Уроки математики / Видеоурок / Урок «Метод координат в пространстве. Угол между векторами»

Урок «Метод координат в пространстве. Угол между векторами»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Для изучения новой темы понадобится определение сонаправленных векторов.

Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и их направления совпадают.

Возьмем два произвольных вектора  и . Отложим от какой-нибудь точки М векторы  =  и =.

Урок «Метод координат в пространстве. Угол между векторами»

Если векторы  и  не являются сонаправленными, то лучи МВ и МС образуют угол ВМС. Градусную меру этого угла обозначим буквой α (альфа)  и будем говорить, что угол между векторами  и  равен α.

Если же векторы  и  сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между ними равен 0°.

Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными.

Угол между векторами   и  обозначается так: =.

Пример

Дан угол и векторы , ,,,. Углы между ними таковы :  =З0° (угол между векторами а и бэ равен тридцати градусам),  =120°,  = 90°, = 0°,  =180°.

Урок «Метод координат в пространстве. Угол между векторами»

Тогда , ,  (вектор бэ перпендикулярен вектору цэ, вектор бэ перпендикулярен вектору дэ, вектор бэ перпендикулярен вектору эф).

Рассмотрим простейшие задачи

Задача 1

Дан куб KMNPK1M1N1P1.

Найти угол между векторами

  1.  и
  2.  и 
  3.    и
  4.   и

Урок «Метод координат в пространстве. Угол между векторами»

Решение

1.Векторы  и  совпадают с катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника MM1N, поэтому  = 45°

=   =  = 90°

Предположим, что сторона куба равна а единицам. Из прямоугольного треугольника КММ1 найдем КМ1. Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов. Следовательно, КМ1 =  =  =  =        

Векторы  и  лежат в одной плоскости KM1N1P.

Продолжим прямую М1Р от точки Р на длину вектора . Обозначим конец получившегося вектора точкой С. Тогда  = . Следовательно,  = .

Найдем .  Для этого вычислим величину угла КРС.

КРС = КРО + ОРС, где КРО = 90°, а ОРС = КМ1Р (КМ1 || ОN1, М1С - секущая).

Треугольник КМ1Р – прямоугольный. Следовательно, tgКМ1Р =  =  (по формуле)  →  tgКМ1Р =  → КМ1Р = ОРС = 45°.

Значит,  КРС = КРО +ОРС = 90° + 45° = 135° → = 135°

Следовательно,

=  = 135°

=  →  = 0°

Задача 2

Урок «Метод координат в пространстве. Угол между векторами»

Угол между векторами  и  равен α.

Найти

Решение

Отложим векторы и от любой точки О и построим векторы и .

Тогда  =  как вертикальные.

Значит = α

Тогда  и  - смежные.

Значит  = 180° – α

Автор
Дата добавления 07.11.2014
Раздел Геометрия
Подраздел Видеоурок
Просмотров1518
Номер материала 990
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.