Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа
сИвановка Ивантеевского района Саратовской области»
Тема: Исследование функций и построение их графиков.
Цели:
повторить алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и экстремумы;
используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика, строить графики функций;
способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.
Планируемый результат урока:
знать необходимые и достаточные условия экстремума;
знать схему построения графиков функций;
уметь по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций.
Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».
Ход урока:
I. Организационный момент.
II. Устный счет.
III. Сообщение темы и цели урока.
Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.
Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.
Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.
IV. Изучение нового материала.
Повторение теоретического материала.
Как находить экстремумы функции?
Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума): Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.
Если f ´(х) = 0, то х0 – стационарная точка,
если f ´(х) не существует, то х0 – критическая точка.
Т5 (достаточное условие существования экстремума): Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда
а) x0 – точка max, если производная меняет знак с плюса на минус.
f '(x) + -
f (x) x0 x
б) x0 – точка min, если производная меняет знак с минуса на плюс.
f ' (x) + -
f (x) x
в) x0 – точка перегиба, если знаки производной слева и справа одинаковые.
f ' (x) - - f '(x) + + _________________ x0 ________________ x ________________ x0 __________________x
f (x) f(x)
V. Физминутка.
Это классическое упражнение. Оно расслабляет затылочную и плечевую мускулатуру и улучшает дыхание. В головной мозг поступает много кислорода, за счет чего улучшается еще и слух и зрение.
Положите руки на стол перед собой. Выдохните и позвольте своей голове медленно опуститься вниз. Почувствуйте, мускулы вашего затылка растянулись, полностью расслабьте плечи. Теперь снова медленно поднимите голову и при этом сделайте вдох. Дайте голове полностью откинуться назад, пока вам не покажется, что ваша грудная клетка распахнулась и наполнилась воздухом. Когда вы снова будете выдыхать, делайте это медленно и снова опустите голову вниз, пока подбородок вновь не ляжет на грудь. Подарите себе три таких особенных освежающих вдоха.
Это упражнение активизирует кровообращение ног.
Сядьте поудобнее, облокотитесь на спинку стула, вытяните перед собой ноги, вытяните на себя стопы. Почувствуйте, как растягиваются икроножные мышцы.
Теперь покрутите стопами сначала в одну сторону, затем в другую.
VI. Закрепление изученного материала.
Исследование функции по графику производной.
Задачи ЕГЭ (группа В)
Функция y = f (x) определена на промежутке [-6; 3]. График производной изображен на рисунке.
у y = f ' (x)
f ' (x) _ + _ + _
_______●______________●__________●______________●______________________
f (x) -5 -2 0 2
Задания для учащихся.
1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:
Как называются точки -5, -2, 0, 2 ? (Стационарные точки)
Ответить на вопросы:
Укажите число точек максимума. ( хmax = -2, хmin = 2). Ответ: 2.
Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.
Укажите число точек минимума функции. (xmin = -5, xmin = 0) Ответ: 2.
Укажите число промежутков возрастания функции. [-5; -2],[0; 2]. Ответ: 2.
Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. -5; -2; 0; 2 . Ответ: 4.
Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2; 0] Ответ: 2.
Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.
Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3 + 2 = 5) Ответ: 5.
Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.
Схема исследования свойств функции и построение графика функции.
Пример 1. а) Построить график функции y = 5x3 – 3x5
1). D (y) = (- ∞; +∞).
2). Функция нечетная.
3). Нули функции: у = 0 х3 (5 – 3х2) = 0,
х = 0, х = ±
4). Промежутки монотонности :
у ' = 15х2 – 15 х4 ,
у ' = 0, 15х2 (1 – х2) = 0
х = 0, х = ±1 – стационарные точки.
у '(х) - + + -
______________________________________________
у(х) -1 0 1 х
хmin = -1, xmax = 1, x = 0 –точка перегиба
уmin = у (-1)= - 5 + 3 = - 2
ymax = y (1) = 5 – 3 =2
y (0) = 0
5). Построим график функции:
Задачи централизованного тестирования.
1. Найдите количество точек экстремума функции у = 0,6х5 - 1,5х4 + х3 + 4.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
у ' = 3х4 – 6х3 + 3х2 Решение:
у ' + + + х
3х2 (х2 – 2х + 1) = 0 __________________________
х2 (х – 1)2 = 0 у 0 1
Нет экстремумов
Ответ: 1
2. Найдите длину промежутка убывания функции у = 3х5 - 5х3 + 1.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
Решение :
у ' =15х4 – 15х2
15х2 (х2 - 1) = 0
х = 0 – корень четной кратности
у ' + - - +
___________________________________
у - 1 0 1
х = ± 1
Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.
Ответ: 3
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4
Решение:
у ' =15х4 – 30х
15х ( х3 - 2) = 0 у ' + - +
х = 0, х = - точки экстремумов ___________________________________ х
у
Ответ: 3
4. Найдите значение функции у = 2х2 - в точке минимума.
Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0
Решение:
у ' = 4х -
=0, 8х3/2 – 1 =0, х > 0, х =
уmin = у () = 2 - = - = -
у ' - +
_________○________________●__________х
у 0
Ответ: 2
5. Найдите количество точек экстремума функции у = .
Ответы: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0
Решение:
у = - +
у ' = - = 0
х = ± 1 – стационарная точка
х = 0 - критическая точка
у ' + - - +
_______________●______○______●_______ х хmax = -1, хmin = 1
у
-1 0 1
Ответ: 2
6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 .
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5)
Решение:
у ' =2 (х -1) + ОДЗ. х > 0
=0; = 0;
5х2 – 6х +1 = 0 х 1= 1, х2 = - стационарные точки, х = 0 – критическая точка
х > 0
у ' + - +
__________○________●________●________х хmin = 1
у 0 1
Ответ: 2
7. Найти количество точек экстремумов функции у = .
Ответы: 1) 2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4
Решение:
у = - +
у ' = - , =0
х = ± 3 – стационарные точки
х = 0 - критическая точка четной кратности
у ' + - - +
____________●________○_________●_______ х хmax = -3, xmin = 3
у -3 0 3
Ответ: 1
8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 .
Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1
Решение:
у ' =4 (х – 1)3 + ; =0; =0
х = 1, х = - стационарные точки
х = 0 – критическая точка (х > 0)
у ' + - +
______○_________●_________●_________х хmax =
у 0 1
Ответ: 4
VII. Итог урока. Рефлексия.
Повторили условия существования экстремума.
По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.
По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.
Познакомились с заданиями централизованного тестирования.
Продолжи предложение:
Я узнал…
Я научился…
Мне понравилось…
Я затруднялся…
Моё настроение…
Материал урока мне был ….
VIII. Оценка работ.
На уроке я работал ….
Своей работой на уроке я ….
Урок для меня показался ….
За урок я ….
IX. Домашнее задание: страница 178 § 30, задания типа В9 (ЕГЭ)
1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 -1,5х4+х3+4.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5
2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4
4. Найдите значение функции у = 2х2 - в точке минимума.
Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0
5. Найдите количество точек экстремума функции у = .
Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0
6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 .
Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5)
7. Найти количество точек экстремумов функции у = .
Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4
8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 .
Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1
Автор |
|
---|---|
Дата добавления | 21.01.2018 |
Раздел | Алгебра |
Подраздел | Конспект урока |
Просмотров | 1109 |
Номер материала | 5190 |
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное. |