Презентация "Системы уравнений"

Презентация «Системы уравнений» - наглядное пособие, предназначенное для проведения обобщающего урока по методbrt решения системы уравнений. Ученикам уже известны множество различных методов, помогающих найти решение системы уравнений. Чтобы успешно оперировать этими методами, необходимо иметь системные знания по их видам и применению. В данном наглядном пособии ученикам напоминается, какие способы решений уже изучены ими, теоретические сведения, помогающие вычленить равносильные и неравносильные преобразования. С помощью данной презентации учителю легче систематизировать знания учеников, сформировать стойкие навыки решения системы уравнений различными способами.

В начале демонстрации ученикам ставится вопрос о том, какие способы решения систем уравнений они уже знают. В ходе общения с аудиторией учитель выявляет, насколько хорошо усвоен изученный материал и систематизирует эти знания. На втором слайде представлен перечень методов, известных ученикам. Они могут убедиться, насколько полный список способов решения, названный ими. На слайде отмечены методы:

•          подстановки;
•          графический;
•          алгебраического сложения;
•          в помощью введения новых переменных.

Ученикам напоминаются теоретические основы решения системы уравнений. На слайде 3 указано, как образуется система уравнений. Отмечается, что для системы уравнений р(х;у)=0 и q(х;у)=0 характерно, что существует пара (х;у), удовлетворяющая обоим уравнениям. Данное определение заключено в рамку. Также на следующем слайде напоминается, что данная пара (х;у) представляет собой решение системы уравнений р(х;у)=0 и q(х;у)=0. На слайде 3 указывается, что решить систему уравнений – означает, найти решения или установить их отсутствие. После рассмотрения системы уравнений с двумя неизвестными демонстрируется общий вид системы уравнений с тремя неизвестными – системы из уравнений р(х;у;z)=0, q(х;у;z)=0, r(х;у;z)=0. Напоминается понятие равносильных уравнений – уравнений, имеющих одинаковые решения или не имеющие решений.

Ученикам напоминается, что при решении систем уравнений обязательно учитывается, получается данным способом равносильная система уравнений или данным преобразованием накладываются какие-то ограничения. На слайде 8 представлены равносильные способы решения систем уравнений, среди которых методы подстановки, введения новых переменных, алгебраического сложения. Также демонстрируется перечень неравносильных преобразований, среди которых возведение левой и правой части уравнения в квадрат, умножения уравнений, входящих в систему, преобразований, приводящих к расширению ее области определения. Сделано важное замечание, что при решении уравнения данными способами обязательно производить проверку справедливости решения с помощью подстановки в исходную систему, чтобы избежать попадания в область решения неверных значений. Далее приводятся описания решений систем уравнений разными способами.

На слайде 10 описывается решение системы трех уравнений х+у+2z=4, 2х+у+z=1, х+2у+z=3. Для решения данной системы уравнений используется метод алгебраического сложения. На слайде демонстрируется сложение всех уравнений системы, упрощение полученного итогового уравнения. Оно получает вид х+у+z=2. Зная, что сумма переменных равна 2, подставляем ее во второе уравнение системы и получаем уравнение с одной переменной для нахождения х. Из уравнения х+2=1 находим х=-1. Так же подставив значение суммы в третье уравнение, получаем 2+у=3, из которого находим у=1. Аналогичным образом находим из первого уравнения системы z=2. Решением системы будет (-1;1;2).

В примере 2 решается система уравнений х+у=1 и log₃x= log₃(1-y). Система уравнений решается методом подстановки. Выразив из первого уравнение х через у, получаем выражение, подставляемое во второе уравнение. Так определяется, что х может быть любым положительным числом х=α. Зная зависимость у от х, получаем значение у=1-α. То есть решение системы составляет пару (α;1-α).

В примере 3 демонстрируется решение системы двух квадратных уравнений у²+2ху-3х²=0 и у²+3х²=4. Из первого уравнения находим выражение, определяющее решение у=-х+-2х. для каждого из возможных решений составляем систему уравнений: у=х и у²+3х²=4, а также у=-3х и у²+3х²=4. Из первой системы находим решения (1;1), (-1;-1). Из второй системы уравнений находим решения (1/√3;-√3) и (-1/√3;√3). Найдено четыре решения исходной системы уравнений.

В последнем примере решается система уравнений х+у=1 и 2х²+2√х-х=у²-1+2(1+√х). Система решается методом подстановки. Из первого уравнения выражается у. Это выражение подставляется во второе уравнение. После подстановки получаем квадратное уравнение х²+х-2=0. Решив данное уравнение, находим пару решений (1;0) и (-2;3). Следуя правилу, что данное решение требует проверки, каждое решение подставляется в систему. При проверке обнаруживается, что решение (-2;3) приводит к вычислению √-2, что невозможно в области действительных чисел. Поэтому проверкой определяется, что единственно верным решением является пара (1;0).

Презентация «Системы уравнений» применяется для повышения эффективности традиционного обобщающего школьного урока по этой теме. Целесообразно применение данного наглядного пособие для систематизации знаний ученика в ходе дистанционного обучения. Материал может быть рекомендован для самостоятельной работы ученикам, требующим дополнительного обучения для более глубокого понимания предмета.