Олипиада по математике 5-11 классы

I (ШКОЛЬНЫЙ) ЭТАП

ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ

2013-2014 учебный год

ЗАДАНИЯ для 9 класса

Задача № 1 :

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Задача № 2 :

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Задача № 3 :

Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?

Задача № 4 :

Решите уравнение : x² + 2005x – 2006 = 0.

Задача № 5 :

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Решение задач :

Задача № 1 :

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ?АСМ - равносторонний. Но это значит, что ?АОD и ?ВОС - тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ?АОВ = ?СОD, откуда имеем, что AB = CD.

Задача № 2 :

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.

Задача № 3 :

Ответ: имеет смысл идти.

Пусть мальчик пошел к следующей остановке и в какой-то момент заметил автобус. Скорость автобуса в четыре раза больше скорости мальчика, поэтому за одно и то же время автобус проезжает расстояние в четыре раза больше. Пусть мальчик пробежит х км, тогда автобус проедет 4х км. В случае, если они двигаются навстречу друг другу, до встречи с автобусом мальчик пробежит 2/5 км. Это значит, что, отойдя от остановки не более, чем на 2/5 км, мальчик сможет успеть на автобус, побежав назад.

В случае, если автобус догоняет мальчика, мальчик успеет пробежать 2/3 км до момента, когда автобус его догонит.

Это означает, что он сможет успеть на автобус, если до следующей остановки осталось не более 2/3 км, то есть, если он успел пройти не менее 1/3 км до момента, когда заметил автобус. Так как, 1/3 < 2/5 , то у мальчика всегда будет возможность успеть на автобус и имеет смысл идти.

Задача № 4 :

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x₁x₂ = -2006 и x₁ = 1, то x₂ = 2006.

Задача № 5 :

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Каждое задание оценивается из 7 баллов. Максимальное количество баллов – 35.

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников

по математике

2013/2014 учебный год

задания для 7 класса

1. На берегу глубокого озера круглой формы с диаметром 100 м вбит колышек А, в середине озера расположен остров, а в его центре колышек В. У человека, который не умеет плавать, есть веревка. Ее длина немного больше 100 м. Каким образом, используя веревку и колышки, он может перебраться на остров?

2. Какое слово зашифровано, если каждая буква заменена ее номером в алфавите? 222122111121.

3. Вычислите ( 120 )( - ).

4. Пять школьников приехали из пяти населенных пунктов в Кирово-Чепецк на соревнования. «Откуда вы, ребята?» - спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них. Андреев: «Я приехал из Филиппово, а Григорьев живет в Каринке.» Борисов: «В Каринке живет Васильев. Я же прибыл из Просницы.» Васильев: «Я прибыл из Филиппово, а Борисов из Чувашей.» Григорьев: «Я прибыл из Каринки, а Данилов из Селезенихи.» Данилов: «Да. Я действительно из Селезенихи, Андреев же живет в Проснице.» Хозяева очень удивились противоречивости ответов гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

5. В старинной легенде о четырех алмазах рассказывается о восточном властелине. Он был искусным игроком в шахматы и за всю жизнь проиграл лишь четыре раза. В честь мудрецов-победителей властелин приказал инкрустировать алмазами четыре поля доски. Но сын после смерти властелина решил отомстить мудрецам за их победы и потребовал разделить шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые части с одним алмазом в каждой. Мудрецы выполнили требование, а сможете ли вы?

Ответы и решения олимпиады 7 класса.

1. Привязать веревку к колышку А. Обойти озеро по берегу и второй конец веревки привязать к колышку А. Таким образом веревка натянется между колышками. Держась за веревку можно перебраться на остров.

