Документы в архиве:
Название документа Олимпиада 9 класс.docx
I (ШКОЛЬНЫЙ) ЭТАП
ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
2013-2014 учебный год
ЗАДАНИЯ для 9 класса
Задача № 1 :
В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.
Задача № 2 :
Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?
Задача № 3 :
Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?
Задача № 4 :
Решите уравнение : x2 + 2005x – 2006 = 0.
Задача № 5 :
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Решение задач :
Задача № 1 :
Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ?АСМ - равносторонний. Но это значит, что ?АОD и ?ВОС - тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ?АОВ = ?СОD, откуда имеем, что AB = CD.
Задача № 2 :
Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.
Задача № 3 :
Ответ: имеет смысл идти.
Пусть мальчик пошел к следующей остановке и в какой-то момент заметил автобус. Скорость автобуса в четыре раза больше скорости мальчика, поэтому за одно и то же время автобус проезжает расстояние в четыре раза больше. Пусть мальчик пробежит х км, тогда автобус проедет 4х км. В случае, если они двигаются навстречу друг другу, до встречи с автобусом мальчик пробежит 2/5 км. Это значит, что, отойдя от остановки не более, чем на 2/5 км, мальчик сможет успеть на автобус, побежав назад.
В случае, если автобус догоняет мальчика, мальчик успеет пробежать 2/3 км до момента, когда автобус его догонит.
Это означает, что он сможет успеть на автобус, если до следующей остановки осталось не более 2/3 км, то есть, если он успел пройти не менее 1/3 км до момента, когда заметил автобус. Так как, 1/3 < 2/5 , то у мальчика всегда будет возможность успеть на автобус и имеет смысл идти.
Задача № 4 :
Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.
Задача № 5 :
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
Общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.
Каждое задание оценивается из 7 баллов. Максимальное количество баллов – 35.
Оценка | За что ставится |
7 | Верное решение |
6 | Верное решение с недочетами |
4-5 | Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки |
1-3 | Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении |
0 | Решение неверно или отсутствует |
Название документа олимпиада 7 класс 2013-2014.doc
I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников
по математике
2013/2014 учебный год
задания для 7 класса
На берегу глубокого озера круглой формы с диаметром 100 м вбит колышек А, в середине озера расположен остров, а в его центре колышек В. У человека, который не умеет плавать, есть веревка. Ее длина немного больше 100 м. Каким образом, используя веревку и колышки, он может перебраться на остров?
Какое слово зашифровано, если каждая буква заменена ее номером в алфавите? 222122111121.
Вычислите (
120 )
(
-
).
Пять школьников приехали из пяти населенных пунктов в Кирово-Чепецк на соревнования. «Откуда вы, ребята?» - спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них. Андреев: «Я приехал из Филиппово, а Григорьев живет в Каринке.» Борисов: «В Каринке живет Васильев. Я же прибыл из Просницы.» Васильев: «Я прибыл из Филиппово, а Борисов из Чувашей.» Григорьев: «Я прибыл из Каринки, а Данилов из Селезенихи.» Данилов: «Да. Я действительно из Селезенихи, Андреев же живет в Проснице.» Хозяева очень удивились противоречивости ответов гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?
В старинной легенде о четырех алмазах рассказывается о восточном властелине. Он был искусным игроком в шахматы и за всю жизнь проиграл лишь четыре раза. В честь мудрецов-победителей властелин приказал инкрустировать алмазами четыре поля доски. Но сын после смерти властелина решил отомстить мудрецам за их победы и потребовал разделить шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые части с одним алмазом в каждой. Мудрецы выполнили требование, а сможете ли вы?
Ответы и решения олимпиады 7 класса.
Привязать веревку к колышку А. Обойти озеро по берегу и второй конец веревки привязать к колышку А. Таким образом веревка натянется между колышками. Держась за веревку можно перебраться на остров.
В зашифрованном слове могут встретиться лишь буквы с номерами 2, 22, 21, 1, 11, 12. Это буквы: б, ф, у, а, й, к. Если первая буква б, то искомое слово начинается с двух букв б или с букв «бф». В русском языке таких слов нет. Значит, искомое слово начинается с буквы под номером 22, т.е. с буквы ф. Второй буквой не может быть буква под номером 2, т.к. нет слов, начинающихся на «фб». Значит, после буквы ф идет буква с номером 21, т.е. буква у. Далее возможны варианты: фуб…, фубб…, фубуа…, фубуй…, из которых дальнейшему исследованию подлежит только первый вариант. Поскольку за второй буквой ф не может следовать буква с номером 11, то за ней будет следовать буква с номером 1, т.е. буква а (фуфа…). Дальше не представляет труда получить искомое слово – фуфайка.
