Урок математики в 10 классе "Исследование функций"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа

сИвановка Ивантеевского района Саратовской области»

Тема: Исследование функций и построение их графиков.

Цели:

• повторить алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и экстремумы;

• используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика, строить графики функций;

• способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.

Планируемый результат урока:

• знать необходимые и достаточные условия экстремума;

• знать схему построения графиков функций;

• уметь по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций.

Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».

Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Устный счет.

III. Сообщение темы и цели урока.

Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.

Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.

Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.

IV. Изучение нового материала.

Повторение теоретического материала.

• Как находить экстремумы функции?

Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума): Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке х = х₀, то в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.

Если f ´(х) = 0, то х₀ – стационарная точка,

если f ´(х) не существует, то х₀ – критическая точка.

Т5 (достаточное условие существования экстремума): Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х₀. Тогда

а) x₀ – точка max, если производная меняет знак с плюса на минус.

f '(x) + -

f (x) x₀ x

б) x₀ – точка min, если производная меняет знак с минуса на плюс.

f ' (x) + -

f (x) x

в) x₀ – точка перегиба, если знаки производной слева и справа одинаковые.

f ' (x) - - f '(x) + + _________________ x₀ ________________ x ________________ x₀ __________________x

f (x) f(x)

V. Физминутка.

Это классическое упражнение. Оно расслабляет затылочную и плечевую мускулатуру и улучшает дыхание. В головной мозг поступает много кислорода, за счет чего улучшается еще и слух и зрение.

• Положите руки на стол перед собой. Выдохните и позвольте своей голове медленно опуститься вниз. Почувствуйте, мускулы вашего затылка растянулись, полностью расслабьте плечи. Теперь снова медленно поднимите голову и при этом сделайте вдох. Дайте голове полностью откинуться назад, пока вам не покажется, что ваша грудная клетка распахнулась и наполнилась воздухом. Когда вы снова будете выдыхать, делайте это медленно и снова опустите голову вниз, пока подбородок вновь не ляжет на грудь. Подарите себе три таких особенных освежающих вдоха.

Это упражнение активизирует кровообращение ног.

• Сядьте поудобнее, облокотитесь на спинку стула, вытяните перед собой ноги, вытяните на себя стопы. Почувствуйте, как растягиваются икроножные мышцы.

• Теперь покрутите стопами сначала в одну сторону, затем в другую.

VI. Закрепление изученного материала.

Исследование функции по графику производной.

Задачи ЕГЭ (группа В)

Функция y = f (x) определена на промежутке [-6; 3]. График производной изображен на рисунке.

у y = f ' (x)

f ' (x) _ + _ + _

_______●______________●__________●______________●______________________

f (x) -5 -2 0 2

Задания для учащихся.

1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:

Как называются точки -5, -2, 0, 2 ? (Стационарные точки)

1. Ответить на вопросы:

• Укажите число точек максимума. ( х_max = -2, х_min = 2). Ответ: 2.

• Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.

• Укажите число точек минимума функции. (x_min = -5, x_min = 0) Ответ: 2.

• Укажите число промежутков возрастания функции. [-5; -2],[0; 2]. Ответ: 2.

• Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. -5; -2; 0; 2 . Ответ: 4.

• Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2; 0] Ответ: 2.

• Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.

• Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3 + 2 = 5) Ответ: 5.

• Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.

Схема исследования свойств функции и построение графика функции.

Пример 1. а) Построить график функции y = 5x³ – 3x⁵

1). D (y) = (- ∞; +∞).

2). Функция нечетная.

3). Нули функции: у = 0 х³ (5 – 3х²) = 0,

х = 0, х = ±

4). Промежутки монотонности :

у ' = 15х² – 15 х⁴ ,

у ' = 0, 15х² (1 – х²) = 0

х = 0, х = ±1 – стационарные точки.

у '(х) - + + -

______________________________________________

у(х) -1 0 1 х

х_min = -1, x_max = 1, x = 0 –точка перегиба

у_min = у (-1)= - 5 + 3 = - 2

y_max = y (1) = 5 – 3 =2

y (0) = 0

5). Построим график функции:

Задачи централизованного тестирования.

1. Найдите количество точек экстремума функции у = 0,6х⁵ - 1,5х⁴ + х³ + 4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

у ' = 3х⁴ – 6х³ + 3х² Решение:

у ' + + + х

3х² (х² – 2х + 1) = 0 __________________________

х² (х – 1)² = 0 у 0 1

Нет экстремумов

Ответ: 1

2. Найдите длину промежутка убывания функции у = 3х⁵ - 5х³ + 1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

Решение :

у ' =15х⁴ – 15х²

15х² (х² - 1) = 0

х = 0 – корень четной кратности

у ' + - - +

___________________________________

у - 1 0 1

х = ± 1

Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.

Ответ: 3

3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х⁵ – 15х².

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

Решение:

у ' =15х⁴ – 30х

15х ( х³ - 2) = 0 у ' + - +

х = 0, х = - точки экстремумов ___________________________________ х

у

Ответ: 3

4. Найдите значение функции у = 2х² - в точке минимума.

Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0

Решение:

у ' = 4х -

=0, 8х^3/2 – 1 =0, х > 0, х =

у_min = у () = 2 - = - = -

у ' - +

_________○________________●__________х

у 0

Ответ: 2

5. Найдите количество точек экстремума функции у = .

Ответы: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0

Решение:

у = - +

у ' = - = 0

х = ± 1 – стационарная точка

х = 0 - критическая точка

у ' + - - +

_______________●______○______●_______ х х_max = -1, х_min = 1

у

-1 0 1

Ответ: 2

6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )² .

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5)

Решение:

у ' =2 (х -1) + ОДЗ. х > 0

=0; = 0;

5х² – 6х +1 = 0 х ₁= 1, х₂ = - стационарные точки, х = 0 – критическая точка

х > 0

у ' + - +

__________○________●________●________х х_min = 1

у 0 1

Ответ: 2

7. Найти количество точек экстремумов функции у = .

Ответы: 1) 2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

Решение:

у = - +

у ' = - , =0

х = ± 3 – стационарные точки

х = 0 - критическая точка четной кратности

у ' + - - +

____________●________○_________●_______ х х_max = -3, x_min = 3

у -3 0 3

Ответ: 1

8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)⁴ .

Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1

Решение:

у ' =4 (х – 1)³ + ; =0; =0

х = 1, х = - стационарные точки

х = 0 – критическая точка (х > 0)

у ' + - +

______○_________●_________●_________х х_max =

у 0 1

Ответ: 4

VII. Итог урока. Рефлексия.

• Повторили условия существования экстремума.

• По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.

• По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.

• Познакомились с заданиями централизованного тестирования.

• Продолжи предложение:

• Я узнал…

• Я научился…

• Мне понравилось…

• Я затруднялся…

• Моё настроение…

• Материал урока мне был ….

VIII. Оценка работ.

• На уроке я работал ….

• Своей работой на уроке я ….

• Урок для меня показался ….

• За урок я ….

IX. Домашнее задание: страница 178 § 30, задания типа В9 (ЕГЭ)

1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х⁵ -1,5х⁴+х³+4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5

2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х⁵-5х³+1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х⁵ – 15х².

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

4. Найдите значение функции у = 2х² - в точке минимума.

Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0

5. Найдите количество точек экстремума функции у = .

Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0

6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )² .

Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5)

7. Найти количество точек экстремумов функции у = .

Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)⁴ .

Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1