Урок «Умножение вектора на число»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор  b, длина которого равна модуль |k| умноженный на модуль |а|, причем векторы а и b сонаправлены, если  k положительно и  противоположно направлены, если k отрицательно.

Произведение вектора а на число k обозначается так: ka.

Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Рассмотрим основные свойства умножения вектора на число. Для любых векторов а,b и любых чисел k и l справедливы равенства:

Первое. Произведение k и l, умноженное на вектор а, равно произведению k на вектор lа. Это свойство известно как сочетательный закон. На рисунке, на примере показано это свойство.

Второе свойство, первый распределительный закон. Произведение числа k на сумму векторов а и b  равно сумме произведений этого числа на векторы а и b.

На рисунке, на примере показано это свойство.

Третье свойство, второй распределительный закон. Произведение суммы чисел k и  l на вектор равно сумме произведений чисел k и l на вектор а.

На рисунке, на примере показано это свойство.

Стоит отметить, что произведение числа -1 на любой вектор дает вектор противоположный данному.

Согласно определению произведения вектора на число, их длины равны, а направления противоположны. При условии, что вектор а ненулевой.

Для векторов в пространстве, как и в планиметрии, выполняется следующее условие:

Если векторы a и b коллинеарны (то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и вектор а ненулевой, то существует число k такое что вектор b  равен произведению числа k на вектор а.

Решим задачу №347 (а)

Необходимо упростить выражение.

Решение. Первый распределительный закон позволяет нам раскрыть скобки. А переместительное свойство сложения векторов – привести подобные.