Урок «Трёхгранный угол»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Сегодня мы познакомимся с новой геометрической фигурой -  трехгранным углом.

Для изучения сегодняшней темы нам необходимо вспомнить:

1) неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

2) теорему о соотношении сторон и углов треугольника: напротив большей стороны лежит больший угол.

3) свойство равнобедренного треугольника:

в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианной и высотой;

3) первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу

между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение: Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя углами с общей вершиной, не лежащих в одной плоскости и имеющими попарно общие стороны.

Общая вершина этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами, углы, заключенные между парами лучей являются плоскими углами и называются гранями трехгранного угла. Грани трехгранного угла образуют двугранные углы.

Докажет свойство плоских углов трехгранного угла:

Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Доказательство

Рассмотрим трехгранный угол OEFG, предположим, что  EOF   EOG   GOF

Докажем случай  EOF< EOG+ GOF, остальные  два доказываются аналогично.

Существуют два случая

Первый: если угол EOF равен углу EOG, то неравенство  EOF< EOG+ GOF принимает вид  EOF< EOF+ GOF,  следовательно оно доказано.

Второй, когда  EOF > EOG.

Поступим следующим образом на EF выберем точку S, где угол EOG равен углу EOS, а поскольку  EOG < EOF, то точка S, находиться между точками E и F.

Следующее, что мы сделаем, построим на луче OG точку R, где OS равно OR. Тогда получаем, что треугольники EOR и EOS равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников получаем, что ES равно ER.

В основании получаем треугольник ERF из неравенства EF< ER+ RF, где EF= ES+SF и ES =ER, следует, что SF < RF.

Развернем двугранный угол EOFR в одну плоскость ROFS и построим биссектрису (ON) угла SOR, равнобедренного треугольника OSR где OS равно OR (по построению), тогда получаем что биссектриса угла SOR является медианной и высотой, как биссектриса, проведенная к основанию, т.е. SN равно NR и ON перпендикулярно SR.

Из выше доказанного следует, что ON пересекает большую из сторон треугольника RDF сторону ER

Тогда получаем что угол SOF меньше угла ROF, т.к. ROF равен сумме углов RON и NOF.

Из всего доказанного, следует, что

угол EOF равен сумме углов EOS и SOF, где EOS равен EOG и все это меньше суммы углов EOR и ROF, т.е. EOG и GOF.

что и требовалось доказать.

Решим задачу

Докажите, что сумма плоских углов трёхгранного угла меньше

360º.

Решение. Пусть TMNL – трёхгранный угол с вершиной T.

Точки M, N, L принадлежат ребрам трехгранного угла.

Построим треугольник MNL, получим еще три трехгранных угла. Применим к ним свойство плоских углов трехгранного угла, получим

Неравенства при вершине M ( TML+ TMN> LMN),

при вершине L

( TLM+ TLN > MLN),

при вершине N

(TNL+ TNM > LNM).

Далее мы складываем все неравенства, по частям, получаем одно неравенство, где в правой части, находятся углы треугольника MNL, а в левой сумма пар углов треугольников построенных на плоских углах трехгранного угла TMNL.

Используя свойство неравенства отнимает его обе части от положительного числа 540º, поменяв его знак на противоположный, в левой части число 540º представляем в виде суммы трех числе 180º и сгруппировав их,

Получаем неравенство, где в левой части сумма плоских углов трехгранного угла TMNL

Применив теорему о сумме углов треугольника, получаем неравенство

 MТL+ MTN+ LTN<360º

что и требовалось доказать.