2. В зашифрованном слове могут встретиться лишь буквы с номерами 2, 22, 21, 1, 11, 12. Это буквы: б, ф, у, а, й, к. Если первая буква б, то искомое слово начинается с двух букв б или с букв «бф». В русском языке таких слов нет. Значит, искомое слово начинается с буквы под номером 22, т.е. с буквы ф. Второй буквой не может быть буква под номером 2, т.к. нет слов, начинающихся на «фб». Значит, после буквы ф идет буква с номером 21, т.е. буква у. Далее возможны варианты: фуб…, фубб…, фубуа…, фубуй…, из которых дальнейшему исследованию подлежит только первый вариант. Поскольку за второй буквой ф не может следовать буква с номером 11, то за ней будет следовать буква с номером 1, т.е. буква а (фуфа…). Дальше не представляет труда получить искомое слово – фуфайка.

3. Лучше записать пример дробью. Сведем к основанию 2 и 3. Числитель преобразуем: ×+×××3×5=××(1+5). Преобразуем знаменатель: ×-×=××(6-1). При сокращении дроби получаем .

4. Пусть у Андреева первое утверждение верно, т.е. он из Филиппово. Тогда Григорьев живет не в Каринке. Поэтому второе утверждение Данилова – ложное, значит, он из Селезенихи. Тогда первое утверждение Григорьева – ложно. Так как Андреев из Филиппово, то первое утверждение Васильева ложно, поэтому Борисов – из Чувашей. Так как Григорьев не из Каринки, то остается, что он из Просницы, а Васильев из Каринки. Рассмотрим второй возможный вариант. Пусть у Андреева второе утверждение – истинное, тогда Григорьев приехал из Каринки. Значит, Данилов приехал не из Селезенихи, а Андреев не из Филиппово. Тогда у Борисова первое утверждение ложное (в Каринке живет Григорьев), значит, Борисов прибыл из Просницы. Поэтому Андреев не из Просницы и получается, что Данилов из Селезенихи. Получили противоречие: Данилов из Селезенихи и не из Селезенихи. Значит, второй вариант невозможен. Ответ: Андреев из Филиппово, Борисов из Чувашей, Васильев из Каринки, Григорьев из Просницы, Данилов из Селезенихи.

Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий

Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов, максимальное количество баллов-35.

Олимпиаду подготовили:

Ямшанова О.Г., Катаева Н.А.

– КОГОАУ «Гимназия №1 г.К-Чепецка

I (школьный) этап

городской олимпиады школьников по математике

2013/2014 учебный год

задания для 6 класса

1. Вычислите:

2. Два друга Вася и Петя, немного поссорившись, пошли с равными скоростями в разные стороны. Через 5 минут Вася решил помириться и стал догонять Петю, увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдет минут, прежде чем он догонит Петю?

3. Одно четырехзначное число составлено из последовательных цифр, расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке убывания, третье четырехзначное число также составлено из этих четырех цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12300?

4. В рисе содержится 75% крахмала, а в ячмене – 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось бы столько крахмала, сколько его содержится в 9 кг риса?

5. На рисунке можно увидеть треугольники и квадраты, причем квадратов меньше, чем треугольников. На сколько?

Решение олимпиады 6 класс.

Ответ: 0

2. Если х м/мин – первоначальная скорость ребят, то через 5 мин между ними будет 10х метров. Когда Вася будет догонять Петю, то скорость их сближения будет равна 3х-х=2х м/мин. Тогда расстояние между ними пропадет через 10х:2х=5 мин.

Ответ: 5 мин

3. Если одно из этих чисел равно 1234, то второе – 4321. Тогда третье число равно 12300-(1234+4321)=6745.

Этот вариант не подходит, так как третье число состоит из других цифр.

Если первое число 2345, то второе – 5432, третье 12300-(2345+5432)=4523.

Этот вариант подходит.

В случае, когда первое число 3456, третье будет 12300-(3456+6543)=2301 – не подходит.

В остальных же случаях третье число будет еще меньше, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 2345, 5432, 4523.

4. 1) 90,75=6,75(кг) – содержится крахмала в 9 кг риса.

2) 6,75:0,6=11,25(кг) – надо взять ячмени.

Ответ: 11,25 кг.

