"Решение логарифмических неравенств классическим способом", задания 15 ЕГЭ

Классические способы решения логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании.

«Лучший способ изучить

что-либо–это открыть самому».

швейцарский математик Джордж Пойа

Рассмотрим некоторые логарифмические неравенства, которые практически не встречаются в школьных учебниках, но часто оказываются в 15 заданиях КИМов ЕГЭ. Для большинства успешных учеников наибольшие затруднения вызывают неравенства, имеющие переменную в основании. Существенно сокращает объем решения и сокращает драгоценное время, которого так не хватает на экзамене успешным выпускникам, не школьный способ решения такого вида неравенств – способ рационализации.

Традиционные способы решения бывают часто очень трудоемки, но не требуют знаний выше школьной программы.

Критерии проверки 15 заданий таковы, что при ошибочном решении, но правильно найденном ОДЗ можно получить 1 балл. Поэтому рекомендуется сначала отдельно найти ОДЗ, а затем решать основное неравенство.

К сожалению, максимальный балл за задание 15 в КИМах ЕГЭ 2017, как и в прошлом году составляет всего 2 первичных балла. Хотя по-прежнему чаще всего встречаются сложные нестандартные неравенства.

Пример 1. Решите неравенство

Решение.

1. ОДЗ: 3<х<-2, -2<х<0, х>1

2. а) Если 0<х+3<1, т.е. -3<х<-2, то

,

х² –х > х+3, х² –2х - 3 > 0, (х -3)(х+1) > 0, х < -1, х > 3

-3<х<-2

б) Если х+3>1, т.е. -2<х<0, х>1, то

,

х² –х < х+3, х² –2х - 3 < 0, (х -3)(х+1)< 0, -1< х < 3

-1< х < 0, 1< х < 3

Ответ. (-3;-2); (-1;0); (1;3)

Пример 2. Решите неравенство

Решение.

1. Выполним преобразования:

Исходное неравенство примет вид:

2. ОДЗ:

3. а) Если х>1, то , т.к. 2>1,то х≥ удовлетворяет условию х>1.

б) Если то , т.к. 2>1, то х≤ Сх<

Ответ. (; 1),

Пример 3. (ЕГЭ 2016)

Решите неравенство 2

Решение.

1. Преобразуем исходное неравенство:

Заметим, что х² -6х+10=(х-3)²+1≥1 при любых значениях х и перейдем к системе

откуда 0, что и является решением исходного неравенства.

.;(3;7]

Пример 4. (ЕГЭ 2016)

Решите неравенство

Решение.

Так как основание 1-<1 при х≠1, то получаем систему: откуда -0,75≤х<0, х>2, что и является решением исходного неравенства.

Ответ.[-0,75;0); (2; +∞)

Пример 5. (ЕГЭ 2016)

Решите неравенство

Решение.

Рассмотрим два случая.

1. 0<<1

откуда ≤х<1; 1< х<2.

2. >1

откуда х>2.

3. Решение исходного неравенства: ≤х<1; 1< х<2; х>2.

Ответ. [;1); (1;2); (2; +∞)

Учитель математики МБОУ ТСОШ №3 Митрофанова Н.В.