Лучше записать пример дробью. Сведем к основанию 2 и 3. Числитель преобразуем: ×
+
×
×
×3×5=
×
×(1+5). Преобразуем знаменатель:
×
-
×
=
×
×(6-1). При сокращении дроби получаем
.
Пусть у Андреева первое утверждение верно, т.е. он из Филиппово. Тогда Григорьев живет не в Каринке. Поэтому второе утверждение Данилова – ложное, значит, он из Селезенихи. Тогда первое утверждение Григорьева – ложно. Так как Андреев из Филиппово, то первое утверждение Васильева ложно, поэтому Борисов – из Чувашей. Так как Григорьев не из Каринки, то остается, что он из Просницы, а Васильев из Каринки. Рассмотрим второй возможный вариант. Пусть у Андреева второе утверждение – истинное, тогда Григорьев приехал из Каринки. Значит, Данилов приехал не из Селезенихи, а Андреев не из Филиппово. Тогда у Борисова первое утверждение ложное (в Каринке живет Григорьев), значит, Борисов прибыл из Просницы. Поэтому Андреев не из Просницы и получается, что Данилов из Селезенихи. Получили противоречие: Данилов из Селезенихи и не из Селезенихи. Значит, второй вариант невозможен. Ответ: Андреев из Филиппово, Борисов из Чувашей, Васильев из Каринки, Григорьев из Просницы, Данилов из Селезенихи.
Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий
Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов, максимальное количество баллов-35.
Оценка | За что ставится |
7 | Верное решение |
6 | Верное решение с недочетами |
4 – 5 | Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки |
1 – 3 | Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении |
0 | Решение неверно или отсутствует |
Олимпиаду подготовили:
Ямшанова О.Г., Катаева Н.А.
– КОГОАУ «Гимназия №1 г.К-Чепецка
Название документа олимпиада 6 класс 2013-2014.doc
I (школьный) этап
городской олимпиады школьников по математике
2013/2014 учебный год
задания для 6 класса
Вычислите:
Два друга Вася и Петя, немного поссорившись, пошли с равными скоростями в разные стороны. Через 5 минут Вася решил помириться и стал догонять Петю, увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдет минут, прежде чем он догонит Петю?
Одно четырехзначное число составлено из последовательных цифр, расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке убывания, третье четырехзначное число также составлено из этих четырех цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12300?
В рисе содержится 75% крахмала, а в ячмене – 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось бы столько крахмала, сколько его содержится в 9 кг риса?
На рисунке можно увидеть треугольники и квадраты, причем квадратов меньше, чем треугольников. На сколько?
Решение олимпиады 6 класс.
Ответ: 0
Если х м/мин – первоначальная скорость ребят, то через 5 мин между ними будет 10х метров. Когда Вася будет догонять Петю, то скорость их сближения будет равна 3х-х=2х м/мин. Тогда расстояние между ними пропадет через 10х:2х=5 мин.
Ответ: 5 мин
Если одно из этих чисел равно 1234, то второе – 4321. Тогда третье число равно 12300-(1234+4321)=6745.
Этот вариант не подходит, так как третье число состоит из других цифр.
Если первое число 2345, то второе – 5432, третье 12300-(2345+5432)=4523.
В случае, когда первое число 3456, третье будет 12300-(3456+6543)=2301 – не подходит.
В остальных же случаях третье число будет еще меньше, что не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 2345, 5432, 4523.
1) 90,75=6,75(кг) – содержится крахмала в 9 кг риса.
2) 6,75:0,6=11,25(кг) – надо взять ячмени.
Ответ: 11,25 кг.
Сначала подсчитаем число квадратов. Квадраты есть двух размеров – из одной клетки и из четырех. Всего на рисунке 6+1-7 квадратов.
Треугольники четырех типов (с величиной стороны от 1 до 4 клеток). Общее число треугольников равно 4+3+2+1=10.
Квадратов на 3 меньше, чем треугольников.
Ответ: на 3 меньше.
Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий
Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов, максимальное количество баллов-35.
Оценка | За что ставится |
7 | Верное решение |
6 | Верное решение с недочетами |
4 – 5 | Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки |
1 – 3 | Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении |
0 | Решение неверно или отсутствует |
Название документа олимпиада 8 класс 2013-2014.doc
I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике
2013/2014 учебный год
задания для 8 класса
Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?
В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?
Найти значение выражения 2х4 + Зх2• у2 + у2 + у4,
если известно, что х2 + у2=1.
