Уроки математики / Конспект урока / Урок на тему "Сумма n первых членов геометрической прогрессии" (9 класс)

Урок на тему "Сумма n первых членов геометрической прогрессии" (9 класс)

Открытый урок в 9 классе на тему:

«Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

Цели - систематизировать и обобщить изученный материал о прогрессиях;

научить применять формулу вычисления суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

Задачи:

  1. Обучающие:

  • обучение применению формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии при решении задач,

  • обобщение знаний по теме,

  • проверка применять полученные знания на практике,

  • ознакомление с историческими аспектами данной темы.

  1. Развивающие:

  • развитие кругозора и реализации принципов связи теории и практики,

  • развитие познавательного и прикладного интереса,

  • развитие логического мышления и вычислительной культуры.

  1. Воспитательные:

  • развитие интереса к предмету,

  • воспитание чувства любви к Родине,

  • воспитание ответственного отношения и умения давать себе отчёт.

Оборудование: доска, экран, мультимедиапроектор, ноутбук, тренировочные материалы для подготовки к основному государственному экзамену по математике 2016(дидактические материалы), учебник алгебры 9 класса под ред. С. А. Теляковского.

Ход урока

l. Организационный момент (слайд 1-4).

«Здравствуйте! Садитесь».

ІІ. Мотивация урока.

Ребята, перед уроком я хочу узнать ваше настроение и предлагаю с помощью карточек показать его. Вижу не очень. Для поднятия вашего настроения хочу рассказать легенду о шахматной доске.

Шахматы — одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Чтобы понять ее, не нужно уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разделенной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Так мы тоже пригласим сюда царя Шерама и изобретателя, его звали Сета. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

Сценка.

Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,— сказал царь.

Мудрец поклонился.

Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,— продолжал царь.— Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

Не робей,— ободрил его царь.— Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

  1. Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

  1. Повелитель,— сказал Сета,— прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

  2. Простое пшеничное зерно? — изумился царь.

  3. Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна,

за третью 4, за четвертую — 8, за пятую—16, за шестую — 32...

  1. Довольно,— с раздражением прервал его царь.— Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Царь Шерам засмеялся.

Учитель. Ребята, давайте посчитаем стоит ли царю смеяться?

Что образуют последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 32,…,

Ответ. Геометрическую прогрессию

Учитель. Эта легенда говорит о том, что геометрическая прогрессия была известна давно. Как мы найдем, сколько зёрен надо выдать изобретателю шахмат?

Ответ. Надо найти сумму первых 64 членов этой прогрессии.

Учитель. Значит, как вы думаете, чему посвящена тема сегодняшего урока?

Ответ. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Учитель. Напишем в тетрадях число и классную работу, формулу для нахождения суммы первых 64 членов геометрической прогрессии.

Ответ. S64 = =264 – 1=210·210 ·210 · 210 · 210 · 210· 2-1

Учитель. Как велико это число? Кто может объяснить?

18 446 744 073 709 551 615

Это «чудовищное» число звучит так: 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктидой, и при этом получить хороший урожай, то лет за 5 он мог бы рассчитаться.

И все-таки, история о шахматах могла закончиться иначе.

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он мог бы легко, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить изобретателю самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Чтобы отсчитать себе все зерно изобретателю потребовалось бы примерно

586 549 402 017 лет. (586 миллиардов 549миллионов 402 тысячи 17 лет)

Учитель. Итак, ребята, давайте ещё раз вспомним тему нашего урока. Цель урока: научиться решать задачи на применение формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии. Кроме геометрической прогрессии какая ещё прогрессия есть?

Ответ. Арифметическая.

ІІІ. Повторение изученного материала.

Учитель. На этом уроке обобщим знания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Итак, заполните нижеприведенную обобщающую таблицу. (На доске двое заполняют таблицу, третий рассказывает определения арифметической и геометрической прогрессий).

Прогрессии

Арифметическая (an)

Геометрическая (bn)

1.

