Урок «Число е. Функция у=ех, ее свойства, график, дифференцирование»

Тема: Число e. Функция <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=ex">  , ее свойства, график, дифференцирование

Для изучения темы вспомним, как расположен график показательной функции в прямоугольной системе координат. Для примера построим графики функций <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=2x">

Для построения найдем координаты нескольких точек графика. Построим этот график.

Вспомним особенности расположения графика показательной функции в прямоугольной системе координат.

1.        График показательной функции проходит через точку (0; 1)
2.        График имеет горизонтальную асимптоту <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=0">  при х→+∞
3.        График обращен выпуклостью вверх
4.        В каждой точке к графику функции можно привести касательную

Для примера построим касательную к графику функции в точке х=0. В данный момент это построение может быть сделано примерно. На графике выглядеть это будет так.

Аналогично можно построить касательную к графику функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=3x">  в точке х=0.

Следует отметить, что касательные в данной точке расположены примерно одинаково и отличаются только углом наклона прямой к положительной части оси Х.

Угол наклона касательной функции

  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=2x">  примерно равен 35°, а угол наклона касательной функции   <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=3x">  примерно равен 48 градусов. Учеными проверено, что если увеличить основание с 3 до 10, то градусная мера угла изменится до 66, 5 градусов. Значит, логично предположить, что существует положение касательной функции при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусам.

Возникает вопрос: Какое основание должно быть у показательной функции при таком положении касательной.

Учеными же доказано, что такое основание существует и оно равно иррациональному числу 2,7182818284590…. . Данное число принято обозначать буквой <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14e">   и брать его приблизительное значение 2,7

График функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=Рµx">  это экспонента, отличающаяся от других экспонет тем, что угол между касательной к графику в точке х=0 и осью абсцисс равен 45°.

Рассмотрим свойства функции

Далее нужно прочитать свойства с правого столбика

Следует отметить, тот факт, что функция  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=Рµx">   имеет касательную в точке х=0, а уравнение касательной составляется через нахождение производной функции, то очевидно для функции  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=Рµx">   также существует производная функция. А функция <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=Рµx">   дифференцируема.

Очевидно не только то что функция

дифференцируема, а даже известно

значение её производной функции в

точке х=0.

Вспомним, что значение производной 

функции в точке равно значению

тангенса угла наклона касательной в

данной точке к оси х. В нашем случае

угол равен 45 градусам, значит тангенс

этого угла равен 1, что означает, что

значение производной в точке х=0

также равно 1.

Это выполнимо если производная

функции     <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=Рµx">   равна  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14Рµx">   . Проверим это.

Напомним, что уравнение касательной

к графику функции f(x) в точке

  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14x0=a">    

имеет вид   <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=fa+f,(a)(x-a)">   .

Так как, а=0. Тогда f(а)= f(0) =1.

Производная функции равна <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14Рµx">    <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14,">  а её

значение в точке равно 1. Составим

уравнение касательной, для этого

подставим в уравнение найденные

значения. Получим y=1+1(x-0)=1+x-0=1+x .

Таким образом уравнение касательной

к графику функции <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=Рµx">   в точке x=0

равно y=x+1 .

Уравнение касательной подтверждает

сделанные предположения.

Таким образом. В <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14(ex),=ex">  . В

действительности же чаще

используется формула

Рассмотрим действие данных формул

на примере

Пример 1.Вычислить значение

производной   <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=ex2-4">  в точке x=2.

Для решения воспользуемся правилом

дифференцирования сложной функции f’(g(x))=f’(g(x))∙g’(x)

Получим:

<!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=(ex2-4)'=(x2-4)'в€™ (ex2-4)'=2xв€™ex2-4">

Производная от   <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14(x2-4)">  равна 2x , а производная от <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14ex2-4">  равна <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14ex2-4">  .

Запишем это в виде произведения 2х и

Для нахождения значения производной,

подставим вместо х число 2. Е в

нулевой степени — это единица. Значит,

значение производной будет равно 4.

Пример 2. Промежутки убывания

функции    <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=x2 в€™ex">     

Воспользуемся уже известным

алгоритмом отыскания у наименьшего

и у наибольшего .

1)  Найдём производную функции

воспользуемся правилом

  (f(x)∙g(x ))’=f(x)’g(x)+g(x)’∙f(x) .   

Тогда <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y'=x2в€™ex'=(x2)'ex"> + <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14ex'x2=2xв€™ex+exв€™x2=xex(2+x)">

Эта производная существует при всех

значениях х, значит критических точек

у функции нет.

2)Найдём нули производной функции.

Уравнение  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14xex2+x=0">  имеет корни если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не потеряет

смысла. Разделим уравнение на три

новых уравнения  . Уравнение  не имеет корней. Тогда корни уравнения 0 и -2 будут стационарными точками,

отметим их на координатной прямой.

Производная на полученных

промежутках чередует знаки начиная с плюса слева на право. Значит на

отрезке  от -2 до 0 функция  

  <!--?mso-application progid="Word.Document"?--> 14y=x2 в€™ex">       

Число e участвует в описании многих

математических процессов и мы ещё

встретимся с ним . так же широко число

используется и для описания процессов

в экономике , физике…

В экономическом смысле число e

означает максимально возможную

годовую прибыль при 100 % годовых и максимальной частоте капитализации процентов.

В ряду иррациональных чисел число е

стоит перед известным всем числом.