5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB
I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике
2013/2014 учебный год
задания для 8 класса
Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?
В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?
Найти значение выражения 2х4 + Зх2• у2 + у2 + у4,
если известно, что х2 + у2=1.
5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB
I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике
2013/2014 учебный год
задания для 8 класса
Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?
В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?
Найти значение выражения 2х4 + Зх2• у2 + у2 + у4,
если известно, что х2 + у2=1.
5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB
Ответы и решения.
1. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?
Ответ: 110º
Решение: В 12.00 стрелки сходятся вместе. После этого за 20 минут минутная стрелка проходит 1/3 часть окружности, то есть описывает угол в 120º. Часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (так как описывает круг за 12 часов). Поэтому она за 20 минут опишет угол в 120º : 12=10º и будет образовывать с минутной стрелкой угол в
120º -10º=110º
2. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?
Ответ:
3. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?
Ответ: одна работа.
Решение: По условию задачи число учеников должно быть кратно 7,3,2, а такому условию удовлетворяет лишь число 42, тогда неудовлетворительных работ было 42-6-14-21=1
4.Найти значение выражения 2х4 + Зх2• у2 + у2 + у4, если известно, что х2 + у2 = 1.
Ответ: 2.
Решение. 2х4 + Зх2 • у2 + у2 + у4 = (х4 + 2х2у2 + у4) + х4 + х2у2 4-у2 = (х2 + у2)2 + х2 • (х2 + у2) + у2 = I2 + х2•1 + у2 = 1 + 1 = 2
5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB
Ответ:∠ АМВ= ∠ АМD= 75˚
Решение. Т. к. ABCD – прямоугольник, то прямые BC|| AD по свойству. ∠АМВ и ∠МАD накрест лежащие, образованные параллельными прямыми BC || AD при секущей АМ, то ∠АМВ = ∠МАD . Из ∠АМВ = ∠АМD и ∠АМВ = ∠МАD следует ∠AMD = ∠MAD. Значит, треугольник ∆ AMD – равнобедренный по признаку. Тогда, AD = DM. Т. к. ABCD – прямоугольник, то AB =CD. По условию AD=2AB. Получаем в прямоугольном треугольнике ∆ CMD : MD = 2CD. Следовательно, ∠ CMD = 30˚ .
Т.к. ∠AMB+ ∠AMD+ ∠DMC = 180˚
и ∠ AMB = ∠AMD,
∠ CMD = 30˚ , то ∠AMB =
∠AMD = (180 − 30 ) ∶ 2 = 75
Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий
Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов,
максимальное количество баллов-35.
Оценка | За что ставится |
7 | Верное решение |
6 | Верное решение с недочетами |
4 – 5 | Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки |
1 – 3 | Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении |
0 | Решение неверно или отсутствует |
Название документа олимпиада 5 класс 2013-2014.docx
I (школьный) этап
городской олимпиады школьников
по математике
задания для 5 класса
Выразите числа 5, 26, 30 и 55, используя четыре цифры 5, знаки арифметических действий и скобки (например: 3 = (5+5+5):5 ).
Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найдите цену чашки и цену блюдца.
На школьной викторине участникам предложили 20 вопросов. За каждый правильный ответ ученику ставилось 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из учеников, если он ответил на все вопросы и набрал 86 очков?
4. Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось три четырёхугольника? (Если «да», то выполните рисунок.)
5. В трёх мешках находится крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует записи?
Ответы к олимпиаде по математике
5 класс.
Задача 1. Ответ: например 5 = (5-5)5+5
26=55+5:5
30=(5:5+5)5
55=55+5-5
Задача 2. Ответ: Цена чашки 13 рублей, цена блюдца 12 рублей.
Решение: одна чашка и одно блюдце вместе стоят 25 рублей, поэтому 4 чашки и 4 блюдца будут стоить 100 рублей. Так как по условию задачи 4 чашки 3 блюдца стоят 88 рублей, то одно блюдце стоит 12 рублей. Тогда одна чашка будет стоить (25-12) рублей = 13 рублей.
Задача 3. Ответ: 13
Решение: изобразим таблицу набранных очков соответственно при верных 20, 19, и т.д. вопросах:
Верных ответов | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 |
Набрано очков | 240 | 218 | 196 | 174 | 152 | 130 | 108 | 86 | 64 |
Из таблицы видно, что ученик ответил верно на 13 вопросов. Можно было заметить закономерность, что каждый раз число набранных очков уменьшается на 22.
Задача 4. Ответ: да, возможный вариант изображен на рисунке.