5. Сначала подсчитаем число квадратов. Квадраты есть двух размеров – из одной клетки и из четырех. Всего на рисунке 6+1-7 квадратов.

Треугольники четырех типов (с величиной стороны от 1 до 4 клеток). Общее число треугольников равно 4+3+2+1=10.

Квадратов на 3 меньше, чем треугольников.

Ответ: на 3 меньше.

Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий

Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов, максимальное количество баллов-35.

Оценка	За что ставится
7	Верное решение
6	Верное решение с недочетами
4 – 5	Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки
1 – 3	Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении
0	Решение неверно или отсутствует

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2013/2014 учебный год

задания для 8 класса

1. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

2. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

3. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

4. Найти значение выражения 2х⁴ + Зх²• у² + у² + у⁴,

если известно, что х² + у²=1.

5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2013/2014 учебный год

задания для 8 класса

5. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

6. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

7. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

8. Найти значение выражения 2х⁴ + Зх²• у² + у² + у⁴,

если известно, что х² + у²=1.

5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2013/2014 учебный год

задания для 8 класса

9. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

10. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

11. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

12. Найти значение выражения 2х⁴ + Зх²• у² + у² + у⁴,

если известно, что х² + у²=1.

5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB

Ответы и решения.

1. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

Ответ: 110º

Решение: В 12.00 стрелки сходятся вместе. После этого за 20 минут минутная стрелка проходит 1/3 часть окружности, то есть описывает угол в 120º. Часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (так как описывает круг за 12 часов). Поэтому она за 20 минут опишет угол в 120º : 12=10º и будет образовывать с минутной стрелкой угол в

120º -10º=110º

2. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

Ответ:

3. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

Ответ: одна работа.

Решение: По условию задачи число учеников должно быть кратно 7,3,2, а такому условию удовлетворяет лишь число 42, тогда неудовлетворительных работ было 42-6-14-21=1

4.Найти значение выражения 2х⁴ + Зх²• у² + у² + у⁴, если известно, что х² + у² = 1.

Ответ: 2.

Решение. 2х⁴ + Зх² • у² + у² + у⁴ = (х⁴ + 2х²у² + у⁴) + х⁴ + х²у² 4-у² = (х² + у²)² + х² • (х² + у²) + у² = I² + х²•1 + у² = 1 + 1 = 2

5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB

Ответ:∠ АМВ= ∠ АМD= 75˚

Решение. Т. к. ABCD – прямоугольник, то прямые BC|| AD по свойству. ∠АМВ и ∠МАD накрест лежащие, образованные параллельными прямыми BC || AD при секущей АМ, то ∠АМВ = ∠МАD . Из ∠АМВ = ∠АМD и ∠АМВ = ∠МАD следует ∠AMD = ∠MAD. Значит, треугольник ∆ AMD – равнобедренный по признаку. Тогда, AD = DM. Т. к. ABCD – прямоугольник, то AB =CD. По условию AD=2AB. Получаем в прямоугольном треугольнике ∆ CMD : MD = 2CD. Следовательно, ∠ CMD = 30˚ .

Т.к. ∠AMB+ ∠AMD+ ∠DMC = 180˚

и ∠ AMB = ∠AMD,

∠ CMD = 30˚ , то ∠AMB =

∠AMD = ⁽180 − 30 ⁾ ∶ 2 = 75

Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий

Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов,

максимальное количество баллов-35.

I (школьный) этап

городской олимпиады школьников

по математике

2013/2014 учебный год

задания для 5 класса

1. Выразите числа 5, 26, 30 и 55, используя четыре цифры 5, знаки арифметических действий и скобки (например: 3 = (5+5+5):5 ).

2. Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найдите цену чашки и цену блюдца.

3. На школьной викторине участникам предложили 20 вопросов. За каждый правильный ответ ученику ставилось 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из учеников, если он ответил на все вопросы и набрал 86 очков?

4. Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось три четырёхугольника? (Если «да», то выполните рисунок.)

