Урок "Синус и косинус разности аргументов"

Данный электронный ресурс является отличным материалом для проведения интерактивного обучения в современных школах. Он составлен грамотно, обладает четкой структурой и соответствует школьному плану. Благодаря подробным объяснениям, тема, которая представлена в видеоуроке станет понятна как можно большему количеству учеников в классе. Учителя должны помнить, что не все ученики имеют одинаковую степень восприятия, быстроты понимания, базу. Справиться с трудностями и догнать своих сверстников, исправить успеваемость, помогут подобные материалы. С помощью них в домашней спокойной обстановке, самостоятельно либо вместе с репетитором, ученик может разобраться в той или иной теме, изучить теорию и просмотреть примеры практического применения той или иной формулы и т.д.

Данный видеоурок посвящен теме «Синус и косинус разности аргументов». Подразумевается, что ученики уже изучили основы тригонометрии, ознакомлены с основными функциями и их свойствами, формулами привидения и таблицами тригонометрических значений.

Также, до того, как перейти к изучению данной темы, необходимо иметь понятие о синусе и косинусе суммы аргументов, знать две основные формулы и уметь ими пользоваться.

Вначале видеоурока диктор напоминает школьникам эти две формулы. Далее демонстрируется первая формула – синус разности аргументов. Помимо того, как выводится сама формула, показывается каким образом она получается от другой. Таким образом, школьнику не придется зазубривать новую формулу без понимания, что является частой ошибкой. Это очень важно для учеников в этом классе. Нужно всегда помнить, что перед знаком минуса всего можно добавить знак +, а минуса на знак плюс в итоге превратится в минус. С помощью такого нехитрого шага, можно воспользоваться формулой синуса суммы и получить формулу синуса разности аргументов.

Далее используются формулы косинуса от отрицательного аргумента и синуса от отрицательного аргумента. Эти формулы также стоит вспомнить.

Аналогичным образом выводится формула косинуса разности из формулы косинуса суммы аргументов.

Диктор пошагово все объясняет, а в результате выводится общая формула косинуса суммы и разности аргументов и синуса, аналогично.

Первый пример из практической части данного видеоурока предлагает найти косинус Пи/12. Предлагается представить данное значение в виде некоторой разности, при котором уменьшаемое и вычитаемое будут являться табличными значениями. Далее применятся формула косинуса разности аргументов. Заменив выражение, можно подставить полученные значения и получить ответ. Диктор зачитывает ответ, который выводится в конце примера.

Второй пример представляет собой уравнение. И в правой, и в левой сторонах мы видим косинусы разностей аргументов. Диктор напоминает формулы приведений, которые используются для замены и упрощения этих выражения. Эти формулы записываются с правой стороны, чтобы школьники могли понять, откуда появляются те или иные изменения.

Еще один пример, третий, представляет собой некоторую дробь, где и в числителе и в знаменателе имеем тригонометрические выражения, а именно, разности произведений.

Здесь также при решении используются формулы приведений. Таким образом, школьники могут убедиться, что пропустив одну тему в тригонометрии, понять остальные будет все сложнее.

И, наконец, четвертый пример. Это также уравнение, при решении которых необходимо использовать новые изученные и старые формулы.

Примеры, которые приводятся в видеоуроке, можно рассмотреть более подробно и попробовать решить самостоятельно. Их можно задать в качестве домашнего задания школьникам. 

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тема занятия «Синус и косинус разности аргументов».

На предыдущем курсе мы познакомились с двумя тригонометрическими формулами синус и косинус суммы аргументов.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y  - sin x sin y.

 синус суммы двух углов равен сумме между произведением синуса первого угла и косинусом второго угла и произведением косинуса первого угла и синуса второго угла;

 косинус суммы двух углов равен разности между произведением косинусов этих углов и произведением суммы этих углов.

При помощи этих формул выведем формулы Синус и косинус разности аргументов.

Синус разности аргументов sin(x- y)

Эту формулу нужно читать так: синус разности  двух углов равен разности между произведением синуса первого угла и косинусом второго угла и произведением косинуса первого угла и синуса второго угла.

Две формулы (синус суммы и синус разности) можно записать в виде:

                        sin(x  y) = sin x cos y  cos x sin y.

Аналогично выведем  формулу  косинуса разности:

Косинус разности аргументов перепишем в виде суммы и применим уже известную формулу косинуса суммы: cos (x + y) = cosxcosy  - sinxsiny.

