Уроки математики / Другое / Олипиада по математике 5-11 классы

Олипиада по математике 5-11 классы

Название документа Олимпиада 9 класс.docx

I (ШКОЛЬНЫЙ) ЭТАП

ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ

2013-2014 учебный год

ЗАДАНИЯ для 9 класса

Задача № 1 :

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Задача № 2 :

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Задача № 3 :

Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?

Задача № 4 :

Решите уравнение : x2 + 2005x – 2006 = 0.

Задача № 5 :

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Решение задач :

Задача № 1 :

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ?АСМ - равносторонний. Но это значит, что ?АОD и ?ВОС - тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ?АОВ = ?СОD, откуда имеем, что AB = CD.

Задача № 2 :

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.

Задача № 3 :

Ответ: имеет смысл идти.

Пусть мальчик пошел к следующей остановке и в какой-то момент заметил автобус. Скорость автобуса в четыре раза больше скорости мальчика, поэтому за одно и то же время автобус проезжает расстояние в четыре раза больше. Пусть мальчик пробежит х км, тогда автобус проедет 4х км. В случае, если они двигаются навстречу друг другу, до встречи с автобусом мальчик пробежит 2/5 км. Это значит, что, отойдя от остановки не более, чем на 2/5 км, мальчик сможет успеть на автобус, побежав назад.

В случае, если автобус догоняет мальчика, мальчик успеет пробежать 2/3 км до момента, когда автобус его догонит.

Это означает, что он сможет успеть на автобус, если до следующей остановки осталось не более 2/3 км, то есть, если он успел пройти не менее 1/3 км до момента, когда заметил автобус. Так как, 1/3 < 2/5 , то у мальчика всегда будет возможность успеть на автобус и имеет смысл идти.

Задача № 4 :

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Задача № 5 :

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Каждое задание оценивается из 7 баллов. Максимальное количество баллов – 35.

Оценка

За что ставится

7

Верное решение

6

Верное решение с недочетами

4-5

Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки

1-3

Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении

0

Решение неверно или отсутствует

Название документа олимпиада 7 класс 2013-2014.doc

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников

по математике

2013/2014 учебный год

задания для 7 класса

  1. На берегу глубокого озера круглой формы с диаметром 100 м вбит колышек А, в середине озера расположен остров, а в его центре колышек В. У человека, который не умеет плавать, есть веревка. Ее длина немного больше 100 м. Каким образом, используя веревку и колышки, он может перебраться на остров?

  2. Какое слово зашифровано, если каждая буква заменена ее номером в алфавите? 222122111121.

  3. Вычислите ( 120 )( - ).

  4. Пять школьников приехали из пяти населенных пунктов в Кирово-Чепецк на соревнования. «Откуда вы, ребята?» - спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них. Андреев: «Я приехал из Филиппово, а Григорьев живет в Каринке.» Борисов: «В Каринке живет Васильев. Я же прибыл из Просницы.» Васильев: «Я прибыл из Филиппово, а Борисов из Чувашей.» Григорьев: «Я прибыл из Каринки, а Данилов из Селезенихи.» Данилов: «Да. Я действительно из Селезенихи, Андреев же живет в Проснице.» Хозяева очень удивились противоречивости ответов гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

  5. В старинной легенде о четырех алмазах рассказывается о восточном властелине. Он был искусным игроком в шахматы и за всю жизнь проиграл лишь четыре раза. В честь мудрецов-победителей властелин приказал инкрустировать алмазами четыре поля доски. Но сын после смерти властелина решил отомстить мудрецам за их победы и потребовал разделить шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые части с одним алмазом в каждой. Мудрецы выполнили требование, а сможете ли вы?

Ответы и решения олимпиады 7 класса.

  1. Привязать веревку к колышку А. Обойти озеро по берегу и второй конец веревки привязать к колышку А. Таким образом веревка натянется между колышками. Держась за веревку можно перебраться на остров.

  2. В зашифрованном слове могут встретиться лишь буквы с номерами 2, 22, 21, 1, 11, 12. Это буквы: б, ф, у, а, й, к. Если первая буква б, то искомое слово начинается с двух букв б или с букв «бф». В русском языке таких слов нет. Значит, искомое слово начинается с буквы под номером 22, т.е. с буквы ф. Второй буквой не может быть буква под номером 2, т.к. нет слов, начинающихся на «фб». Значит, после буквы ф идет буква с номером 21, т.е. буква у. Далее возможны варианты: фуб…, фубб…, фубуа…, фубуй…, из которых дальнейшему исследованию подлежит только первый вариант. Поскольку за второй буквой ф не может следовать буква с номером 11, то за ней будет следовать буква с номером 1, т.е. буква а (фуфа…). Дальше не представляет труда получить искомое слово – фуфайка.

