Урок "Числовые выражения"

Математические выражения – это способ отображения операционного взаимодействия нескольких алгебраических элементов. Любое выражение обязательно содержит хотя бы два независимых реальных члена, связанных неким математическим оператором. Стоит отметить, что при проведении всех заданных манипуляций все выражение может сократиться до одного элемента.

С другой стороны, любой одиночный элемент, например число 1, легко превратить в полноценное, хоть и, зачастую, бессмысленное математическое выражение, например:

1 = 12 + 1 – 12 + 34 – 34.

Правая часть этого выражения быстро сокращается. Можно сказать, что одиночный элемент 1 является математическим выражением, раз он легко преобразуется в строку нескольких элементов, включающую и действия. Но, как правило, принято рассматривать только те выражения, которые обязательно содержат операнды. Иначе все выражение имеет мало смысла.

Математические выражения бывают численными, включающими только действительные числа, и буквенными, включающими и некоторые переменные, задаваемые латинскими буквами. Операнды, которые используются при определении математических числовых выражений чаще всего относятся к фундаментальной четверке – сложение, вычитание, произведение и деление. Однако в более серьезных примерах могут встречаться и действия более высокой степени – например, операнды математического анализа, такие как интеграл.

Каждое числовое равенство обладает таким фундаментальным неопределяемым аксиоматическим свойством, как значение. Значение любого выражения принято задавать при помощи знака равности. В левой части равенства записывается само выражение, а в правой – его значение. Множество математических упражнений и задач построено на концепции нахождения значения для какого-либо выражения. Это значение является результатом проведения всех математических операций, заданных в самом выражении. Иначе говоря, числовое выражение представляет собой условие, включающее некие элементы, и перечень действий, которые нужно провести с этими элементами. Осуществление действий в соответствии с арифметическими законами выдает результат – значение выражения.

Коренное отличие числовых выражений от буквенных заключается в реальной теоретической возможности вычислить значение всего выражения без дополнительных операций и процедур. Существование переменных в буквенных выражениях требует, в лучшем случае, подстановки значения переменной. А на практике, чаще всего, переменную ещё стоит определить. Но, как правило, буквенные выражения подаются с готовыми значениями, стоящими за знаком равенства. Иногда приходится преобразовать все выражение методами перестановки, чтобы получить корректное равенство с чистым числовым значением.

По сути, числовые выражения требуют определения значения, а буквенные выражения являются обратными им – они требуют определения неизвестных элементов в выражении, при заданном значении.

В нашем видео мы рассмотрим такой пример числового выражения:

64 + 32 – 6.

Данное выражение содержит три числовых элемента и две арифметические операции. Проведем их, вычислив значение выражения:

64 + 32 – 6 = 90.

Значение данного выражения равно 90.

Числовые выражения могут иметь четко определенное значение, выраженное через равенство, либо же иметь более широкий диапазон определения, задаваемый посредством неравенств. Причем, неравенства могут быть нестрогими (знаки больше или меньше), строгими (знак возможного равенства), или двойными (заключение выражения между двумя знаками неравенства). Например, наше определенное числовое выражение мы можем обозначить следующим образом:

Строгое определение значения: 64 + 32 – 6 = 90.

Нестрогое неравенство: 64 + 32 – 6 (меньше) 100.

Строгое неравенство: 64 + 32 – 6 (больше или равно) 90.

Двойное неравенство: 80 (меньше) 64 + 32 – 6 (меньше) 100.

Все четыре определения значения являются вполне корректными, и лишь отображают разные степени точности.