Задача 5. Ответ: в мешке с надписью «крупа» находиться сахар, с надписью «вермишель» - крупа, с надписью «крупа или сахар» - вермишель.
Решение: используем таблицу.
Содержимое мешка № мешка | вермишель | крупа | сахар |
1 | - | + | |
2 | - | + | |
3 | + | - | - |
Так как в первом мешке не крупа, то ставим в соответствующей клетке « -» . Аналогично, во второй строке ставим « -» - против вермишели. Так как в третьем мешке – не крупа и не сахар, то ставим «минусы» в столбцах с надписями «крупа» и «сахар». Тогда из таблицы получаем, что в третьем мешке – вермишель, во втором – крупа (крупы нет в 1 и 3 мешках), значит, сахар – в 1 мешке.
Дополнительные указания по проверке и оценке
Общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.
Оценка | За что ставится |
7 | Верное решение |
6 | Верное решение с недочетами |
4-5 | Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки |
1-3 | Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении |
0 | Решение неверно или отсутствует |
Задача 1. За каждый правильный ответ - 1 балл.
Задача 2. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.
Задача 3. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.
Задача 4. За правильный рисунок – 7 баллов.
Задача 5. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.
Максимальное количество баллов за олимпиаду – 32 балла
Название документа олимпиада 10 класс 2013-2014.docx
I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников
по математике
2013/2014 учебный год
задания для 10 класса.
М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
В клетки квадрата 3 х 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?
При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?
Дан выпуклый четырехугольник . Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причем X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.
Хорда удалена от центра окружности на расстояние h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.
Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2005-й член этой последовательности?
Решения
1. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
Ответ. Хватит.
Решение.
Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс .
Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.
Критерии оценки:
Количество баллов | За что ставятся |
4 | Верно составлено уравнение для решения задачи |
5 | Верно составлено уравнение и верно найдено х |
7 | Верное решение |
2.В клетки квадрата 3 х 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?
Ответ: 15
Решение:
Покажем, что n = 14 слишком мало. Среди чисел 1, 2, …, 14 только 2 делятся на 5 (5 и 10), поэтому их нельзя использовать (не во всех строках произведение будет делиться на 5). По тем же соображениям нельзя использовать числа 7 и 14. Тем более, нельзя использовать числа 11 и 13. Итак, 6 чисел уже отпадают. Остается всего 8 чисел, а их не хватит для заполнения клеток квадрата! На рисунке изображен квадрат с n = 15.
5 | 12 | 2 | ||||||||
3 | 10 | 4 | ||||||||
8 | 1 | 15 | ||||||||
Критерии оценки
3.При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение? Ответ: =0 Решение: 1) Учтём, что . Откуда . 2) Найдём сумму квадратов корней данного уравнения, используя теорему Виета( корни существуют, т.к. >0): |
3) Найдём наименьшее значение функции
,
Поскольку, , то наименьшее значение функции может принимать либо при =0 ( на промежутке она убывает), либо при =4 ( на промежутке она возрастает). Сравнив у(0)=4 и у(4)=12 получаем ответ.
Критерии оценки
Количество баллов | За что ставятся |
2 | Сумма квадратов корней найдена |
3 | Учтено, что |
7 | Найдено наименьшее значение |
4. Дан выпуклый четырехугольник . Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причем X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.
Решение: Обозначим через О – точку пересечения диагоналей четырехугольника. Так как точка X лежит на срединном перпендикуляре к отрезку BD, то треугольник BXD равнобедренный. Аналогично, треугольник AYC тоже равнобедренный. Тогда, , Так как прямые BX и CY параллельны, то как внутренние односторонние. Следовательно , откуда , что означает, что .
Критерии оценки
Количество баллов | За что ставятся |
1 | Найдены равнобедренные треугольники |
3 | Найдены равнобедренные треугольники и отмечено, что сумма |
7 | Доказано, что |
5. Хорда удалена от центра окружности на расстояние h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.
Решение:
Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности, дают выражения (2х – h)2 + x2 = R2, (2y + h)2 + y2 = R2. Отсюда получим x - y = h. Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна h.
Критерии оценки
Количество баллов | За что ставятся |
3 | Найдены расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности |
6 | Найдены расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности и разность х-у |
7 | Найдена разность длин сторон квадратов |
6. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д.Чему равен 2005-й член этой последовательности?
Решение: 2005 член последовательности равен наименьшему натуральному числу n, для которого . Последнее неравенство будет равносильно неравенству . Решением данного квадратного неравенства ( с учётом того, что n-натуральное будет . Значит последний член последовательности будет 63.