  3. Лучше записать пример дробью. Сведем к основанию 2 и 3. Числитель преобразуем: ×+×××3×5=××(1+5). Преобразуем знаменатель: ×-×=××(6-1). При сокращении дроби получаем .

  4. Пусть у Андреева первое утверждение верно, т.е. он из Филиппово. Тогда Григорьев живет не в Каринке. Поэтому второе утверждение Данилова – ложное, значит, он из Селезенихи. Тогда первое утверждение Григорьева – ложно. Так как Андреев из Филиппово, то первое утверждение Васильева ложно, поэтому Борисов – из Чувашей. Так как Григорьев не из Каринки, то остается, что он из Просницы, а Васильев из Каринки. Рассмотрим второй возможный вариант. Пусть у Андреева второе утверждение – истинное, тогда Григорьев приехал из Каринки. Значит, Данилов приехал не из Селезенихи, а Андреев не из Филиппово. Тогда у Борисова первое утверждение ложное (в Каринке живет Григорьев), значит, Борисов прибыл из Просницы. Поэтому Андреев не из Просницы и получается, что Данилов из Селезенихи. Получили противоречие: Данилов из Селезенихи и не из Селезенихи. Значит, второй вариант невозможен. Ответ: Андреев из Филиппово, Борисов из Чувашей, Васильев из Каринки, Григорьев из Просницы, Данилов из Селезенихи.

Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий

Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов, максимальное количество баллов-35.

Оценка

За что ставится

7

Верное решение

6

Верное решение с недочетами

4 – 5

Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки

1 – 3

Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении

0

Решение неверно или отсутствует

Олимпиаду подготовили:

Ямшанова О.Г., Катаева Н.А.

– КОГОАУ «Гимназия №1 г.К-Чепецка

Название документа олимпиада 6 класс 2013-2014.doc

I (школьный) этап

городской олимпиады школьников по математике

2013/2014 учебный год

задания для 6 класса

  1. Вычислите:

  1. Два друга Вася и Петя, немного поссорившись, пошли с равными скоростями в разные стороны. Через 5 минут Вася решил помириться и стал догонять Петю, увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдет минут, прежде чем он догонит Петю?

  1. Одно четырехзначное число составлено из последовательных цифр, расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке убывания, третье четырехзначное число также составлено из этих четырех цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12300?

  1. В рисе содержится 75% крахмала, а в ячмене – 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось бы столько крахмала, сколько его содержится в 9 кг риса?

  1. На рисунке можно увидеть треугольники и квадраты, причем квадратов меньше, чем треугольников. На сколько?

Решение олимпиады 6 класс.

Ответ: 0

  1. Если х м/мин – первоначальная скорость ребят, то через 5 мин между ними будет 10х метров. Когда Вася будет догонять Петю, то скорость их сближения будет равна 3х-х=2х м/мин. Тогда расстояние между ними пропадет через 10х:2х=5 мин.

Ответ: 5 мин

  1. Если одно из этих чисел равно 1234, то второе – 4321. Тогда третье число равно 12300-(1234+4321)=6745.

Этот вариант не подходит, так как третье число состоит из других цифр.

Если первое число 2345, то второе – 5432, третье 12300-(2345+5432)=4523.

Этот вариант подходит.

В случае, когда первое число 3456, третье будет 12300-(3456+6543)=2301 – не подходит.

В остальных же случаях третье число будет еще меньше, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 2345, 5432, 4523.

  1. 1) 90,75=6,75(кг) – содержится крахмала в 9 кг риса.

2) 6,75:0,6=11,25(кг) – надо взять ячмени.

Ответ: 11,25 кг.

  1. Сначала подсчитаем число квадратов. Квадраты есть двух размеров – из одной клетки и из четырех. Всего на рисунке 6+1-7 квадратов.

Треугольники четырех типов (с величиной стороны от 1 до 4 клеток). Общее число треугольников равно 4+3+2+1=10.

Квадратов на 3 меньше, чем треугольников.

Ответ: на 3 меньше.

Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий

Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов, максимальное количество баллов-35.

Оценка

За что ставится

7

Верное решение

6

Верное решение с недочетами

4 – 5

Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки

1 – 3

Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении

0

Решение неверно или отсутствует

Название документа олимпиада 8 класс 2013-2014.doc

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2013/2014 учебный год

задания для 8 класса

  1. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

  2. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

  3. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

  4. Найти значение выражения4 + Зх2• у2 + у2 + у4,

если известно, что х2 + у2=1.