Определение

an+1=an+d

bn+1=bn ·q

2.

Формула для нахождения

n-го члена

an= a1+(n-1)d

bn= b1·q(n-1)

3.

Сумма

n-первых членов прогрессии

Sn=

Устная работа

1) Дано: (а n )- ар. пр.,  а1 = 5 d = 3. Найти: а6. Ответ. 20

2Дано: (b n ) – гем. пр., b15 q = 3. Найти: b3. Ответ. 45

3) Дано: (а n )- ар. пр.,  а4 = 11 d = 2. Найти: а1. Ответ. 5

Дано: (b n ) – геом. пр.,  b4= 40 q = 2. Найти: b1. Ответ. 5

Ответы 1) а6 = а1 +5 d = 5+ 53 = 20

а10 = а1 +9, d = 5+ 93 = 32

2) b3 = b1q2 = 5 32 =59=45

b5 = b1q4 = 5 34 =581=405

3) а4а1 +3 d а1 = а4 – 3 d = 11 – 32 = 5

4) b 4b1 q3 b 1 = b 4 : q3 = 40 : 23 = 5

IV. Закрепление изученного материала. Применение полученных знаний.

В различных областях знаний, таких как: физика, химия, биология, экономика и других можно встретиться с геометрической прогрессией? Давайте рассмотрим задачи практического характера.

1. Пироженкова Люба мечтает стать биологом. Ей мы предложим Решить задачу из биологии. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 5 минут?

Ответ. Данная последовательность является геометрической прогрессией (b n ) b1 =1 q =2, n = 5.
= =32-1 =31

ОТВЕТ. 31 БАКТЕРИЯ.

В человеке около 3 кг бактерий, но человек приспособился жить с ними. Если мы будем бессмысленно принимать антибиотики, то под нож пойдут и плохие и хорошие бактерии, вместо них возникнут другие бактерии мутанты, которых уже нельзя удалить никаким лекарством. Вот когда действительно позарез нужны будут антибиотики, эти мутанты будут губить организм. Антибиотики есть в зубных пастах. Зубные пасты с зеленой полоской означают , что они состоят из природных веществ, синяя – из синтетических, но не вредных, красная и черная полоски указывают на содержание антибиотика триклазана, широкого спектра дейтвия. Поэтому надо стараться избегать средств, содержащих антибиотики широкого спектра действия без необходимости, чтобы не навредить своему организму.

Памятка. Как уберечь себя от бактерий

1. Обязательно тщательно мыть руки с мылом. Антибактеральным мылом мы промываем только различные ранки и ссадины, моем руки после огорода, а так же после контакта с животными.

2. Каждый день влажная уборка.

3. Обязательно нужно каждый день проветривать комнаты, а так же поддерживать уровень влажности.
4.Иммунитет поддерживаем, уделяя максимум внимания и средств здоровому питанию.
5.В сезон простуд не забываем про чеснок и лук.
6.Нужно заниматься спортом и желательно делать по утрам зарядку. 

Мальчики, будущие хозяева семьи, должны хорошо считать деньги. Они решат старинную задачу из учебника Магницкого.

2. Задача №2 (из учебника Магницкого)

Богач возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем,- говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Как вам кажется, ребята, выгодную сделку совершил незнакомец с богачом? Ну, давайте посчитаем. Находим выгодность сделки.

Незнакомец заплатит 100000·30 = 3000000 (3 миллиона)рублей.

Богач. (Можно пользоваться калькулятором).

Решение:

n=30, q=2.

= =210 ·210 · 210 -1== коп.= 10 737 418,23р =(10 мил 737тыс 418руб 23коп)11мил

.

Учитель. Хозяин отвечает за экономику семьи. Поэтому необходимо повышать свою финансовую грамотность всеми возможными способами! Финансовая грамотность немыслимо без знания математики. Любимые уловки аферистов скрыты за знаниями арифметической и геометрической прогрессий. В настоящее время на этом основаны микрокредиты по 2% в день. Прежде чем согласиться, надо задуматься над тем, что месяц это 30 дней и даже минимальная сумма, как в этой задаче, увеличится в n число раз. Семь раз измерь и один раз отрежь!

