Урок «Метод координат в пространстве. Связь между координатами векторов и координатами точек»

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Повторим понятия

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если два ненулевых вектора  и   коллинеарны и если при этом лучи АВ и СD  сонаправлены, то векторы  и   называются сонаправленными.

Определение

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.

Докажем, что координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

Обозначим координаты данной точки Cчерез (х; у; z).

Пусть A, D, B — точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку C перпендикулярно к этим осям. 

Тогда

 = + +  (вектор ОЦэ равен сумме векторов ОА, ОДэ, ОБэ)

Докажем, что = х. (вектор ОА равен произведению икс на вектор и)

1.В самом деле, если точка A, лежит на положительной полуоси абсцисс, то х = ОА (то икс равен длине отрезка ОА), а векторы  и  сонаправлены. Поэтому  = OA*=х (вектор ОА равен произведению длины отрезка ОА на вектор и, значит, равен произведению икс на вектор и).

2.Если точка A, лежит на отрицательной полуоси абсцисс, то х = - ОA, а векторы и  противоположно направлены. Поэтому  = - OA*=х(вектор ОА равен произведению длины отрезка ОА с минусом на вектор и, значит, равен произведению икс на вектор и).

3.Наконец, если точка A совпадает с точкой О, то х = 0, = .

 Поэтому х= , и снова справедливо равенство  = х.

Таким образом, в любом случае  = х.

Аналогично доказывается, что = у,  = z.(вектор ОДэ равен произведению игрек на вектор джи, вектор ОБэ равен произведению зэт на вектор ка)

Подставив эти выражения в равенство, получим = х+ у + z.

Отсюда следует, что координаты вектора равны {х; у; z}, т. е. координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора , что и требовалось доказать.

Докажем утверждение.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Пусть точка D имеет координаты (х₁; у₁; z₁), а точка C– координаты (х₂; у₂; z₂). Вектор  равен разности векторов  и.

Поэтому его координаты равны разностям соответствующих координат векторов  и. Но координаты векторов  и совпадают с соответствующими координатами точек C и D: { х₂; у₂; z₂}, { х₁; у₁; z₁}

Поэтому вектор  имеет координаты {х₂ - х₁; у₂ - у₁; z₂ - z₁}.

Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Задача 1.

Даны точки А(2; –3: 0), B(7; –12; 18), C(–8; 0; 5).  Запишите координаты векторов , и , если точка О – начало координат.

Решение

По определению, если точка О является началом координат, то векторы , и  являются радиус-векторами и их координаты совпадают с координатами их конца, отсюда

{2; –3: 0}, {7; –12; 18} и {(–8; 0; 5}.

Задача 2.

Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам:  Решение:

Противоположные векторы графически имеют противоположное направление, а при записи имеют разные знаки, следовательно, их координаты имеют разные знаки