Урок «Угол между прямой и плоскостью»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Сегодня мы введем несколько новых понятий, определим , что называется «углом между прямой и плоскостью», научимся делать рисунок пространственной модели наклонной и плоскости, решим некоторые стереометрические задачи, приведем пример из  открытого банка заданий ФИПИ по теме.

Ранее мы уже определили понятия перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости; основания перпендикуляра; наклонной и ее проекции.  Построим рисунок на плоскости, выделим знакомые элементы. Изобразим плоскость α в виде замкнутой кривой линии. Такой рисунок плоскости, как и любой другой, вполне допустим, так как плоскость не имеет границ.

Проведем наклонную a. На рисунке она изображена в виде прямой, пересекающей плоскость в точке А. Условно закрытая плоскостью часть наклонной изображена пунктирной линией.  Из любой точки М наклонной проведем перпендикуляр к плоскости α. Основание перпендикуляра обозначим точкой В. Назовем точку В проекцией точки М на плоскость  . Определим вновь введенное понятие: «Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости».

Соединим точку А (точку пересечения прямой и плоскости)  и точку В (проекцию точки М на плоскость), Отрезок АВ является проекцией наклонной АМ на плоскость А, это мы определили ранее.

Небольшая иллюстрация проекции прямой на плоскость при помощи луча дает понимание того, что проекцией прямой на плоскость является прямая. Но утверждать это можно только с помощью доказательства.

Теорема: Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Используем имеющийся рисунок.

Проведем через точки М, А и В плоскость β. Получим прямую а1 пересечения плоскостей. Докажем, что эта прямая является проекцией прямой а на плоскость α.

Возьмем произвольную точку М1 на прямой а. Проведем прямую М1Р параллельно МВ.

Получим некоторую точку Н пересечения прямой а1 и прямой М1Р и точку Н1 пересечения прямой М1Р и плоскости α (проекции точки М1 на плоскость α).

Докажем, что точки Н и Н1 совпадают.

Действительно, отрезок М1Н перпендикулярен прямой а1 (это следует из того, что он параллелен МВ, а отрезок МВ перпендикулярен прямой а1)

Отрезок М1Н1 перпендикулярен прямой а1 (это следует из того, что отрезок М1Н1 перпендикулярен плоскости α, следовательно перпендикулярен любой прямой в плоскости в том числе прямой а1. Из одной точки можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой, отсюда следует, что точки Н и Н1 совпадают, а проекция точки М1 лежит на прямой а1.

Представим прямую а как множество точек. Проекции этих точек принадлежат прямой а1. Из этого следует, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой является прямая.

 Используя известные математические термины, составим определение:

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую  и не перпендикулярной к ней, называется  угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Если прямая пересекает плоскость перпендикулярно, ее проекцией будет точка пересечения этой прямой и плоскости. В таком случае величина угла между прямой и плоскостью считается равной 900.

Некоторые полезные выводы:

- Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к плоскости, является прямая;

- Проекцией отрезка на плоскость, не перпендикулярного к плоскости, является отрезок, концами которого являются проекции концов отрезка;

- Проекцией прямой и отрезка на плоскость, перпендикулярных к плоскости является точка;

- Угол между наклонной и плоскостью (между наклонной и ее проекцией) является наименьшим из всех углов, образованных этой наклонной с любой прямой принадлежащей плоскости;

- Угол между перпендикуляром к плоскости и самой плоскостью Равен 900.

-Если данная прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В таком случае угол между параллельными прямой и плоскостью считают равным 0.

Чтобы построить проекцию какой-нибудь фигуры F на плоскость, надо построить проекции всех ее точек на данную плоскость.

Задача 1: Дан куб ABCDA1B1C1D1. Сторона АВ равна 1дм. Найдите величину угла между диагональю куба B1D и плоскостью ABC.

Решение:

Отрезок B1B – перпендикулярен плоскости ABC. Соединим основание перпендикуляра точку В и точку пересечения прямой B1D с плоскостью АВС, получим отрезок BD, проекцию наклонной B1D.

Найти угол BDB1.

Треугольник BB1D прямоугольный.

Найдем тангенс угла BDB1. Он равен отношению B1B  к BD. Все ребра куба равны, значит B1B=1, а BD2=В1В2+BD2= 12+12 (по теореме Пифагора)  BD= .

tgBDB1= . получили табличное значение тангенса угла,  тогда, угол BDB1 равен 450.

В ЕГЭ эта тема представлена задачами подобного содержания: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD.

Решение: Отрезок OD – проекция наклонной SD на плоскость АВС равна половине отрезка ВD. Треугольник SOD прямоугольный. Применим теорему Пифагора: OD2+352=372;

OD2=372-352;

OD2=1369-1225=144;

OD=12

12х2=24 

 Ответ: 24