5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2013/2014 учебный год

задания для 8 класса

  1. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

  2. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

  3. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

  4. Найти значение выражения4 + Зх2• у2 + у2 + у4,

если известно, что х2 + у2=1.

5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2013/2014 учебный год

задания для 8 класса

  1. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

  2. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

  3. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

  4. Найти значение выражения4 + Зх2• у2 + у2 + у4,

если известно, что х2 + у2=1.

5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB

Ответы и решения.

1. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

Ответ: 110º

Решение: В 12.00 стрелки сходятся вместе. После этого за 20 минут минутная стрелка проходит 1/3 часть окружности, то есть описывает угол в 120º. Часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (так как описывает круг за 12 часов). Поэтому она за 20 минут опишет угол в 120º : 12=10º и будет образовывать с минутной стрелкой угол в

120º -10º=110º

2. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

Ответ:

3. В классе учиться менее 50 учеников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 – четверки,1/2 – тройки. Сколько работ оказалось неудовлетворительных?

Ответ: одна работа.

Решение: По условию задачи число учеников должно быть кратно 7,3,2, а такому условию удовлетворяет лишь число 42, тогда неудовлетворительных работ было 42-6-14-21=1

4.Найти значение выражения4 + Зх2• у2 + у2 + у4, если известно, что х2 + у2 = 1.

Ответ: 2.

Решение.4 + Зх2 • у2 + у2 + у4 =4 + 2х2у2 + у4) + х4 + х2у2 42 = (х2 + у2)2 + х22 + у2) + у2 = I2 + х21 + у2 = 1 + 1 = 2

5. В прямоугольнике ABCD на стороне BC взята точка M так, что ∠АМВ= ∠АМD. Найдите эти углы, если AD = 2AB

Ответ: АМВ= АМD= 75˚

Решение. Т. к. ABCD – прямоугольник, то прямые BC|| AD по свойству. ∠АМВ и ∠МАD накрест лежащие, образованные параллельными прямыми BC || AD при секущей АМ, то ∠АМВ = ∠МАD . Из ∠АМВ = ∠АМD и ∠АМВ = ∠МАD следует ∠AMD = ∠MAD. Значит, треугольник ∆ AMD – равнобедренный по признаку. Тогда, AD = DM. Т. к. ABCD – прямоугольник, то AB =CD. По условию AD=2AB. Получаем в прямоугольном треугольнике ∆ CMD : MD = 2CD. Следовательно, ∠ CMD = 30˚ .

Т.к. ∠AMB+ ∠AMD+ ∠DMC = 180˚

и ∠ AMB = ∠AMD,

CMD = 30˚ , то ∠AMB =

AMD = (180 − 30 ) ∶ 2 = 75

Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий

Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов,

максимальное количество баллов-35.

Оценка

За что ставится

7

Верное решение

6

Верное решение с недочетами

4 – 5

Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки

1 – 3

Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении

0

Решение неверно или отсутствует

Название документа олимпиада 5 класс 2013-2014.docx

I (школьный) этап

городской олимпиады школьников

по математике

2013/2014 учебный год

задания для 5 класса

  1. Выразите числа 5, 26, 30 и 55, используя четыре цифры 5, знаки арифметических действий и скобки (например: 3 = (5+5+5):5 ).

  1. Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найдите цену чашки и цену блюдца.

  1. На школьной викторине участникам предложили 20 вопросов. За каждый правильный ответ ученику ставилось 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из учеников, если он ответил на все вопросы и набрал 86 очков?

4. Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось три четырёхугольника? (Если «да», то выполните рисунок.)

5. В трёх мешках находится крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует записи?

Ответы к олимпиаде по математике

5 класс.

Задача 1. Ответ: например 5 = (5-5)5+5

26=55+5:5

30=(5:5+5)5

55=55+5-5

Задача 2. Ответ: Цена чашки 13 рублей, цена блюдца 12 рублей.

Решение: одна чашка и одно блюдце вместе стоят 25 рублей, поэтому 4 чашки и 4 блюдца будут стоить 100 рублей. Так как по условию задачи 4 чашки 3 блюдца стоят 88 рублей, то одно блюдце стоит 12 рублей. Тогда одна чашка будет стоить (25-12) рублей = 13 рублей.

Задача 3. Ответ: 13

Решение: изобразим таблицу набранных очков соответственно при верных 20, 19, и т.д. вопросах:

Верных ответов

20

19

18

17

16

15

14

13

12

Набрано очков

240

218

196

174

152

130

108

86

64

Из таблицы видно, что ученик ответил верно на 13 вопросов. Можно было заметить закономерность, что каждый раз число набранных очков уменьшается на 22.

