Уроки математики / Презентация / Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"

Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"

Документы в архиве:

Название документа 5.

Определение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их...
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, ко...
Основные свойства скалярного произведения векторов
Задача 1 Доказательство:
Задача 2 Решение: a a
Задача 2 Решение:
Задача 3 Решение:
Задача 4 Решение:
1 из 11

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

№ слайда 2

Определение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение двух векторов — число

№ слайда 3

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны Скалярный квадрат вектора (то есть, скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины

№ слайда 4

№ слайда 5

№ слайда 6

Основные свойства скалярного произведения векторов

№ слайда 7

Задача 1 Доказательство:

№ слайда 8

Задача 2 Решение: a a

№ слайда 9

Задача 2 Решение:

№ слайда 10

Задача 3 Решение:

№ слайда 11

Задача 4 Решение:

Краткое описание документа:

Презентация «Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов» наглядно раскрывает данную тему. С помощью презентации учителю легче сформировать представление о скалярном произведении, научить решать задачи по данной теме. В ходе демонстрации представляется определение скалярного произведения векторов, важные теоремы о скалярном произведении, формулируются свойства скалярного произведения, знания закрепляются решением задач, в которых применяются теоретические сведения о скалярном произведении. Презентация – хороший способ удержать внимание учеников на изучаемом предмете. В презентации наглядность достигается с помощью набора инструментов, которые помогают выделить важные понятия, особенности построения.

Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"

Демонстрация начинается с изображения на плоскости α векторов a¯ и b¯. К плоскости, в которой лежат данные вектора, через их начало проводится перпендикуляр с, который принимается за один из катетов треугольника, где второй катет – вектор b¯. На втором слайде представлено определение скалярного произведения векторов как перемножение их длин на cos угла, который они образуют. Отмечается, что скалярным произведением векторов является обычное число. К определению прилагается изображение векторов a¯, b¯. Отмечается между ними угол a¯^b¯. В рамке выделено нахождение скалярного произведения векторов с помощью обозначений a¯b¯=|a¯|·|b¯|·cos(a¯^b¯).

Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"

Слайд 3 демонстрирует теоремы о важных свойствах скалярного произведения. В первой теореме указано, что произведение векторов, не равных нулю, будет нулевым, когда векторы перпендикулярны. Объяснение этого свойства следует из определения скалярного произведения. Косинус угла, образованного между углами, для 90° равен нулю, поэтому и произведение нулевое. Вторая теорема утверждает, что скалярный квадрат вектора равняется квадрату длины этого вектора. Доказать это свойство просто. Между сонаправленными векторами угол 0°. Косинус такого угла cos(a¯^а¯)=1. Поэтому, вычислив формулу, находим a2¯=|a2¯|cos(a¯^b¯)=|a2¯|. В результате получаем a2¯=|a2¯|.

Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"

На слайде 4 демонстрируется два вектора aˉ{x1;y1;z1} и bˉ{x2;y2;z2}. Между лучами образуется угол α=a¯^b¯. Скалярное произведение векторов вычисляется перемножением соответствующих координат векторов, суммированием этих произведений.

На слайде 5 представлена формула для вычисления cos между векторами aˉ{x1;y1;z1} и bˉ{x2;y2;z2}. Отмечается, что формула верна для ненулевых векторов cosα= x1x2/√( x12+y12+z12)·√( x22+y22+z22). Описывается доказательство данного утверждения. Зная, что скалярное произведение находится по формуле a¯b¯=|a¯|·|b¯|·cos(a¯^b¯). Из этой формулы следует cosα=a¯b¯/|a¯|·|b¯|. Так как a¯b¯= x1x2+y1y2+z1z2, а модуль вектора представляет собой квадратный корень из суммы квадратов его координат, то |a¯|·|b¯|=√( x12+y12+z12)·√( x22+y22+z22). Подставив полученные выражения для числителя и знаменателя в формулу, находим cosα=x1x2/√( x12+y12+z12)·√( x22+y22+z22).

Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"

Основные свойства скалярного произведения представлены на слайде 6. Здесь сформулированы 4 свойства. В первом свойстве отмечается, что квадрат вектора неотрицательное число. При этом если вектор не нулевой, то квадрат вектора – положительное число. Второе свойство демонстрирует переместительный закон произведения векторов a¯b¯=b¯a¯. В третьем свойстве отмечается, что для векторов также справедлив распределительный закон (a¯+b¯)с¯=a¯ с¯+b¯ с¯. В четвертом пункте описан сочетательный закон для векторов k(a¯b¯)=(ka¯)b¯.

Далее рассматривается решение задач, где используются изученные теоретические сведения. На слайде 7 описывается решение задачи 1, где даны векторы a¯, b¯, c¯, k¯. В задаче требуется доказать тождество (a¯+b¯+с¯)k¯=a¯ k¯+b¯ k¯+c¯k¯. В доказательстве применяется распределительное свойство произведения векторов. Если раскрыть скобки, разделив сумму внутри них на два слагаемых, применить распределительное свойство, а затем раскрыть скобки в оставшемся выражении с нераскрытыми скобками, то получаем искомое выражение.

В слайде 8 описывается решение задачи 2, где дан куб KMNPK1M1N1P1 со стороной а. Необходимо вычислить произведение векторов КР¯·M1N1¯, KN¯·N1K1¯. Рядом с условием задачи изображается данный куб. В нем выделены ребра КР¯ и M1N1¯.При решении задачи отмечается, что параллельность векторов КР¯ и M1N1¯ означает, что косинус угла между ними равен 1.Поэтому произведение векторов КР¯·M1N1¯=а2. Продолжение решения представлено на слайде 9. Рассматривается нахождение произведения векторов KN¯·N1K1¯. Это диагонали противолежащих граней куба. Их длины назодятся по теореме Пифагора и составляют а√2. Угол между рассматриваемыми векторами является развернутым, поэтому cos(КР¯^M1N1¯)= cos180°=-1. Используя известные данные, получаем KN¯·N1K1¯=-2а2.

Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"

На слайде 10 демонстрируется описание решения задачи 3, в которой даны векторы a¯{1;0;0},k¯{1;√3;0}. Необходимо найти угол между векторамиa¯ и k¯. Пользуясь известной формулой поиска косинуса угла,образованного векторами, и подставляя координаты данных векторов в формулу, находим косинус угла cos(a¯^k¯)= 1·1+0·√3+0·0/√( 12+02+02)·√( 12+(√3)2+02)=1/2. Применяя обратную операцк косинусу, находим угол a¯^k¯=arccos1/2=60°.

В задаче 4, представленном в последнем слайде, даны четыре вектора b¯{3;-5;1},m¯{0;1;-5}, i¯{1;0;0},j¯{0;1;0}. Необходимо найти произведения векторов b¯m¯, b¯i¯, j¯m¯. В решении используется формула нахождения скалярного произведения векторов по координатам. В решении напоминается соответствующая формула. После подстановки значений координат векторов и выполнения вычислений находим значения произведений b¯m¯=-10, b¯i¯=3, j¯m¯=1.

Презентация "Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов"

Презентация «Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов» помогает повысить эффективность традиционного школьного урока по теме за счет улучшения наглядности представления материала. Также презентация поможет быстрее достичь учебных целей и задач учителю, осуществляющему дистанционное обучение. Если ученик недостаточно хорошо усвоил материал на уроке, учитель может рекомендовать данный материал для самостоятельного рассмотрения.

Автор
Дата добавления 07.11.2014
Раздел Геометрия
Подраздел Презентация
Просмотров1155
Номер материала 961
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.