Урок "Числовая окружность на координатной плоскости"

Числовой окружности в 10 классе уделяется достаточно много времени. Это связано со значимостью этого математического объекта для всего курса математики.

Огромное значение для хорошего усвоения материала имеет правильная подборка средств обучения. К наиболее эффективным таким средствам относятся видеоуроки. В последнее время они достигают пика популярности. Поэтому автор не стал отставать от современности и разработал в помощь учителям математики столь замечательное пособие – видеоурок по теме  «Числовая окружность на координатной плоскости».

Данный урок по длительности занимает 15:22 минут. Это практически максимальное время, которое может затратить учитель на самостоятельное объяснение материала по теме. Так как на объяснение нового материала уходит столько много времени, то на закрепление необходимо подобрать самые эффективные задания и упражнения, а также выделить еще один урок, где обучающиеся будут решать задания по данной теме.

Урок начинается с изображения числовой окружности в системе координат. Автор строит эту окружность и поясняет свои действия. Затем автор называет точки пересечения числовой окружности с осями координат. Далее поясняется, какие координаты будут иметь точки окружности в разных четвертях.

После этого автор напоминает, как выглядит уравнение окружности. И вниманию слушателей представляется два макета с изображением некоторых точек на окружности. Благодаря этому, на следующем шаге автор показывает, как находятся координаты точек окружности, соответствующие определенным числам, отмеченным на шаблонах. Так получается таблица значений переменных xи y в уравнении окружности.

Далее предлагается рассмотреть пример, где необходимо определить координаты точек окружности. Перед тем, как начинать решать пример, вводится некоторое замечание, которое помогает при решении. А затем на экране появляется полное, четко структурированное и наполненное иллюстрациями решение. Здесь также присутствуют таблицы, которые облегчают понимание сущность примера.

Затем рассматриваются еще шесть примеров, которые менее трудоемкие, чем первый, но не менее важные и отражающие главную идею урока. Здесь решения представлены в полном объеме, с подробным рассказом и с элементами наглядности. А именно, в решении присутствуют рисунки, иллюстрирующие ход решения, и математическая запись, формирующая математическую грамотность обучающихся.

Учитель может ограничиться и теми примерами ,которые рассмотрены в уроке, но этого может быть недостаточно для качественного усвоения материала. Поэтому подобрать задания для закрепления просто крайне важно.

Урок может быть полезен не только учителям, время которых постоянно ограничено, но и обучающимся. Особенно тем, кто получает семейное образование или занимается самообразованием. Материалами могут пользоваться те обучающиеся, которые пропустили урок по данной теме.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тема нашего урока «ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ»

Мы уже знакомы с декартовой прямоугольной системой координат xOy ( икс о игрек). В этой системе координат расположим числовую окружность так, чтобы центр окружности был совмещен с началом координат, а ее радиус примем за масштабный отрезок.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой с координатами (1;0) , В – с точкой (0;1), С – с ( -1;0)( минус один, нуль), а D – с (0; -1)( нуль, минус один).

( смотри рис 1)

Так как каждая точка числовой окружности имеет в системе xOy (икс о игрек) свои координаты, то для точек  первой четверти икх больше нуля и игрек больше нуля;

Во-второй четверти икх меньше нуля и игрек больше нуля,

для точек третьей четверти икх меньше нуля и игрек меньше нуля,

а для четвертой четверти икх больше нуля и игрек меньше нуля

Для любой точки E (x;y)(с координатами икс, игрек) числовой окружности выполняются неравенства -1≤ х≤ 1, -1≤у≤1 ( икс больше либо равно минус один, но меньше либо равно один ; игрек больше либо равно минус один, но меньше либо равно один).

Вспомним, что уравнение окружности радиусом R c центром в начале координат имеет вид  х² + у² =R²( икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат). А для единичной окружности R =1, поэтому получаем  х² + у² = 1

( икс квадрат плюс игрек квадрат равно один).

Найдем координаты точек числовой окружности, которые представлены на двух макетах (см. рис 2, 3)            

Пусть точка E, которая соответствует

( пи на четыре) - середина первой четверти изображенная на рисунке.  Из точки E опустим перпендикуляр  EK на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОEK. Угол АОЕ =45⁰, так как дуга АЕ составляет половину дуги АВ. Следовательно,  треугольник ОЕК – равнобедренный прямоугольный, у которого ОК = ЕК. Значит, абсцисса и ордината точки Е равны, т.е. икс равно игрек. Чтобы найти координаты точки Е , решим систему уравнений:    (икс равно игрек- первое уравнение системы и   икс квадрат плюс игрек квадрат равно один – второе уравнение системы).Во второе уравнение системы вместо х подставим у, получим  2у² =1( два игрек  квадрат равно единице), откуда у= =   ( игрек равно один деленное на корень из двух равно корень из двух деленное на два) ( ордината положительна).Это значит, что точка Е в прямоугольной системе координат имеет координаты(  ,   )( корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два).

Рассуждая аналогично,  найдем координаты для точек, соответствующих другим числам первого макета и получим:  соответствует точка с координатами  (–  , ) ( минус корень из двух деленное на два, корень из двух деленное на два); для  -  (–  ,– ) ( минус корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два); для  (семь пи на четыре) (  , )( корень из двух деленное на два, минус корень из двух деленное на два).

