Урок «Свойства параллельных плоскостей»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Рассмотрим плоскость  и параллельную ей плоскость бэта  и плоскость   , которая пересекает плоскости   по прямой  а и плоскость   по прямым   b

Докажем, что прямые a и b параллельны.

Предположим , что прямые пересекаются, значит они имеют общую точку, которая является общей точкой плоскостей   и  , что невозможно, так как плоскости по условию параллельны. Значит наше предположение неверно и прямые параллельны.

Рассмотрим второе свойство параллельных плоскостей. Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рассмотрим плоскость   и параллельную ей плоскость  , а также параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости.

Докажем, что отрезки АВ и СD, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

 Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ.

γ пересекает плоскость α по прямой АС, а плоскость β  по прямой BD. Так как плоскости α и β по условию паралллеьны, то по доказанному свойству 1 прямые АС и BD паралллеьны.

Рассмотрим четырехугольник ABDC. В нём сторона АС паралельна стороне BD, сторона AB паралельна стороне CD, а четыреугольник у которого строны попарно паралллеьны называется параллелограммом.

По свойству паралллелграмма противоположные стороны AB и  CD равны. Что и требовалось доказать.

 Рассмотрим применение изученных свойств при решении задач.

Дан угол ВАС, плоскость α пересекает стороны угла в точках А1 и B1 соответственно, параллельная ей плоскость β пересекает стороны угла ВАС в точках А2 и В2 соответственно. Известно, что отрезок А1А2 равен 12 сантиметрам и  в два раза больше отрезка АА1. Отрезок АВ1 равен 5 см.

Найти отрезки АА2 и АВ2

Так как плоскости    параллельны по условию и плоскость треугольника АВС, образованная углом ВАС, пересекает их по прямым   и  , то по свойству параллельных плоскостей прямая  .

Рассмотрим плоскость  ВАС на отдельном чертеже.

Треугольник А1АВ1 подобен треугольнику А2АВ2 по двум углам. Значит стороны этих треугольников пропорциональны : сторона А1А относится к стороне А2А  также как сторона В1А к стороне В2А.

Известно , что АА1 составляет половину стороны А2А1, значит она равна 6 см.

Сторона АА2 равна сумме длин отрезков АА1 и А1А2 и равен 18 сантиметрам.

Подставим найденные значения в пропорцию. Тогда отрезок

Получим ответ: отрезок АА2 равен 18 см, а отрезок АВ2 равен 15 см.

Рассмотренные свойства параллельных плоскостей намного  упрощают решение многих геометрических задач.