Уроки математики / Конспект урока / Урок математики в 10 классе "Исследование функций"

Урок математики в 10 классе "Исследование функций"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа

сИвановка Ивантеевского района Саратовской области»

Тема: Исследование функций и построение их графиков.

Цели:

  • повторить алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и экстремумы;

  • используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика, строить графики функций;

  • способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.

Планируемый результат урока:

  • знать необходимые и достаточные условия экстремума;

  • знать схему построения графиков функций;

  • уметь по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций.

Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».

Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Устный счет.

III. Сообщение темы и цели урока.

Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.

Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.

Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.

IV. Изучение нового материала.

Повторение теоретического материала.

  • Как находить экстремумы функции?

Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума): Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.

Если f ´(х) = 0, то х0 – стационарная точка,

если f ´(х) не существует, то х0 – критическая точка.

Т5 (достаточное условие существования экстремума): Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда

а) x0 – точка max, если производная меняет знак с плюса на минус.

f '(x) + -

f (x) x0 x

б) x0 – точка min, если производная меняет знак с минуса на плюс.

f ' (x) + -

f (x) x

в) x0 – точка перегиба, если знаки производной слева и справа одинаковые.

f ' (x) - - f '(x) + + _________________ x0 ________________ x ________________ x0 __________________x

f (x) f(x)

V. Физминутка.

Это классическое упражнение. Оно расслабляет затылочную и плечевую мускулатуру и улучшает дыхание. В головной мозг поступает много кислорода, за счет чего улучшается еще и слух и зрение.

  • Положите руки на стол перед собой. Выдохните и позвольте своей голове медленно опуститься вниз. Почувствуйте, мускулы вашего затылка растянулись, полностью расслабьте плечи. Теперь снова медленно поднимите голову и при этом сделайте вдох. Дайте голове полностью откинуться назад, пока вам не покажется, что ваша грудная клетка распахнулась и наполнилась воздухом. Когда вы снова будете выдыхать, делайте это медленно и снова опустите голову вниз, пока подбородок вновь не ляжет на грудь. Подарите себе три таких особенных освежающих вдоха.

Это упражнение активизирует кровообращение ног.

  • Сядьте поудобнее, облокотитесь на спинку стула, вытяните перед собой ноги, вытяните на себя стопы. Почувствуйте, как растягиваются икроножные мышцы.

  • Теперь покрутите стопами сначала в одну сторону, затем в другую.

VI. Закрепление изученного материала.

Исследование функции по графику производной.

Задачи ЕГЭ (группа В)

Функция y = f (x) определена на промежутке [-6; 3]. График производной изображен на рисунке.

у y = f ' (x)

f ' (x) _ + _ + _

_______●______________●__________●______________●______________________

f (x) -5 -2 0 2

Задания для учащихся.

1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:

Как называются точки -5, -2, 0, 2 ? (Стационарные точки)

  1. Ответить на вопросы:

  • Укажите число точек максимума. ( хmax = -2, хmin = 2). Ответ: 2.

  • Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.

  • Укажите число точек минимума функции. (xmin = -5, xmin = 0) Ответ: 2.

  • Укажите число промежутков возрастания функции. [-5; -2],[0; 2]. Ответ: 2.

  • Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. -5; -2; 0; 2 . Ответ: 4.

  • Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2; 0] Ответ: 2.

  • Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.

  • Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3 + 2 = 5) Ответ: 5.

  • Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.

Схема исследования свойств функции и построение графика функции.

Пример 1. а) Построить график функции y = 5x3 – 3x5

1). D (y) = (- ∞; +∞).

2). Функция нечетная.

3). Нули функции: у = 0 х3 (5 – 3х2) = 0,

х = 0, х = ±

4). Промежутки монотонности :

у ' = 15х2 – 15 х4 ,

у ' = 0, 15х2 (1 – х2) = 0

х = 0, х = ±1 – стационарные точки.

у '(х) - + + -

______________________________________________

у(х) -1 0 1 х

хmin = -1, xmax = 1, x = 0 –точка перегиба

уmin = у (-1)= - 5 + 3 = - 2

ymax = y (1) = 5 – 3 =2

y (0) = 0

5). Построим график функции:

Задачи централизованного тестирования.

1. Найдите количество точек экстремума функции у = 0,6х5 - 1,5х4 + х3 + 4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

у ' = 3х4 – 6х3 + 3х2 Решение:

у ' + + + х

22 – 2х + 1) = 0 __________________________

х2 (х – 1)2 = 0 у 0 1

Нет экстремумов

Ответ: 1

2. Найдите длину промежутка убывания функции у = 3х5 - 5х3 + 1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

Решение :

у ' =15х4 – 15х2

15х22 - 1) = 0

х = 0 – корень четной кратности

у ' + - - +

___________________________________

у - 1 0 1

х = ± 1

Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.

Ответ: 3

3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

Решение:

у ' =15х4 – 30х

15х ( х3 - 2) = 0 у ' + - +

х = 0, х = - точки экстремумов ___________________________________ х

у

Ответ: 3

4. Найдите значение функции у = 2х2 - в точке минимума.

Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0

Решение:

у ' = 4х -

=0, 8х3/2 – 1 =0, х > 0, х =

уmin = у () = 2 - = - = -

у ' - +

_________○________________●__________х

у 0

Ответ: 2

5. Найдите количество точек экстремума функции у = .

Ответы: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0

Решение:

у = - +

у ' = - = 0

х = ± 1 – стационарная точка

х = 0 - критическая точка

у ' + - - +

_______________●______○______●_______ х хmax = -1, хmin = 1

у

-1 0 1

Ответ: 2

6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 .

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5)

Решение:

у ' =2 (х -1) + ОДЗ. х > 0

=0; = 0;

2 – 6х +1 = 0 х 1= 1, х2 = - стационарные точки, х = 0 – критическая точка

х > 0

у ' + - +

__________○________●________●________х хmin = 1

у 0 1

Ответ: 2

7. Найти количество точек экстремумов функции у = .

Ответы: 1) 2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

Решение:

у = - +

у ' = - , =0

х = ± 3 – стационарные точки

х = 0 - критическая точка четной кратности

у ' + - - +

____________●________○_________●_______ х хmax = -3, xmin = 3

у -3 0 3

Ответ: 1

8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 .

Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1

Решение:

у ' =4 (х – 1)3 + ; =0; =0

х = 1, х = - стационарные точки

х = 0 – критическая точка (х > 0)

у ' + - +

______○_________●_________●_________х хmax =

у 0 1

Ответ: 4

VII. Итог урока. Рефлексия.

  • Повторили условия существования экстремума.

  • По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.

  • По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.

  • Познакомились с заданиями централизованного тестирования.

  • Продолжи предложение:

  • Я узнал…

  • Я научился…

  • Мне понравилось…

  • Я затруднялся…

  • Моё настроение…

  • Материал урока мне был ….

VIII. Оценка работ.

  • На уроке я работал ….

  • Своей работой на уроке я ….

  • Урок для меня показался ….

  • За урок я ….

IX. Домашнее задание: страница 178 § 30, задания типа В9 (ЕГЭ)

1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 -1,5х43+4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5

2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

4. Найдите значение функции у = 2х2 - в точке минимума.

Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0

5. Найдите количество точек экстремума функции у = .

Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0

6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 .

Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5)

7. Найти количество точек экстремумов функции у = .

Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 .

Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1

Автор
Дата добавления 21.01.2018
Раздел Алгебра
Подраздел Конспект урока
Просмотров315
Номер материала 5190
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.