Урок «Скрещивающиеся прямые»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Вам уже известны два случая взаимного расположения прямых в пространстве:

1.пересекающиеся прямые;

2.параллельные прямые.

Вспомним их определения.

Определение. Прямые в пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку

Определение. Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Общим для этих определений является то, что прямые лежат в одной плоскости.

В пространстве так бывает не всегда. Мы можем иметь дело с несколькими плоскостями, и не всякие две прямые будут лежать в одной плоскости.

Например, ребра куба      ABCDA1B1C1D1

AB и A1D1   лежат в разных плоскостях.  

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если не существует такой плоскости, которая б проходила через эти прямые.  Из определения понятно, что данные прямые не пересекаются и не параллельны.

Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема (признак скрещивающихся прямых).

Если одна из прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей этой прямой,  то эти прямые скрещивающиеся.

Дано.

 Прямая AB лежит в плоскости α. Прямая CD пересекает плоскость α  в точке С, не принадлежащей прямой АВ.

Доказать, что прямые  AB и DC – скрещиваются.

Доказательство

Доказательство будем вести методом от противного.

Допустим,  АВ и CD лежат в одной  плоскости, обозначим ее β.

Тогда  плоскость β  проходит через прямую AB  и точку  C.

По следствию из аксиом, через  прямую AB и не лежащую на ней точку C можно провести плоскость,  и притом только одну.

Но у нас уже есть такая плоскость - плоскость α. 

Следовательно,  плоскости β и α совпадают.

Но это невозможно,  т.к. прямая CD пересекает α, а не лежит в ней.

Мы пришли к противоречию, следовательно,  наше предположение неверно.  AB и CD лежат в

разных плоскостях и являются скрещивающимися.

Теорема доказана.

 Итак, возможны три способа взаимного расположения прямых в пространстве:

А) Прямые пересекаются, т.е имеют только одну общую точку.

 Б) Прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

В) Прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости.

Рассмотрим еще одну теорему о скрещивающихся прямых

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Дано:

АВ  и CD – скрещивающиеся прямые

Доказать, что существует плоскость  α такая,  что  прямая AB лежит в плоскости α, а прямая CD параллельна плоскости α.

Доказательство

Докажем существование такой плоскости.

1) Через точку A проведем прямую  AE параллельно CD.

2) Так как прямые  AE и  АВ  пересекаются, то через них можно провести плоскость. Обозначим ее через   α.

3) Так как  прямая CD параллельна  AE, а AE лежит в плоскости  α,  то  прямая CD ∥ плоскости α (по теореме о перпендикулярности прямой и плоскости).

Плоскость α - искомая плоскость.

Докажем, что плоскость α – единственная, удовлетворяющая условию.

Любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, будет пересекать AE, а значит  и параллельную ей прямую CD. Т.е., любая другая плоскость, проходящая через AB пересекается с прямой  CD, поэтому не  является ей параллельной.

Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.