5. В трёх мешках находится крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует записи?

Ответы к олимпиаде по математике

5 класс.

Задача 1. Ответ: например 5 = (5-5)5+5

26=55+5:5

30=(5:5+5)5

55=55+5-5

Задача 2. Ответ: Цена чашки 13 рублей, цена блюдца 12 рублей.

Решение: одна чашка и одно блюдце вместе стоят 25 рублей, поэтому 4 чашки и 4 блюдца будут стоить 100 рублей. Так как по условию задачи 4 чашки 3 блюдца стоят 88 рублей, то одно блюдце стоит 12 рублей. Тогда одна чашка будет стоить (25-12) рублей = 13 рублей.

Задача 3. Ответ: 13

Решение: изобразим таблицу набранных очков соответственно при верных 20, 19, и т.д. вопросах:

Из таблицы видно, что ученик ответил верно на 13 вопросов. Можно было заметить закономерность, что каждый раз число набранных очков уменьшается на 22.

Задача 4. Ответ: да, возможный вариант изображен на рисунке.

Задача 5. Ответ: в мешке с надписью «крупа» находиться сахар, с надписью «вермишель» - крупа, с надписью «крупа или сахар» - вермишель.

Решение: используем таблицу.

Так как в первом мешке не крупа, то ставим в соответствующей клетке « -» . Аналогично, во второй строке ставим « -» - против вермишели. Так как в третьем мешке – не крупа и не сахар, то ставим «минусы» в столбцах с надписями «крупа» и «сахар». Тогда из таблицы получаем, что в третьем мешке – вермишель, во втором – крупа (крупы нет в 1 и 3 мешках), значит, сахар – в 1 мешке.

Дополнительные указания по проверке и оценке

Общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Задача 1. За каждый правильный ответ - 1 балл.

Задача 2. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Задача 3. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Задача 4. За правильный рисунок – 7 баллов.

Задача 5. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Максимальное количество баллов за олимпиаду – 32 балла

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников

по математике

2013/2014 учебный год

задания для 10 класса.

1. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

2. В клетки квадрата 3 х 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?

3. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

4. Дан выпуклый четырехугольник . Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причем X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

5. Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
   Найдите разность длин сторон квадратов.

6. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2005-й член этой последовательности?

Решения

1. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Ответ. Хватит.

Решение.

Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс .

Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Критерии оценки:

2.В клетки квадрата 3 х 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?

Ответ: 15

Решение:

Покажем, что n = 14 слишком мало. Среди чисел 1, 2, …, 14 только 2 делятся на 5 (5 и 10), поэтому их нельзя использовать (не во всех строках произведение будет делиться на 5). По тем же соображениям нельзя использовать числа 7 и 14. Тем более, нельзя использовать числа 11 и 13. Итак, 6 чисел уже отпадают. Остается всего 8 чисел, а их не хватит для заполнения клеток квадрата! На рисунке изображен квадрат с n = 15.

3) Найдём наименьшее значение функции

,

Поскольку, , то наименьшее значение функции может принимать либо при =0 ( на промежутке она убывает), либо при =4 ( на промежутке она возрастает). Сравнив у(0)=4 и у(4)=12 получаем ответ.

Критерии оценки

4. Дан выпуклый четырехугольник . Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причем X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

Решение: Обозначим через О – точку пересечения диагоналей четырехугольника. Так как точка X лежит на срединном перпендикуляре к отрезку BD, то треугольник BXD равнобедренный. Аналогично, треугольник AYC тоже равнобедренный. Тогда, , Так как прямые BX и CY параллельны, то как внутренние односторонние. Следовательно , откуда , что означает, что .

Критерии оценки

5. Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.

Решение:

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности, дают выражения (2х – h)2 + x2 = R2,   (2y + h)2 + y2 = R2.  Отсюда получим x - y = h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна h.

Критерии оценки

6. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д.Чему равен 2005-й член этой последовательности?

