Урок "Квадратные уравнения. Основные понятия"

В этом видеоуроке вы сможете более подробно изучить квадратные уравнения. Начнем с основных определений, с которыми вам следует познакомиться.
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0 при а не равно 0, называется квадратным уравнением, в котором a, b, c это действительные числа.
a– старший, или первый, коэффициент;
b– коэффициент при x, или второй;
c– свободный член.

Уравнение, которое содержит все три слагаемых, называется полным квадратным уравнением. То есть, это уравнение, в котором коэффициенты b и c не равно 0. Уравнение, которое не содержит всех слагаемых, называется неполным квадратным уравнением. То есть, это уравнение, в котором хотя бы один коэффициент bилиc равен 0. Старший член квадратного уравнения ax2 всегда присутствует.
В случае, когда первый коэффициент равен 1, квадратное уравнение принято называть приведенным. Непереведенным квадратным уравнение называется уравнение, первый коэффициент которого отличен от 1.

Наглядный пример приведенного и непереведенного квадратного уравнения вы увидите в видеоуроке.
Любое значение переменной x, при котором трёхчлен ax2 + bx + c равен 0, называется корнем квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Иными словами, корнем квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 является такое значение переменной x, при подстановке которого выполняется числовое равенство 0 = 0.

Результат нахождения или установления отсутствия корней и будет решением квадратного уравнения.
Существует мысль, что математики изначально решали неполные квадратные уравнения, поскольку это не требовало введения никаких новшеств. Приведем примеры нескольких уравнений такого вида.
a) 3x2 – 5x = 0
Решение.
Дано неполное квадратное уравнение 3x2 – 5x = 0, неполным оно является в силу отсутствия свободного члена. Выносим x за знак скобок, получаем: x(3x – 5) = 0. Находим x = 1 целая 2/3. Это уравнение имеет два корня, при которых равенство будет верно: x1 = 0 и х2 = 1 целая 2/3.
a) 7x2 = 0

Решение
7x2 = 0, то x2 = 0. В этом случае корнем уравнения будет x = 0.
a) 15x2 – 3 = 0
Решение
15x2 = 3, то x2 = 3/15. Это сократимая дробь x2 = 1/5. В итоге получаем два корня: x1 = √1/5, x2 = -√1/5. Записать ответ так же можно короче: x1,2 = +- √1/5.
Другие примеры неполных квадратных уравнений и алгоритм их решения вы можете увидеть в видеоуроке.
Как было показано, в вышеприведенных примерах неполное квадратное уравнение может иметь два, одно или вовсе не иметь решений. Это относится и к полным квадратным уравнениям. Чтобы аргументировать это, достаточно рассмотреть параболу. Вы знаете, что её графиком является y = ax2 + bx + c, а корнями уравнения ax2 + bx + c являются абсциссы точек пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью x. Существует только три варианта пересечения оси параболой, а именно: в двух точках, одной или не пересекать её вовсе. Если парабола пересекает ось в двух точках, то это значит, что квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 имеет два решения, если в одной – одно решение, если не пересекается вовсе, то решений нет.
Доказательство этого утверждения, опирающееся на иллюстрацию, вы найдете в видео.

Любое полное квадратное уравнение можно решить с помощью множества различных способов, описание которых вы непременно найдете в видеоуроке.