Критерии оценки
Количество баллов | За что ставятся |
5 | Найдено неравенство, позволяющее найти n |
6 | Найдено неравенство, позволяющее найти n, и решено неравенство |
7 | Найден последний член |
Максимальное количество баллов: 42 балла
Название документа олимпиада 11класс 2013-2014.doc
I (школьный) этап
всероссийской олимпиады школьников
по математике
2013/2014 учебный год
задания для 11 класса
Задача 1
Имеются два бикфордовых шнура. Каждый горит ровно минуту, но к сожалению, неравномерно. Как с их помощью отмерить 45 секунд?
Задача 2
Докажите, что если x – yz = y – zx = z – xy, то ( x – y)( y – z)( z – x) = 0
Задача 3
Могут ли две биссектрисы внешних углов треугольника пересечься на описанной около него окружности?
Задача 4
Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Желая разделить выручку поровну, они стали по очереди, начиная со старшего брата, брать из общей суммы по 10 рублей. После того, как старший брат в очередной раз взял 10 рублей, младшему осталось меньше 10 рублей. Чтобы обеспечить равный делёж, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценён нож?
Задача 5
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 4х4 (каждую клетку – одним цветом) так, чтобы в каждом квадрате 2х2 нашлась пара клеток одного цвета?
Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий
Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов
Оценка | За что ставится |
7 | Верное решение |
6 | Верное решение с недочетами |
4 – 5 | Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки |
1 – 3 | Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении |
0 | Решение неверно или отсутствует |
Решение
Задача 1
Зажжем одновременно один из шнуров с двух концов, а другой – с одного конца. Через 30 секунд первый шнур сгорит, а второму останется гореть ещё 30 секунд. В этот момент подожжем второй шнур с другого конца. Тогда его остаток сгорит за 15 секунд, а всего пройдет 45 секунд.
Задача 2
Заметим, что x – yz = y – zx x – y + yz – zx = 0
x – y – z (x – y) = 0
(x – y)(1 – z) = 0
x – y =0 или z = 1
Аналогично из равенства y – zx = z – xy,получим, что y – z = 0 или x = 1. Если выполнено хотя бы одно из равенств x – y =0 или y – z = 0, то все доказано. Если же нет, то тогда
x = z =1, откуда x – z =0, и тоже все доказано.
Задача 3
Ответ: Нет
Решение: Допустим, биссектрисы внешних углов при вершинах В и С пересекаются в точке D, лежащей на описанной окружности. Тогда сумма вписанных углов ВАС и BDC равна 180о. С другой стороны, CBD = (180o -
BCA)/ 2, откуда
BDC = 180o -
CBD -
BCD = (
CBA +
BCA)/ 2.
Получаем, что BAC +
BDC =
BAC + (
CBA +
BCA)/2 = 180o
Но из треугольника АВС получаем также, что ВАС +
СВА +
ВСА = 180о. Значит,
СВА +
ВСА = 0о, что невозможно.
Задача 4
Пусть в стаде было п овец. Тогда братья выручили п2 рублей. Из условия следует, что количество десятков в числе п2 нечетно. Представим число п в виде 10k + m, где k – количество десятков, а m – количество единиц в нём. Тогда п2 = 100k2 + 20km + m2. таким образом, нечетность количества десятков в числе п2 равносильна нечетности количества десятков в числе m2. Перебирая квадраты однозначных чисел, убеждаемся, что количество десятков нечетно только у 42 и 62. Число п2 в обоих случаях оканчивается на 6, то есть при дележе денег младший брат получил на 4 рубля меньше старшего. Чтобы в этой ситуации обеспечить равный делёж, старший брат должен передать младшему 2 рубля.
Задача 5
Ответ: В 11 цветов.
Решение: Допустим, клетки раскрашены в 12 цветов. Если в каждом из четырех угловых квадратов 2х2 будет по две одноцветных клетки, в центральном квадрате 2х2 все клетки будут разноцветными (иначе цветов будет меньше 12). Таким образом, в 12 цветов с соблюдением условий задачи клетки раскрасить нельзя. Тем более, нельзя раскрасить их больше, чем в 12 цветов. Как раскрасить клетки в 11 цветов, показано на рисунке (один из возможных вариантов)
4 | 5 | 1 | 6 |
2 | 2 | 1 | 7 |
11 | 1 | 3 | 3 |
10 | 1 | 9 | 8 |
Максимальное количество баллов: 35 баллов
Автор |
|
---|---|
Дата добавления | 18.10.2017 |
Раздел | Математика |
Подраздел | Другое |
Просмотров | 2298 |
Номер материала | 4669 |
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное. |