Урок «Призма»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем знакомство с многогранниками.

Многогранник – это  поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая геометрическое тело.

Представим два равных между собой многоугольника, которые расположены в параллельных плоскостях и соединим соответственные вершины этих многоугольников. Видно, что получившиеся отрезки параллельны, а каждый из образовавшихся четырёхугольников является параллелограммом, так как имеют попарно параллельные противоположные стороны.

Такой многогранник, составленный из параллелограммов и двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях называется призмой.

Равные многоугольники называют основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями.

Отрезки, соединяющие соответственные вершины это боковые рёбра.

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной.

Высотой призмы называется перпендикуляр, проведённый из любой точки основания к плоскости другого.

В случае, если боковые рёбра не перпендикулярны основаниям, то призма называется наклонной. В противоположном случае-прямой, в такой призме боковые рёбра будут одновременно и высотами.

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами.

Если в основании призмы лежит правильный многоугольник(стороны и углы равны), то призма называется правильной, в противном случае- неправильной.

Сумма площадей всех граней призмы называется площадью полной поверхности.

Сумма площадей  только боковых граней призмы называется площадью боковой поверхности.

Несложно выяснить, что площадь полной поверхности равна сумме площадей боковой поверхности и площади оснований.

Боковыми гранями прямой призмы являются прямоугольники, поэтому площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих прямоугольников.

Известно, что площадь прямоугольника равна произведению стороны а на высоту h.

Высоты  h прямоугольников являются и высотами h призмы.

Вынесем общий множитель h за скобку, в скобке осталась сумма сторон а основания призмы.

Данная  сумма это есть периметр основания.

Таким образом мы доказали теорему о том, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты призмы на периметр её основания.

Задача 1.

В основания прямой призмы АВСА1 В1 С1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.Через сторону ВС и вершину А1 проведена плоскость так, что угол ВА1 С равен 30 градусов, А1В равна 10, АС равна 5.Найти площадь боковой поверхности призмы.

Прежде чем приступить к решению задачи необходимо провести её краткий анализ:

площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты призмы на периметр её основания,а это стороны: АС, ВС, АВ и высота АА1.Из условия известна длина только отрезка АС, поэтому прежде чем приступить к решению задачи, необходимо определить недостающие данные, а это ВС, АВ и АА1.

Решение:

1.По теореме о трёх перпендикулярах отрезок А1С перпендикулярен ВС, таким образом треугольник А1ВС прямоугольный.

2.Известно, что катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, значит катет ВС равен половине гипотенузы А1В, то есть равен 5.

3.Теперь нам известна сторона ВС равная 5, АС равна 5 по условию и мы можем найти АВ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС:

АВ=√ВС2+АС2=√52+52=√50=5√2

4.Из прямоугольного треугольника А1 АВ так же по теореме Пифагора находим АА1:

АА1=√А1В2-АВ2=√100-50=5√2

5.Таким образом, все неизвестные величины найдены и мы можем приступить к нахождению площади боковой поверхности призмы

Sбок=АА1(АВ+ВС+АС)=5√2(5√2+5+5)=50+50√2

Общий множитель 50 можно вынести за скобку

Отсюда Sбок=50(1+√2)

Ответ: Sбок=50(1+√2)

Задача 2.

Диагональ правильной прямоугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найти площадь сечения, проходящего через противолежащую сторону верхнего основания и через сторону нижнего основания , если известно, что диагональ основания равна 4√2 см.

Решение:

1.Так как отрезок АВ перпендикулярен АД и  В1В перпендикулярен АД, то по теореме о трёх перпендикулярах АВ1 перпендикулярен АД. Вместе с тем отрезок  В1С1 параллелен АД, значит АВ1 перпендикулярен В1 С1, значит искомое сечение AB1C1D является прямоугольником.

Для того, что бы найти площадь сечения достаточно найти стороны АД и ДС1.

2.Пусть диагональ призмы d.Данный многогранник является прямоугольным параллелепипедом, диагонали которого равны, поэтому d=В1Д=АС1.

3.В основании лежит правильный четырёхугольник- квадрат, диагонали которого являются биссектрисами углов, значит угол АВД равен 45 градусов.

Из прямоугольного треугольника АВД по определению синуса(отношение противолежащего катета к гипотенузе) находим АВ как произведение ВД на синус 45 градусов.

АВ=ВД*sin 450=4√2* =4см, ABCD-квадрат, поэтому АВ=АД.

4.Из прямоугольного треугольника ВВ1Д  находим ВВ1 с помощью определения тангенса(отношение противолежащего катета к прилежащему):

ВВ1 =tg 600*BD=√3*4√2=4√6 cм

5.Призма правильная, поэтому все её грани равны, соответственно диагонали граней так же равны между собой, поэтому ВД=ДС1. Из прямоугольного треугольника ДСС1 по теореме Пифагора найдем ДС1=√ДС2+ДС12=√42+(4√6)2=√16+16*6=√16(1+6)

=4√7см

6.Таким образом неизвестные отрезки АД и ДС1 известны, мы можем найти площадь сечения:

SAB1C1D=АД*ДС1=4*4√7=16√7 см

Ответ: SAB1C1D=16√7 см