Пусть точка D соответствует   (рис.5). Опустим перпендикуляр из DР(дэ  пэ) на ОА и рассмотрим треугольник ОDР. Гипотенуза этого треугольника OD  равна радиусу единичной окружности, то есть единице, а угол  DОР равен тридцати градусам, так как дуга АD =  диги АВ( а дэ равно одной трети а бэ), а дуга АВ равна девяносто градусов. Следовательно, DР =  (дэ пэ равно одной второй О дэ равно одной второй) Так как  катет, лежащий против угла в тридцать градусов равен половине гипотенузы, то есть у = ( игрек равно одной  второй). Применяя теорему Пифагора, получим  ОР ² = ОD² – DР² ( о пэ квадрат равно о дэ  квадрат минус дэ пэ квадрат), но ОР = х ( о пэ равно икс) . Значит, х² = ОD² – DР²=

значит, х²=  (икс квадрат равно трем четвертым) и  х =  ( икс равно корень из трех на два).

Икс положительное, т.к. находится в первой четверти. Получили, что точка D  в прямоугольной системе координат имеет координаты (  , ) корень из трех деленное на два, одна вторая.

Рассуждая аналогичным образом,  найдем координаты для точек, соответствующих другим числам второго макета и все полученные данные запишем в таблицы:

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР1. Найдите координаты точек числовой окружности: а) С₁( );

б) С₂( ); в) С₃(41π); г) С₄( - 26π). (цэ один соответствующая тридцать пять пи на четыре, цэ два соответствующая минус сорока девяти пи на три, цэ три соответствующая сорок одному пи, цэ четыре соответствующая минус двадцати шести пи).

Решение. Воспользуемся утверждение, полученным ранее: если точка D числовой окружности соответствуют числу  t, то она соответствует и любому числу вида t + 2πk( тэ плюс два пи ка), где ка –любое целое число, т.е.  kϵZ  (ка принадлежит зэт).

а) Получим  =  ∙ π = ( 8 +  ) ∙π = + 2π ∙ 4.( тридцать пять пи на четыре равно тридцать пять на четыре, умноженное на пи равно сумме восьми и трех четвертых, умноженной на пи равно три пи на четыре плюс произведение двух пи на четыре).Это значит, что числу тридцать пять пи на четыре соответствует та же точка числовой окружности, что и числу три пи на четыре. Используя таблицу 1, получим С₁( ) = С₁(-  ;) .

б) Аналогично координаты С₂:  = ∙ π = - (16 + ∙π =  + 2π ∙ ( - 8 ). Значит, числу

   соответствует та же точка числовой окружности, что и числу . А числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу

( показать второй  макет и таблицу 2). Для точки  имеем х =  , у =.

в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20.Значит, числу 41π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу π – это точка с координатами ( -1 ; 0).

г) - 26π = 0 + 2π ∙ ( - 13), то есть числу - 26π соответствует та же точка числовой окружности, что и числу ноль, - это точка с координатами ( 1;0).

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой у =  и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая у =  пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу , вторая точка соответствует числу  ,

Следовательно все точки  получаем прибавляя полный оборот 2πk где k показывает сколько полных оборотов делает точка , т.е. получаем ,

 а любому числу все числа вида  + 2πk. Часто в таких случаях говорят, что получили две серии значений :  + 2πk,   + 2πk.

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х = и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение. Прямая х =   пересекает числовую окружность в двух точках. Одна точка соответствует числу ( смотри второй макет),

а значит и любому числу вида  + 2πk. А вторая точка соответствует числу  , а значит, и  любому числу вида   + 2πk. Эти две серии значений можно охватить одной записью : ±  + 2πk( плюс минус два пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки с ординатой у >  и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение.

Прямая у =   пересекает числовую окружность в двух точках M и P. А неравенству у >  соответствуют точки открытой дуги МР, это значит дуги без концов (то есть без  и  ) , при движении по окружности против часовой стрелки , начиная с точки М, а заканчивая в точке Р. Значит, ядром аналитической записи дуги  МР является неравенство  < t <  ( тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид   + 2πk < t <  + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка ).

ПРИМЕР5. Найти на числовой окружности точки с ординатой у <  и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение.

Прямая у =   пересекает числовую окружность в двух точках М и Р. А неравенству у <  соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги  РМ является неравенство   < t <  ( тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

+ 2πk < t <  + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 6. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х >  и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение.

Прямая х =  пересекает числовую окружность в двух точках М и Р. Неравенству х >  соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке Р, которая соответствует  ,и концом в точке М, которая соответствует  . Значит, ядром аналитической записи дуги  РМ является неравенство  < t <

( тэ больше, чем минус два пи на три, но меньше двух пи на три), а сама аналитическая запись дуги имеет вид  + 2πk < t <  + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ПРИМЕР 7. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х <  и записать, каким числам t они соответствуют.

Решение.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и Р. Неравенству х<  соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует  , и концом в точке Р, которая соответствует  . Значит, ядром аналитической записи дуги  МР является неравенство   < t <

( тэ больше, чем два пи на три, но меньше четырех пи на три), а сама аналитическая запись дуги имеет вид     + 2πk < t <  + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех  пи на три плюс два пи ка).