Урок "Свойства функции y=√x"

В предыдущий раз мы познакомились с этой функцией и её видом. Сейчас же мы более детально поговорим о свойствах, которые вытекают из её геометрического вида – параболы.

1)     Функция определена в области [0;+∞);

Это свойство говорит нам о том, что икс принимает значения от нуля и до бесконечности. Самым главным здесь является то, что все значения строго положительные, и игрик просто не существует при значениях x<0.

2)      x=0 при y=0; y>0 при x>0;

Это свойство следует понимать как то, что функция берет начало в координатах [0,0], а при увеличении значения аргумента (икса) увеличивается и значение самой функции.

3)     На промежутке [0;+∞) функция возрастает;

Если представить себе график функции как настоящую горку и отправиться по ней в путешествие в сторону увеличения икса, то мы всегда будем подниматься всё выше и выше. Это и есть свойство возрастания функции.

К данному примеру это не относится, но если взять другую, убывающую функцию, то путешествие по ней (опять же, в сторону увеличения икса) будет легче, чем в первом случае, потому что нам придется все время спускаться, тратя меньше сил.

4)     y_min= 0 при x = 0; y_max не существует

y_min– наименьшее значение функции

y_max – наибольшее значение функции

Как мы уже заметили выше, функция начинает своё существование в начале координат. Именно там и находится её наименьшее значение, которое она может принимать. А наибольшего значения не существует, потому что она всегда возрастает, сколь большим бы мы не брали значение аргумента. Но если же мы поставим какие-то рамки, например, x = [0,9], то y_max примет значение 3.

5)     Функция y = √x – непрерывная.

Это свойство говорит о том, что у функции нет разрывов. Можно провести аналогию с электрическим проводом. Если представить, что график функции – это провод, то он сплошной и проводит электричество только в том случае, если не имеет разрывов. Если его разорвать, он уже ни на что не сгодится. Так же и с функциями – они непрерывны только в том случае, если не имеют разрывов.

В предыдущем уроке говорилось о том, что две функции y = x² и y = √x очень похожи (они совпадают, если повернуть любую из них). Это так, и на этом схожести не заканчиваются. Все свойства, описанные выше для функции y = √x абсолютно идентичны и для функции y = x², что сильно смущало математиков, потому что они – люди очень придирчивые к мелочам. По их мнению, не может существовать двух разных функций с одинаковыми свойствами.

Они обнаружили принципиальные различия между этими двумя функциями. Если говорить определением, то разница заключалась в том, куда направлена выпуклость функции – вниз или вверх. Выпуклость можно себе представить как тарелку. Если тарелка стоит донышком вниз – то выпуклость направлена вниз. Если тарелка стоит донышком вверх – то и выпуклость направлена вверх.

На функциях это выглядит таким образом: мы берем две любые точки на графике (лучше всего первую взять в начале координат, а другую как можно дальше) и соединяем их прямой линией. Получившуюся фигуру закрашиваем и получаем выпуклость. На графике функции y = x² выпуклость будет направлена вниз, а у функции y = √x – вверх.

В видеоуроке выпуклости детально проиллюстрированы.

Разберем несколько примеров  типичных задач.

Найти максимальное и минимальное значение функции y = √x на отрезке

1.       x = [0,9]
2.       x = [2,4]

Решается эти задачи очень просто, если помнить о том, что наша функция непрерывно растет вверх вместе с увеличением её аргумента (икса). Потому, если у нас дан любой отрезок, имеющий начало и конец, то минимальное значение функции всегда будет в начале этого отрезка, а максимальное -  в конце.

Так, для примера, а y_min= 0, а y_max= √9 = 3,

А в примере by_min= √2, ay_max= √4 = 2

Множество других решений задач вы можете увидеть в видеоуроке.