую трехгранный угол AA1DB.

Ну а крыша дома выполнена в форме шестигранного угла. Она  состоит из шести плоских углов.

Для многогранного угла справедлив ряд свойств. Сформулируем их и докажем. Здесь говорится, что утверждение

Во–первых, для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.

Рассмотри для доказательства многогранный угол ОА1А2 А3…Аn.

По условию он выпуклый. Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

Так как по условию этот угол выпуклый, то точки О, А1, А2 ,А3, Аn лежат по одну сторону от плоскости ОА1А2

Проведем среднюю линию KM треугольника ОА1А2  и выберем из ребер ОА3, ОА4, ОАn  то ребро  которое образует с плоскостью ОКМ, наименьший двугранный угол. Пусть это будет ребро  ОАi.(оа итое)

Рассмотрим полуплоскость α с границей  КМ, делящую двугранный угол ОКМАi на два двухгранных угла. Все вершины от А до Аn лежат по одну сторону от плоскости α, а точка О по другую сторону. Следовательно, плоскость α пересекает все ребра многогранного угла. Утверждение доказано.

Выпуклые многогранные углы обладают ещё одним важным свойством.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной в точке О. В силу доказанного утверждения существует плоскость, которая пересекает все его ребра.

Проведем такую плоскость α, пусть она пересекает рёбра угла в точках А1, А2, А3 и так далее Аn.

Плоскость α от внешней области плоского угла будет отсекать треугольник. Сумма углов которого 180°. Получим, что сумма всех плоских  углов от А1ОА2 до АnОА1 равна  выражению преобразуем, данное выражение перегруппируем слагаемые, получим

В данном выражении суммы указанные в скобках, являются суммами плоских углов трехгранного угла, а как известно они больше третьего плоского угла.

Данное неравенство можно записать для всех трёхгранных углов образующих данный многогранный угол.

Следовательно, получим следующее продолжение равенства

Полученный ответ доказывает, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.