Урок «Некоторые следствия из аксиом»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы познакомимся со следствиями из аксиом стереометрии и их доказательствами, применим  эти свойства  при решении задач.

Их мы сформулируем в виде теорем.

Первое  следствие из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

прямая a

точка A не принадлежащая  на прямой a

Доказать: Существует единственная плоскость  , проходящая через прямую  a и точку A

Доказательство

1. Докажем существование плоскости.

Отметим на прямой a любые две точки B и C.

Так как три точки A, B, C не лежат на одной прямой, то  существует плоскость  , проходящая через эти точки. Это следует из аксиомы А1.

Так как две точки B и C прямой a  принадлежат плоскости , то плоскость   проходит через прямую a (по аксиоме А2).

Итак, плоскость   проходит через прямую a и точку A.

 – искомая плоскость.

2. Докажем единственность плоскости.

Любая плоскость, проходящая через прямую a и точку A проходит через три точки: B, C и A.

Мы знаем, что через три точки проходит единственная плоскость. Это следует из аксиомы А1.

Поэтому плоскость  совпадет с плоскостью α.

Теорема доказана.

Второе следствие из аксиом.

 Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

Прямые a и b, пересекающиеся в точке A.

Докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна

Доказательство.

1.Докажем, что такая плоскость существует.

На прямой b отметим произвольную точку B, отличную от A.

Через точку B и прямую a мы можем провести плоскость  . По первой теореме.

Так как две точки A и B прямой b  принадлежат плоскости  , то плоскость   проходит через прямую b.

Получается, плоскость   проходит через обе прямые.

  – искомая плоскость.

2.Теперь докажем, что такая плоскость единственная.

Допустим противное: существует другая  плоскость, например плоскость β, которая проходит через прямые a и b.

Тогда плоскость β должна проходить  и через точку B.

Через прямую a и  точку B  проходит единственная плоскость (по теорема 1). Поэтому плоскость β совпадает с плоскостью α.

Противоречие. Мы предполагали, что плоскости разные.

Значит, исходное предположение неверное. Плоскость  – единственная.

Теорема доказана.

Перейдем к решению задач.

Мы можем опираться, пока, на три аксиомы, две теоремы, которые доказали и все факты планиметрии.