Урок «Показательные уравнения»

Дадим определение показательного уравнения.

Показательным уравнением называют уравнения вида        (а в степени эф от икс равно а в степени же от икс), где а – положительное число, отличное от единицы, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Вспомним теоремы, изученные на предыдущем уроке.

Терема 1: Если справедливо тогда и только тогда, когда m=n.

Теорема 3: Если справедливо тогда и только тогда, когда m=n.

Согласно этим теоремам  , где , справедливо тогда и только тогда,  когда m=n,  следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема: Показательное уравнение (а в степени эф от икс равно а в степени же от икс) (где ) равносильно уравнению f(x)=g(x) (эф от икс равно же от икс).

Пример 4: решите уравнение 

Применим свойство степени:

вынесем общий множитель за скобки:

решим полученное уравнение

Пример 6: решите уравнение (четыре в степени икс плюс два в степени икс плюс один равно восьмидесяти).

Применим свойство степени и представим

Тогда получим уравнение ,

введем новую переменную, обозначив  (два в степени икс через игрек), получим квадратное уравнение ,

применив теорему Виета (произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, а сумма корней равна второму коэффициенту взятому с противоположным знаком).То есть

у₁ + у₂ = -2, а  у₁∙ у₂ = -80. Значит,  .

Вернемся к обратной замене и решим два уравнения -10

Второе уравнение не имеет решения, так как (два в степени икс всегда положительно),  значит, решаем первое уравнение:

,

то есть х=3.

Проанализировав  приведенные примеры, данного и предыдущего уроков, можно заметить три приема решения показательных уравнений:

1.Функционально-графический, при котором используются графики функций или их свойства.

2. Уравнивания показателей, при котором применяются свойства степени и теоремы.

3. Введение новой переменной.

Рассмотрим более сложные  примеры, где необходимо применять в совокупности различные ранее полученные знания.

Пример 7: решите уравнение (три в степени два икс плюс один минус четыре, умноженное на двадцать один в степени икс, минус семь в степени два икс плюс один равно нулю).

Далее, используя свойство степени (частное степеней равно степени частному), имеем ; сократив на  и применив то же свойство степени.

Следовательно, уравнение имеет вид:

Введем новую переменную  и решим полученное уравнение

Используя формулу дискриминанта  (в нашем случае

b= -4, a = 3 , c = -7)

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

Вернемся к обозначению и решим два уравнения .

Первое уравнение не имеет решения, так как три седьмых в степени икс всегда положительно), а корнем второго является число минус один,  х=-1.