УРОК 3 "Приведение дробей к общему знаменателю"

Бывают случаи (и довольно часто), когда приходится делать так, чтобы у двух или более разных дробей знаменатели стали одинаковыми. Это называется "приведение дробей к общему знаменателю". И выполнять эту операцию приходится тогда, когда мы складываем или вычитаем дроби (но об этом в отдельном уроке), а в этом уроке мы поговорим о сравнении дробей, при котором также необходимо приводить их к общему знаменателю.

И здесь нам также поможет основное свойство дроби. Только сейчас нам уже придется УМНОЖАТЬ числитель и знаменатель на одно и то же число.

Итак, сравним дроби "пять шестых" и "четырнадцать восемнадцатых". Сразу сложно сказать, какая из этих дробей больше. Но с помощью основного свойства дроби мы можем сделать так, чтобы у первой дроби знаменатель стал равен также "восемнадцать". Как из шести сделать восемнадцать? Умножить шесть на три. Но тогда, чтобы дробь не изменилась, умножаем и пять на три. Получаем дробь "пятнадцать восемнадцатых", равную дроби "пять шестых".

Теперь вы можете сказать какая из дробей больше "пятнадцать восемнадцатых" или "четырнадцать восемнадцатых"? Вспоминаем апельсины. Если мы два одинаковых апельсина разрезали на восемнадцать равных долек каждый и Ване дали пятнадцать долек, а Коле - четырнадцать, то кто получил больше? Конечно же Ваня. То есть "пятнадцать восемнадцатых" больше, чем "четырнадцать восемнадцатых", а значит и "пять шестых" больше, чем "четырнадцать восемнадцатых".

Получается, что если у дробей знаменатели одинаковые, а числители разные, то та дробь больше, у которой числитель больше.

Сравним еще такие дроби: "три четырнадцатых" и "пять двадцать первых". Здесь уже не так просто из четырнадцати сделать двадцать один. В таких случаях, когда один из знаменателей нельзя легко получить путем умножения другого знаменателя на какое-то число, поступают так: умножают ОБА знаменателя на какое-то число каждый, чтобы получить третье - общее число. В нашем случае, например, четырнадцать можно умножить на три, а двадцать один на два. И в обоих случаях мы получим 42. Это и будет общий знаменатель данных двух дробей. Числитель первой дроби мы тогда доумножаем на три, а числитель второй дроби - на два. Получаем дроби "девять сорок вторых" и "десять сорок вторых". Очевидно, что "девять сорок вторых" меньше, чем "десять сорок вторых". Значит и "три четырнадцатых" меньше, чем "пять двадцать первых".

Но как узнать, на какое число необходимо доумножать знаменатель первой дроби, а на какое знаменатель второй дроби, чтобы получить общий знаменатель? Легче всего поступать так: выбрать больший знаменатель. Умножить его на 2 и посмотреть, делится ли полученное число нацело на другой знаменатель. Если делится - это и будет наименьший общий знаменатель. Если нет, то умножаем больший знаменатель на 3 и снова проверяем, делится ли полученное число нацело на другой знаменатель. И так далее... Сразу пример: "две тридцать вторых" и "шесть двадцать четвертых". Больший знаменатель - "тридцать два". Умножаем его на два. Получаем шестьдесят четыре. Проверяем, делится ли шестьдесят четыре нацело на другой знаменатель - двадцать четыре? Двадцать четыре на два - это сорок восемь... мало... двадцать четыре на три - это семьдесят два... уже много. Значит шестьдесят четыре нацело на двадцать четыре не делится. Идем дальше: умножаем больший знаменатель на 3. Тридцать два умножить на три равно девяноста шесть. Девяноста шесть делится на другой знаменатель - двадцать четыре? Да, получится ровно четыре. Таким образом мы нашли самое маленькое число, которое делится нацело на оба знаменателя. Это и будет наш общий знаменатель.

Но этот простой способ подходит не для всех дробей. Бывают случаи, когда мы умножаем больший знаменатель на 2, 3, 4, 5, а всё не находим общий знаменатель. Нет, он конечно, рано или поздно найдётся, но, когда видим, что скорее поздно, чем рано, то лучше воспользоваться другим - универсальным способом, подходящим для абсолютно всех дробей. Но этот способ чуть-чуть длиннее.

Итак, вот, например, даны дроби: "одна шестьдесят девятая" и "две семьдесят пятых". Приведем их к наименьшему общему знаменателю. Первым шагом разложим знаменатели этих дробей на простые множители. Если вы забыли как это делается, сейчас вспомним.

Итак, записываем отдельно шестьдесят девять и семьдесят пять. Проводим две черты правее этих чисел. Теперь смотрим, какое самое маленькое число, на которое делится 69 (начинаем подбирать, конечно же, начиная с двух)? На два 69 не делится, а вот на три делится. Пишем - три. 69 делить на 3 получится 23. На какое самое маленькое число делится 23? Ну вообще 23 - это простое число и оно делится только само на себя и на единицу, но единицу мы не берем. 23 делить на 23 получим один. Вот когда здесь оказалась единица, значит процесс разложения на простые множители закончен. То есть получили, что 69=3*23. Аналогично: 75 на 2 не делится, а вот на 3 делится. Получим 25. Делим на 5. Получаем 5. Делим еще раз на 5 и получаем один, значит закончили. То есть 75=3*5*5. Теперь смотрим, какие простые множители в обоих разложениях одинаковые? Только одна тройка общая. Теперь выписываем все разные множители: двадцать три, пять и пять. И дописываем общий множитель: три. И все это перемножаем: получаем 1725. Это и есть самый маленький общий знаменатель для наших дробей. Числитель и знаменатель первой дроби нужно будет умножить на вот эти числа: пять и пять, а второй - на вот это: двадцать три. Получим "двадцать пять тысяча семьсот двадцать пятых" и "сорок шесть тысяча семьсот двадцать пятых".

Вот и все, что вам нужно знать для того, чтобы успешно сравнивать любые обыкновенные дроби. Обращаю ваше внимание, что здесь, как и при работе с любым видеоуроком, действует правило: не понял - посмотри еще раз, до тех пор, пока вопросов по данной теме не останется совсем.