Презентация "Функция вида у= n√x, ее свойства и график"

Презентация «Функция вида у= ⁿ√x, ее свойства и график» предназначена для повышения эффективности школьного урока математики по данной теме. Используя наглядность представленного материала, учитель имеет возможность более быстро достичь учебных целей и задач, сформировать представление учеников о функции вида у=ⁿ√x, ее свойствах, научить решать математические задачи с применением изученного теоретического материала.

Форма презентации – одна из наиболее удобных форм наглядного представлении учебного материала. В ней может быть использовано множество инструментов, которые помогаю более понятно представить изучаемые понятия. Выполняемые построения хорошо отображают особенности предмета изучения, их линии четкие, хорошо видны ученикам с любого места в классе. Выделение определений и правил помогает ученикам лучше запомнить учебный материал, а яркое представление с использованием анимационных эффектов помогает удержать внимание учеников на изучаемом предмете.

Демонстрация начинается с обозначения функции корня n степени. На первом слайде в рамку выделена функция y=ⁿ√x, где х – неотрицательное. На втором слайде изображается график данной функции для n=4. На координатной плоскости сначала изображается одна ветвь параболы y=x⁴. Для построения графика координатами точек заполняется соответствующая таблица. По координатам изображается график. Для построения графика функции y=⁴√x заполняется аналогичная таблица с координатами точек. На рисунке видно, что график этой функции представляет собой такую же ветвь, как в предыдущей параболе, только симметричную относительно оси у=х.

На третьем слайде представлена теорема, в которой утверждается, что точки А(a;b) и B(b;a)симметричны относительно прямой у=х. Для доказательства изображается координатная плоскость, на которой строится график функции у=х и точки А и В с соответствующими координатами. От точек на оси абсцисс и ординат опускаются перпендикуляры. При этом абсцисса А по модулю равна ординате В, ОС=ОВ=а, и наоборот, ордината А равна абсциссе В, то есть СА=ВК=b. Так как для нахождения абсцисс и ординат на оси координат опускались перпендикуляры, то ∠АСО=∠ВКО=90°. Согласно построению, АО=ОВ, и треугольник ΔАОВ является равнобедренным. Из этого следует равенство углов ∠СОА=∠КОВ и ∠АОМ=∠ВОМ. Соответственно, относительно оси у=х точки А и В являются симметричными.

Общий вывод относительно построения графика функции у=³√x дается на слайде 5, на котором отмечается, что график можно получить из ветви кубической параболы y=x³ , где х – отрицательные, если симметрично отобразить данную параболу относительно прямой у=х. На слайде 6 изображено построение графика функции у=⁶√x преобразованием ветви графика функции y=x⁶ относительно прямой у=х. Графики и ось симметрии выделяются разными цветами, отмечается, что точка их пересечения с координатами (1;1). Аналогично на слайде 7 представлено построение графика функции y=ⁿ√x в отрицательной полуплоскости, если ветвь графика функции y=xⁿ уходит от начала координат вниз. Симметрично относительно прямой, графика функции у=х строится график функции y=ⁿ√x.

На слайде 8 представлены свойства функции y=ⁿ√x для нечетного n при неположительном х. Перечень свойств сопровождается рисунком, на котором эти свойства могут быть продемонстрированы. Сначала дается область определения такой функции, составляющая отрицательную полуось оси абсцисс и нуль. Область значений также представлена всеми отрицательными значением и нулем. Отмечается, что функция не является нечетной или четной и возрастает на луче от -∞ до 0. Она является ограниченной сверху и неограниченной снизу, наименьшего значения на бесконечности не имеет, но непрерывна. Также функция y=ⁿ√x выпуклая на луче от -∞ до 0 и дифференцируемая в любой точке отрицательного х.

На слайде 9 описывается решение примера 1, в котором необходимо построить график функции y=³√(x-1)+2, где х – неположительное. Для построения графика заполняется таблица с координатами точек, принадлежащих данной функции. На рисунке рядом с таблицей изображается график функции.

На слайде 10 описывается решение примера 2, где нужно решить уравнение ⁵√x=-х-2. Очевидно, решением данного уравнения будет точка пересечения графиков функций, представленных выражениями правой и левой части уравнения. Для решения задачи строятся графики функций y=⁵√x и у=-х-2. Для этого заполняются таблица координатами точек, принадлежащих графикам функций. По найденным точкам строятся графики функций. Точка пересечения функций имеет координаты (-1;-1). Решение данного уравнения – х=-1. Задача решена.

На слайде 11 необходимо построить и указать свойства функции y=⁴√x при неотрицательном х и y=x³ при неположительном х. Построение графика выполняется на координатной плоскости рядом с описанием свойств. В свойствах функции указано, что ее областью определения будет вся действительная ось, функция не является четной или нечетной, возрастает на всей области определения. Функция не является ограниченной сверху или снизу и не имеет наибольшего или наименьшего значения. Функция y непрерывна, дифференцируемая везде, и областью значений ее также является вся действительная ось. График имеет выпуклость вниз на отрезке [0;1] и выпуклая на отрицательном луче, а также при неотрицательном х.

На последнем слайде описывается решение примера 4, в котором нужно найти области определения четырех функций y=⁶√(2x+6), y=⁵√(16-x²), y=⁴√(x2-25)+√(3х-9). Для решения первого примера, находится область решений неравенства 2х+6≥0. Определяется, что решением являются все значения в промежутке [-3;+∞). Вторая функция определена на всей действительной оси. Для решения третьей функции находим решения системы неравенств х²-25≥0 и 3х-9≥0. Решения неравенств отмечаются на числовой оси. Пересекаются области решений на промежутке [-5;+∞), поэтому это множество значений и будет областью определения функции.

Презентация «Функция вида у=ⁿ√x, ее свойства и график» может применяться как наглядное пособие на традиционном уроке математики в школе. Также это пособие может помочь сформировать необходимые навыки у учеников в ходе дистанционного обучения. Если тема недостаточно хорошо освоена учениками, презентация может рекомендоваться для самостоятельного рассмотрения.