Задача 4. Ответ: да, возможный вариант изображен на рисунке.

Задача 5. Ответ: в мешке с надписью «крупа» находиться сахар, с надписью «вермишель» - крупа, с надписью «крупа или сахар» - вермишель.

Решение: используем таблицу.

Содержимое

мешка

№ мешка

вермишель

крупа

сахар

1

-

+

2

-

+

3

+

-

-

Так как в первом мешке не крупа, то ставим в соответствующей клетке « -» . Аналогично, во второй строке ставим « -» - против вермишели. Так как в третьем мешке – не крупа и не сахар, то ставим «минусы» в столбцах с надписями «крупа» и «сахар». Тогда из таблицы получаем, что в третьем мешке – вермишель, во втором – крупа (крупы нет в 1 и 3 мешках), значит, сахар – в 1 мешке.

Дополнительные указания по проверке и оценке

Общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Оценка

За что ставится

7

Верное решение

6

Верное решение с недочетами

4-5

Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки

1-3

Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении

0

Решение неверно или отсутствует

Задача 1. За каждый правильный ответ - 1 балл.

Задача 2. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Задача 3. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Задача 4. За правильный рисунок – 7 баллов.

Задача 5. См. общие указания по проверке и оценке олимпиадных работ.

Максимальное количество баллов за олимпиаду – 32 балла

Название документа олимпиада 10 класс 2013-2014.docx

I (школьный) этап всероссийской олимпиады школьников

по математике

2013/2014 учебный год

задания для 10 класса.

  1. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

  2. В клетки квадрата 3 х 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?

  3. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

  4. Дан выпуклый четырехугольник . Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причем X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

  5. Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
    Найдите разность длин сторон квадратов.

  6. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2005-й член этой последовательности?

Решения

1. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Ответ. Хватит.

Решение.

Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс .

Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Критерии оценки:

Количество баллов

За что ставятся

4

Верно составлено уравнение для решения задачи

5

Верно составлено уравнение и верно найдено х

7

Верное решение

2.В клетки квадрата 3 х 3 требуется вписать девять различных натуральных чисел так, чтобы все они не превосходили n, и чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны. При каком наименьшем n это возможно?

Ответ: 15

Решение:

Покажем, что n = 14 слишком мало. Среди чисел 1, 2, …, 14 только 2 делятся на 5 (5 и 10), поэтому их нельзя использовать (не во всех строках произведение будет делиться на 5). По тем же соображениям нельзя использовать числа 7 и 14. Тем более, нельзя использовать числа 11 и 13. Итак, 6 чисел уже отпадают. Остается всего 8 чисел, а их не хватит для заполнения клеток квадрата! На рисунке изображен квадрат с n = 15.

5

12

2

3

10

4

8

1

15

Критерии оценки

Количество баллов

За что ставятся

1

Дан верный ответ или приведён пример таблицы

7

Показано, что n=14 мало

3.При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

Ответ: =0

Решение: 1) Учтём, что . Откуда .

2) Найдём сумму квадратов корней данного уравнения, используя теорему Виета( корни существуют, т.к. >0):

3) Найдём наименьшее значение функции

,

Поскольку, , то наименьшее значение функции может принимать либо при =0 ( на промежутке она убывает), либо при =4 ( на промежутке она возрастает). Сравнив у(0)=4 и у(4)=12 получаем ответ.

Критерии оценки

Количество баллов

За что ставятся

2

Сумма квадратов корней найдена

3

Учтено, что

7

Найдено наименьшее значение

4. Дан выпуклый четырехугольник . Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причем X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

Решение: Обозначим через О – точку пересечения диагоналей четырехугольника. Так как точка X лежит на срединном перпендикуляре к отрезку BD, то треугольник BXD равнобедренный. Аналогично, треугольник AYC тоже равнобедренный. Тогда, , Так как прямые BX и CY параллельны, то как внутренние односторонние. Следовательно , откуда , что означает, что .

Критерии оценки

Количество баллов

За что ставятся

1

Найдены равнобедренные треугольники

3

Найдены равнобедренные треугольники и отмечено, что сумма

7

Доказано, что

5. Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.

Решение:

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности, дают выражения (2х – h)2 + x2 = R2,   (2y + h)2 + y2 = R2.  Отсюда получим x - y = h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна h.

Критерии оценки

Количество баллов

За что ставятся

3

Найдены расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности

6

Найдены расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности и разность х-у

7

Найдена разность длин сторон квадратов

6. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д.Чему равен 2005-й член этой последовательности?

