Урок «Признак перпендикулярности двух плоскостей»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.

В реальности мы встречаемся с предметами, которые  имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.

При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен   (фи), тогда второй равен (1800 –  ), третий  , четвертый (1800- ).

Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 900.

Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 900.

Введем определение перпендикулярных плоскостей:

Две плоскости  называются перпендикулярными, если двугранный угол  между ними равен 90°.

Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны

Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.

Стена и потолок.

Боковая стенка и крышка стола.

Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:

 ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей  проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Докажем этот признак.

По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,

Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.

Доказательство:

1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ   АР, так как АМ   β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости  β.

2) Проведем в плоскости β прямую AТ перпендикулярную AР.

Получим угол ТAМ – линейный угол двугранного угла. Но угол ТAМ = 90°, так как МА   β. Значит, α   β.

Что и требовалось доказать.

Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:

 СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

То есть: если α∩β=с и γ с, то γ α и γ β.

Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:

Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили  линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.

Задача.

Дано: ΔАВС,  С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.

Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение:

1) Построим ВК   α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.

2) ВС   АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС   АС. Следовательно,  ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть   ВСК = 60°.

3) Из ΔВСА по теореме Пифагора: 

 Из ΔВКС:  

Ответ ВК равно 6 корней из трех см

Практическое использование (прикладной характер) перпендикулярности двух плоскостей.