Решение: 2005 член последовательности равен наименьшему натуральному числу n, для которого . Последнее неравенство будет равносильно неравенству . Решением данного квадратного неравенства ( с учётом того, что n-натуральное будет . Значит последний член последовательности будет 63.

Критерии оценки

Максимальное количество баллов: 42 балла

I (школьный) этап

всероссийской олимпиады школьников

по математике

2013/2014 учебный год

задания для 11 класса

Задача 1

Имеются два бикфордовых шнура. Каждый горит ровно минуту, но к сожалению, неравномерно. Как с их помощью отмерить 45 секунд?

Задача 2

Докажите, что если x – yz = y – zx = z – xy, то ( x – y)( y – z)( z – x) = 0

Задача 3

Могут ли две биссектрисы внешних углов треугольника пересечься на описанной около него окружности?

Задача 4

Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Желая разделить выручку поровну, они стали по очереди, начиная со старшего брата, брать из общей суммы по 10 рублей. После того, как старший брат в очередной раз взял 10 рублей, младшему осталось меньше 10 рублей. Чтобы обеспечить равный делёж, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценён нож?

Задача 5

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 4х4 (каждую клетку – одним цветом) так, чтобы в каждом квадрате 2х2 нашлась пара клеток одного цвета?

Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий

Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов

Решение

Задача 1

Зажжем одновременно один из шнуров с двух концов, а другой – с одного конца. Через 30 секунд первый шнур сгорит, а второму останется гореть ещё 30 секунд. В этот момент подожжем второй шнур с другого конца. Тогда его остаток сгорит за 15 секунд, а всего пройдет 45 секунд.

Задача 2

Заметим, что x – yz = y – zx x – y + yz – zx = 0 x – y – z (x – y) = 0 (x – y)(1 – z) = 0 x – y =0 или z = 1

Аналогично из равенства y – zx = z – xy,получим, что y – z = 0 или x = 1. Если выполнено хотя бы одно из равенств x – y =0 или y – z = 0, то все доказано. Если же нет, то тогда

x = z =1, откуда x – z =0, и тоже все доказано.

Задача 3

Ответ: Нет

Решение: Допустим, биссектрисы внешних углов при вершинах В и С пересекаются в точке D, лежащей на описанной окружности. Тогда сумма вписанных углов ВАС и BDC равна 180^о. С другой стороны, CBD = (180^o - BCA)/ 2, откуда

BDC = 180^o - CBD - BCD = (CBA + BCA)/ 2.

Получаем, что BAC + BDC = BAC + (CBA +BCA)/2 = 180^o

Но из треугольника АВС получаем также, что ВАС + СВА + ВСА = 180^о. Значит, СВА + ВСА = 0^о, что невозможно.

Задача 4

Пусть в стаде было п овец. Тогда братья выручили п² рублей. Из условия следует, что количество десятков в числе п² нечетно. Представим число п в виде 10k + m, где k – количество десятков, а m – количество единиц в нём. Тогда п² = 100k² + 20km + m². таким образом, нечетность количества десятков в числе п² равносильна нечетности количества десятков в числе m². Перебирая квадраты однозначных чисел, убеждаемся, что количество десятков нечетно только у 4² и 6². Число п² в обоих случаях оканчивается на 6, то есть при дележе денег младший брат получил на 4 рубля меньше старшего. Чтобы в этой ситуации обеспечить равный делёж, старший брат должен передать младшему 2 рубля.

Задача 5

Ответ: В 11 цветов.

Решение: Допустим, клетки раскрашены в 12 цветов. Если в каждом из четырех угловых квадратов 2х2 будет по две одноцветных клетки, в центральном квадрате 2х2 все клетки будут разноцветными (иначе цветов будет меньше 12). Таким образом, в 12 цветов с соблюдением условий задачи клетки раскрасить нельзя. Тем более, нельзя раскрасить их больше, чем в 12 цветов. Как раскрасить клетки в 11 цветов, показано на рисунке (один из возможных вариантов)

Максимальное количество баллов: 35 баллов