Урок «Углы с сонаправленными сторонами»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Углы с сонаправленными сторонами.

Для изучения сегодняшней темы нам необходимо вспомнить

Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм

Любая прямая a, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая a называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Это одна из аксиом планиметрии.

Два луча OA и O1A1 в пространстве называются одинаково направленными (сонаправленными), если один из их содержит другой или они параллельны  и лежат в одной полуплоскости с границей OO1.

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

По условию теоремы нам даны углы АОВ и А1О1В1 и известно что их стороны соответственно сонаправлены т.е. ОА и О1А1, ОВ и О1В1 – сонаправленные лучи

Доказать что данные углы равны

При доказательстве  ограничимся случая, когда углы лежат в разных плоскостях.

1.Стороны углов сонаправлены, а значит параллельны. Проведем через них плоскости  и   как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки O1A1 и O1B1 равные соответственно ОA  и OB.

2. В плоскости    рассмотрим четырехугольник OAA1O1.

Так как  противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника  равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник  – параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны  AA1  и OO1

3. В плоскости  , аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм,  поэтому равны и параллельны стороны  ВВ1  и OO1

4. Если две отрезка  AA1  и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.

По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1

5. из выше построенного и доказанного АВ=А1В1,  ОA =O1A1 и OB =O1B1 следуем что треугольники AOB и A1O1B1. равны по трем сторонам, и поэтому  О= О1

Теорема доказана.