Уроки математики / Видеоурок / Урок «Понятие конуса»

Урок «Понятие конуса»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Сегодня мы рассмотрим пространственную геометрическую фигуру — «круглое» геометрическое тело — конус.

Давайте вспомним, какие предметы, окружающие нас, имеют форму  конуса.

Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем в плоскости α окружность L  с центром O  и прямую OP, перпендикулярную к этой окружности.

Урок «Понятие конуса»

Каждую точку окружности соединим прямыми с точкой P. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности.

Точка Р называется вершиной, а прямая OР – осью конической поверхности.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса.

Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса.

Ось конуса перпендикулярна плоскости основания.

Отрезок OP называется высотой конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса.

Следует запомнить, что все образующие конуса равны друг другу.

Ещё один способ построения конуса – вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Урок «Понятие конуса»

На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника МОР  вокруг катета МО.  При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы МР, а основание — вращением катета РО.

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями.

1.Секущая плоскость проходит через ось конуса.

В этом случае  сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым.

2.Секущая плоскость перпендикулярна оси ОР конуса.

В этом случае сечение конуса представляет собой круг с центром О, расположенным на оси конуса.

Радиус r1 этого круга равен  ,

где r  - радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО1М1.

Докажем, что треугольники подобны.

У прямоугольного треугольника  один угол прямой. Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу. Треугольники РОМ и РО1М1. подобны, так как имеют общий острый угол Р, следовательно, сходственные стороны пропорциональны.

Задача

Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Построим чертеж и запишем, что дано и что найти по условию задачи.

Решение:

Урок «Понятие конуса»

Рассмотрим треугольник ОРВ, он прямоугольный, так как РО перпендикулярно АВ и, по определению конуса, — его высота, значит угол РОВ=90⁰.

Из треугольника ОРВ по теореме Пифагора найдем РВ — гипотенузу треугольника и образующую конуса.

Историческая справка!

Коническое сечение  есть пересечение плоскости с круговым конусом. Впервые рассмотрел их  Аполлоний, который в математике известен своими «Коническими сечениями», в которых он дал полное изложение теории, причем развил аналитические и проективные методы.

Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола.

а) Секущая плоскость пересекает все образующие конической поверхности в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

б) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конической поверхности; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.

Урок «Понятие конуса»

в) Секущая плоскость пересекает обе полости конической поверхности; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

Автор
Дата добавления 07.11.2014
Раздел Геометрия
Подраздел Видеоурок
Просмотров1910
Номер материала 999
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.