V. Решение на повторение. Задание 6 из дидактического материала вариант10 на странице 86.

В арифметической прогрессии a1 =5, d=-2, а в геометрической прогрессии b1=-2, q=2. Укажите количество членов арифметической прогрессии, если сумма её членов равна четвертому члену геометрической прогрессии

Ответ. Решение на доске.

1) Находим b4= b1· q3=-2·23=-2·8=-16.

2)Sn=2 a1+ d(n-1)n/2=2·5-2(n-1) n/2=(10-2n+2)n/2=(12-2n) n/2=-16

(12-2n) n/2=-16

(12-2n)n=-32

-2n2+12n+32=0

n2- 6 -16=0

По теореме Виета имеем n1=-2; n2=8. Количество членов не может выражаться отрицательным числом, поэтому n=8.

-Оцените свою работу и работу соседа и поставьте оценку за вклад его в решение.

-Оцените свою работу и работу соседа и поставьте оценку за вклад его в решение.

VI. Физминутка для глаз.

-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

VІІ. Проверка знаний учащихся

Найти сумму n членов геометрической прогрессии, если:

Вариант 1: , q= 2, n=6. S6 =3(26 – 1)/2-1=3·63=189. Ответ: 189

Вариант 2: q= -2, n=5. S5 =-9(-25-1)/-2-1=-9·(-33)/-3=-99. Ответ: -99

Вариант 2: q= -2, n=5. S9=5(-19 -1)/-1-1=5·(-2)/(-2)=5. Ответ: 5

Учитель. Давайте проверим ответы к данному заданию. Ответы на слайде.

VІІІ. Итоги урока.

Учитель:

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?

- Что интересного узнали?

-Что показалось трудным?

-Какая из изученных прогрессий, на Ваш взгляд, более сложная?

Почему?

ІX. Задание на дом

Учитель: Откройте дневники и запишите домашнее задание:

*Обязательное: №654(а), 656.

*Практическое. У каждого на столе задача. Решить её дома по желанию.

Задача. Некто продавал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по – твоему, цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди. Лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в подкове 6. За 1 – ый гвоздь дай мне всего1/4 копейки, за третий 1 копейку и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей. Так ли это?

X. Рефлексия.

Выставьте себе баллы: Оставьте карточку с баллом на своем столе.

5 б. – все понял и могу объяснить другому;

4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;

3 б. – для полного понимания надо повторить;

2 б. – я ничего не понял.

"Прогрессио – движение вперёд!"

Урок сегодня завершён, Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут.

Спасибо за урок.

Задача. Некто продавал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по – твоему, цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди. Лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в подкове 6.

За 1 – ый гвоздь дай мне всего1/4 копейки, за третий 1 копейку и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей. Так ли это?

2

3

4

5

Решить задачу из биологии. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 5 минут?

2. Задача №2 (из учебника Магницкого)

Богач возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем,- говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Найти выгодность сделки.

Не навреди!

В человеке около 3 кг бактерий, но человек приспособился жить с ними. Если мы будем бессмысленно принимать антибиотики, то под нож пойдут и плохие и хорошие бактерии, вместо них возникнут другие бактерии мутанты, которых уже нельзя удалить никаким лекарством. Вот когда действительно позарез нужны будут антибиотики, эти мутанты будут губить организм. Антибиотики есть в зубных пастах. Зубные пасты с зеленой полоской означают , что они состоят из природных веществ, синяя – из синтетических, но не вредных, красная и черная полоски указывают на содержание антибиотика триклазана, широкого спектра дейтвия. Поэтому надо стараться избегать средств, содержащих антибиотики широкого спектра действия без необходимости, чтобы не навредить своему организму.

Автор
Дата добавления 21.02.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Конспект урока
Просмотров811
Номер материала 2919
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.