только для аргументов х и –y. Подставив данные аргументы в формулу, получим cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

Далее применим четность косинуса и нечетность синуса( т.е. cos(- y) = cosy,

sin(- y)= -  siny). и получим окончательное выражение cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +( - y)) =cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

Значит, cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

 косинус разности двух углов равен сумме между произведением косинусов этих углов и произведением синусов этих углов.

Объединяя две формулы (косинус суммы и косинус разности) в одну, запишем 

                      cos (x  y) = cosxcos y  sin xsin y.

Запомним, что формулы на практике можно применять как слева направо, так и наоборот.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1. Вычислить cos  (косинус пи, деленное на двенадцать).

Решение. Запишем  пи, деленное на двенадцать, как разность пи на три и пи, деленное на четыре:   =  - .

 Подставим значения в формулу косинуса разности: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, таким образом cos = cos ( - ) = cos  cos + sin  sin

Нам известно, что cos = , cos = sin= , sin = .  Показать таблицу значений.

Заменим значение синуса и косинуса числовыми значениями и получим    ∙  +  ∙  при умножении дробь на дробь числители и знаменатели перемножаем, получаем

cos = cos ( - ) = cos  cos + sin  sin   =   ∙  +  ∙   =   = =.

Ответ: cos =.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение cos(2π – 5х) = cos( – 5х) (косинус два пи минус пять икс равно косинусу от пи на два минус пять икс).

Решение. К левой и правой частям уравнения применим формулы приведения cos(2π – cos ( косинус два пи минус альфа равен косинусу альфа) и cos( –  = sin  ( косинус пи на два минус альфа равно синусу альфа), получим  cos 5х = sin 5х, приведем его к виду однородного уравнения первой степени и получим  cos 5х -  sin 5х = 0. Это однородное уравнение первой степени. Разделим почленно обе части уравнения на cos 5х. Имеем:

cos 5х: cos 5х  -  sin 5х: cos 5х  = 0, т.к. cos 5х: cos 5х  =1, а sin 5х: cos 5х= tg 5x, то получим:

1–tg 5x = 0

           - tg 5x=– 1

            tg 5x = 1,

Так как мы уже знаем, что уравнение  tgt = а имеет решение  t = arctgа + πn, а так как  у нас t=5х, а =1, то получим

            5x = arctg 1 + πn,

а значение arctg 1, тогда  tg 1=   Показать таблицу

 подставим значение в уравнение и решим его:

            5x =    + πn,

             х =  + .

Ответ:  х =  + .

ПРИМЕР 3. Найти значение дроби  . (в числителе разность произведения косинусов семидесяти пяти градусов и шестидесяти пяти градусов и произведения синусов  семидесяти пяти градусов и шестидесяти пяти градусов, а в знаменателе разность произведения синуса восьмидесяти пяти градусов и косинуса тридцати пяти градусов и произведения  косинуса восьмидесяти пяти градусов и синуса тридцати пяти градусов).

Решение. В числителе данной дроби разность можно «свернуть»  в косинус суммы аргументов 75° и 65°, а в знаменателе – разность «свернем»  в синус разности  аргументов 85° и 35°. Получим

Ответ: - 1.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение: cos( –х) + sin( –х) = 1(косинус разности пи на четыре и икс плюс синус разности пи на четыре и икс равно одному).

Решение. Применим формулы косинус разности и синус разности.

Показать общую формулу косинуса разности

Тогда cos ( –х) = cos cos х + sinsinх

Показать общую формулу синуса разности

а sin ( –х)= sin cosх – cos sinх

Подставим данные выражения в уравнение cos( –х) + sin( –х) = 1 и получим:

cos cos х + sinsin х + sin  cos х – cos  sin х = 1,

Так как cos=  и sin= Показать таблицу значение синуса и косинуса

Получим  ∙ cos х  +  ∙ sinх +   ∙ cos х  -  ∙ sinх = 1,

второе и четвертое слагаемые противоположны, поэтому взаимно уничтожаются, остается:

 ∙ cos  +   ∙ cos  = 1,

Решим данное уравнение и получим, что

2∙  ∙ cos x= 1,

 ∙ cos x = 1,

cos x  =   ,

cosx  =,

Так ка мы уже знаем, что уравнение  cos  = а имеет решение   t = arcosa+ 2πk, а так как  у нас t=x, а =, то получим

х =  arccos + 2πn,

а так как значение arccos, тогда  cos =  

Ответ: х =  + 2πn.