Урок "Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a"

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = – 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x₁ + πk. Значение x₁ – это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3.  Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от –π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3  можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = – 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = – 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x₂ + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (– 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (– 3) = – arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от –π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от –π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от –π/2 до π/2.

Пример 2 – вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (– a) = – arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от –π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, -– tg x = – π/3. Ответом уравнения будет – π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = – 4,1. В данном случае x = arctg (– 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (– 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk < x < π/2 + πk.

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = – a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x₁ + πk, где x₁ = arcctg a и x = x₂ + πk, где x₂ = arcctg (– a). Отмечено, что x₂ = π – x₁. Из этого следует равенство arcctg (– a) = π – arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод – выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим  решение уравнений  tg х = 3 и tg х= - 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х₁ + πk, где х₁ – это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

 Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ; ). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = - 3 можно записать в виде х = х₂ + πk, где х₂ – это абсцисса точки пересечения прямой у = - 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(–3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой:  х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= - arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса.  Арктангенсом а называется такое число из промежутка (–;), тангенс которого равен а.

Часто используют  равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх =  и хϵ (- ; ). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и   ϵ (- ; ).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (- ).

Решение. Используя  равенство arctg( - а) = - arctg а, запишем :

arctg(- ) = - arctg . Пусть - arctg = х, тогда - tgх =  и хϵ (- ; ). Следовательно, х =, так как tg = и   ϵ (- ; ). Показать таблицу значений 

Значит  - arctg=- tgх= - . 

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

Решение.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений 

Значит  arctg1= . 

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

 х =  + πk.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = - 4,1( тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg ( - 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

1. Построим тангенсоиду

 у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

 2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (; ).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х – периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

 ( ; ). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х₁ + , где х₁ – это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

 х₁ = arcсtg а;

х = х₂ + , где х₂ – это абсцисса точки пересечения прямой

 у = - а с главной ветвью тангенсоиды и х₂ = arcсtg (- а).

Заметим, что х₂ = π - х₁. Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) =  π - arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a  можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.