Уроки математики / Статья / Статья "Метод замен при решении иррациональных уравнений"

Статья "Метод замен при решении иррациональных уравнений"

Метод замен при решении иррациональных уравнений

Весьма распространенный прием решения иррациональных уравнений и неравенств — возведение в квадрат. Тем не менее, пользоваться им надо как можно реже, ибо он обладает существенными недостатками: во-первых, возводя в квадрат обе части уравнения, вы расширяете область допустимых значений неизвестного, что может привести к появлению посторонних корней; во-вторых, часто в результате этой операции получается уравнение с громоздкими коэффициентами, работать с которыми затруднительно (особенно если на экзамене не разрешается пользоваться калькулятором). Наконец, главный недостаток этого приема — увеличение вдвое степени уравнения. Возведя обе части в квадрат, вы можете избавиться от иррациональностей, но получить рациональное уравнение степени выше второй, способы решения которого в общем виде вам неизвестны или вообще не существуют. Если возводить в квадрат все-таки приходится, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить в ответ посторонние корни. В частности, если уравнение имеет вид  то для корней должно выполняться условие  (при этом , и условие  отдельно ставить не требуется). Еще один способ обнаружить посторонние корни — проверка всех найденных корней подстановкой их в первоначальное уравнение.

Пример 1.Решить уравнение: . Решение. Корни должны удовлетворять условию 4х - 8 ≥  0, то есть х ≥  2. Возведем обе части в квадрат: — посторонний корень. Ответ: х = 3.

Пример 2. . Поскольку неизвестное входит в подкоренное выражение и в рациональную часть уравнения в виде одной и той же комбинации (x2 - 7х), можно сделать замену: , тогда x2 - 7х = t2 - 19, и t определяется из уравнения: 2t + t2 - 19 + 4 = 0t2 + 2t — 15 = 0,t1 = 3, t2 = -5 < 0 — не соответствует условию на знак t. Обратная замена: Ответ: х = 2, х = 5.

Комментарий. Замена переменной очень полезна при решении иррациональных уравнений. Часто с ее помощью удается избежать необходимости возведения в квадрат.

Пример 3.Решить уравнение: . Решение

Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому замена  приводит к уравнению: 

Случай 1. 

Случай 2. Ответ: 

Комментарий. Следует обратить внимание на то, что в некоторых заданиях нет необходимости в проверке корней или задании каких-либо ограничений: значения х определяются из условия, что корень принимает некоторое неотрицательное значение.

Пример 4.Решить уравнение: . Решение. Перепишем уравнение в виде:  и возведем обе части в квадрат, не задавая никаких ограничений: проще будет в конце работы проверить получившиеся корни:Еще раз возведем в квадрат обе части полученного равенства:. Проверка. — корень уравнения. —  — не корень уравнения. Ответ: х = 16.

Пример 5.Решить уравнение: . В этом уравнении замена  поможет ограничиться только одним возведением в квадрат:Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение: . Решение

ОДЗ задается условием: . Запишем уравнение в виде:  — посторонний корень., (корень первого уравнения х = 0 не удовлетворяет второму условию). Итак, единственный корень исходного уравнения — х = 11. Ответ: х = 11.

Январь 2017 Практико-ориентированный семинар «О работе с заданиями повышенной сложности из ЕГЭ, ОГЭ»

Учитель математики Митрофанова Н.В.

Автор
Дата добавления 16.10.2017
Раздел Алгебра
Подраздел Статья
Просмотров65
Номер материала 4646
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.