Решение: 2005 член последовательности равен наименьшему натуральному числу n, для которого . Последнее неравенство будет равносильно неравенству . Решением данного квадратного неравенства ( с учётом того, что n-натуральное будет . Значит последний член последовательности будет 63.

Критерии оценки

Количество баллов

За что ставятся

5

Найдено неравенство, позволяющее найти n

6

Найдено неравенство, позволяющее найти n, и решено неравенство

7

Найден последний член

Максимальное количество баллов: 42 балла

Название документа олимпиада 11класс 2013-2014.doc

I (школьный) этап

всероссийской олимпиады школьников

по математике

2013/2014 учебный год

задания для 11 класса

Задача 1

Имеются два бикфордовых шнура. Каждый горит ровно минуту, но к сожалению, неравномерно. Как с их помощью отмерить 45 секунд?

Задача 2

Докажите, что если xyz = yzx = zxy, то ( xy)( yz)( zx) = 0

Задача 3

Могут ли две биссектрисы внешних углов треугольника пересечься на описанной около него окружности?

Задача 4

Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Желая разделить выручку поровну, они стали по очереди, начиная со старшего брата, брать из общей суммы по 10 рублей. После того, как старший брат в очередной раз взял 10 рублей, младшему осталось меньше 10 рублей. Чтобы обеспечить равный делёж, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценён нож?

Задача 5

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 4х4 (каждую клетку – одним цветом) так, чтобы в каждом квадрате 2х2 нашлась пара клеток одного цвета?

Указания по проверке и оценке олимпиадных заданий

Решение каждой задачи оценивается из 7 баллов

Оценка

За что ставится

7

Верное решение

6

Верное решение с недочетами

4 – 5

Решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки

1 – 3

Решение в целом неверно, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении

0

Решение неверно или отсутствует

Решение

Задача 1

Зажжем одновременно один из шнуров с двух концов, а другой – с одного конца. Через 30 секунд первый шнур сгорит, а второму останется гореть ещё 30 секунд. В этот момент подожжем второй шнур с другого конца. Тогда его остаток сгорит за 15 секунд, а всего пройдет 45 секунд.

Задача 2

Заметим, что xyz = yzx xy + yzzx = 0 xyz (xy) = 0 (xy)(1 – z) = 0 xy =0 или z = 1

Аналогично из равенства yzx = zxy,получим, что yz = 0 или x = 1. Если выполнено хотя бы одно из равенств xy =0 или yz = 0, то все доказано. Если же нет, то тогда

x = z =1, откуда xz =0, и тоже все доказано.

Задача 3

Ответ: Нет

Решение: Допустим, биссектрисы внешних углов при вершинах В и С пересекаются в точке D, лежащей на описанной окружности. Тогда сумма вписанных углов ВАС и BDC равна 180о. С другой стороны, CBD = (180o - BCA)/ 2, откуда

BDC = 180o - CBD - BCD = (CBA + BCA)/ 2.

Получаем, что BAC + BDC = BAC + (CBA +BCA)/2 = 180o

Но из треугольника АВС получаем также, что ВАС + СВА + ВСА = 180о. Значит, СВА + ВСА = 0о, что невозможно.

Задача 4

Пусть в стаде было п овец. Тогда братья выручили п2 рублей. Из условия следует, что количество десятков в числе п2 нечетно. Представим число п в виде 10k + m, где k – количество десятков, а m – количество единиц в нём. Тогда п2 = 100k2 + 20km + m2. таким образом, нечетность количества десятков в числе п2 равносильна нечетности количества десятков в числе m2. Перебирая квадраты однозначных чисел, убеждаемся, что количество десятков нечетно только у 42 и 62. Число п2 в обоих случаях оканчивается на 6, то есть при дележе денег младший брат получил на 4 рубля меньше старшего. Чтобы в этой ситуации обеспечить равный делёж, старший брат должен передать младшему 2 рубля.

Задача 5

Ответ: В 11 цветов.

Решение: Допустим, клетки раскрашены в 12 цветов. Если в каждом из четырех угловых квадратов 2х2 будет по две одноцветных клетки, в центральном квадрате 2х2 все клетки будут разноцветными (иначе цветов будет меньше 12). Таким образом, в 12 цветов с соблюдением условий задачи клетки раскрасить нельзя. Тем более, нельзя раскрасить их больше, чем в 12 цветов. Как раскрасить клетки в 11 цветов, показано на рисунке (один из возможных вариантов)

4

5

1

6

2

2

1

7

11

1

3

3

10

1

9

8

Максимальное количество баллов: 35 баллов

Автор
Дата добавления 18.10.2017
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров266
Номер материала 4669
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.