Урок "Определение производной"

Видеоурок «Определение производной» предназначен для наглядного представления учебного материала по данной теме. Основываясь на изученном материале о пределе функции, понятии приращения аргумента и функции, раскрывается понятие производной функции. Представлены соответствующие определения, рассматриваются примеры, помогающие усвоить тему и научиться применять полученные знания при решении задач.

Видеоурок начинается с представления темы урока и введения понятия производной функции, которое возникает в процессе построения математической модели при решении задачи о скорости движения по физике. Описывается условие задачи, в которой дано перемещение тела на некоторое расстояние. При этом закон движения описан функцией s=s(t). Перемещение описано с помощью координат на плоскости. Необходимо найти скорость движения в некоторый момент t. Построение математической модели начинается с начала отсчета, в котором перемещение тела в определенный момент времени вычисляется на координатной плоскости отрезком OL=s(t). Через некоторый промежуток времени t+Δt перемещение определяется значением функции от приращенного аргумента ОК= s(t+Δt). При этом пройденный путь тела определяется разностью LК=ОК- OL= s(t+Δt)- s(t), где LК=Δs – изменение положения тела. Зная зависимость перемещения тела от скорости, за некоторый промежуток времени [t,t+Δt] тело движется со средней скоростью v_ср.= Δs/Δt. Мгновенная скорость принимает значение, которое определяется наименьшим промежутком времени изменения положения тела, то есть v_t=lim v_ср. при Δt→0.

Следующий пример рассматривает приложение понятия производной при решении геометрических задач. Для этого сначала раскрывается понятие касательной. На координатной плоскости изображается график функции, на котором отмечаются две точки M и S. Через отмеченные точки проводится прямая. Демонстрируется, как при приближении точки S к точке М положение соединяющей точки прямой приближается к положению касательной в точке М. То есть касательная представляет собой предельное положение секущей, соединяющей две точки графика при сближении точек. После введения понятия касательной рассматривается касательная к графику функции y=f(x) в точке М(а, f(a)). Необходимо найти угловой коэффициент касательной. Для этого на некотором расстоянии от М отмечается точка N(а+Δх, f(a+Δх)). Угловой коэффициент прямой представляет тангенс угла, под которым лежит прямая, содержащая гипотенузу треугольника, образованного приращением аргумента Δх и приращением функции Δу. Соответственно, угловой коэффициент секущей находится по формуле k_сек.= Δу/Δх. При приближении точек Δх→0. Очевидно, что коэффициент касательной при сближении точек определяется предельным положением секущей при Δх→0, k_кас.= lim k_сек. или k_кас.= lim Δу/Δх.

Выводы из особенностей математической модели решения обеих задач оформляются в виде определения производной функции, нахождение которой фигурирует в задачах. Отмечается, что для функции y=f(x), определенной в точке х и ее окрестности, предел Δу/Δх при Δх→0 называется производной y=f(x) в этой точке. Вводится обозначение производной f′(x). Для усвоения материала рассматривается производная линейной функции – отмечается, что так как найденный ранее для функции y=kx+m предел lim Δу/Δх=k при Δх→0, то y′=(kx+m)′= k. Также, найденный предел функции y=x³, равный lim Δу/Δх=3х² при Δх→0 означает, что производная y′=(x³)′= 3х².

Раскрывается физический и геометрический смысл производной. Отмечено, что в физическом смысле для закона прямолинейного движения s(t) производная означает мгновенную скорость v= s′(t). В геометрическом смысле для касательной , проведенной в точке х=а к графику функции y=f(x) производная f′(а) – угловой коэффициент касательной.

Рассматривая смысл производной и формулу для ее нахождения lim Δу/Δх= f′(х) при Δх→0, отмечается почти прямая пропорциональность приращения функции от приращения аргумента с коэффициентом, представляющим собой производную Δу≈f′(х)·Δх. Таким образом, для производной функции y=x³ верно соотношение Δу≈3х²·Δх.

Дается алгоритм нахождения производной функции, в котором требуется:

•                     В точке х найти f(x);
•                     При переходе в точку х+Δх найти f(х+Δх);
•                     Найти приращение функции f(х+Δх)- f(x);
•                     Составить отношение Δу/Δх;
•                     Найти lim Δу/Δх при Δх→0, то есть f′(х).

Согласно данному алгоритму, демонстрируются примеры определения производной функций f(x)=С, где (С)′=0; f(x)=1/х, где (1/х)′=-1/х².

Раскрывается понятие дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной. Отмечается, что функция является дифференцируемой в точке, если она имеет в ней производную, а также дифференцируемость функции в точке означает непрерывность функции в ней, при этом обратное утверждение неверно. Подтверждающим примером данному утверждению является нахождение производной в точке х=0 функции у=|x|. Отмечается, что несмотря на непрерывность функции в этой точке, касательной к графику в ней не может быть. А значит, и нет в этой точке производной. Данный вывод отображен на экране отдельно и рекомендован для запоминания. Примером утверждения служит функция y=f(x), которая на х<0 равна -√-х, а на промежутке x>=0 равна √х. На рисунке построен график функции, на котором хорошо видна непрерывность функции. Однако в точке х=0 касательную к графику построить нельзя, поэтому в этой точке нет производной. Напоминается, что если в некоторой точке графика функции касательную построить нельзя, или она перпендикулярна оси абсцисс, функция недифференцируема. В данном примере функция недифференцируема. На произвольном графике функции в последнем примере рассматривается ее дифференцируемость в трех точках.

Видеоурок «Определение производной» рекомендуется применять на традиционном уроке алгебры для наглядности или с целью освободить учебное время для улучшения индивидуальной работы учителя с учениками. Ученикам, слабо освоившим тему, материал может быть рекомендован для самостоятельной работы. 

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим две различные задачи, физическую и геометрическую, которые как приведут к возникновению новой математической модели.

Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s (t) (эс равное эс от тэ), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Решение. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке

L (рис. 1), пройдя путь от начала движения ОL = s(t). Дадим аргументу t

приращение Δt(дельта тэ) и рассмотрим момент времени t + Δt. Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке K: OK = s(t + t) (о ка равно эс от тэ плюс дельта тэ) .

Значит, за t секунд тело переместилось из точки L в точку K, т.е. прошло путь LK. Имеем: LK=ОK–ОL = s(t + t)–s(t). Полученную разность мы назвали приращением функции: s(t+t)–s(t) = s. Итак, LK = s(метров).

Путь s (метров) тело прошло за t секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t, t + t]: v_ср. = (м/с) (средняя скорость равна отношению дельта эс к дельта тэ).

А что такое скорость v(t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью). Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [t, t + t] при условии, что t выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что t0. Это значит, что

v(t) =  (вэ от тэ равно пределу средней скорости ) и

Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Для решения следующей задачи нам нужно выяснить, что следует понимать под  касательной к кривой.

Дана кривая L (рис. 2), на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М, — точку S.

Проведем секущую МS. Далее будем приближать точку S по кривой L к

точке М. Секущая МS будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некое предельное положение секущей; эту прямую — предельное положение секущей — называют

касательной к кривой L в точке М.

Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции y = f(x). На нем выбрана точка М(а; f(a)) (эм с координатами а  и эф от а), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует).

Найти угловой коэффициент касательной.

Решение. Дадим аргументу приращение х и рассмотрим на графике (рис. 3) точку N с абсциссой а + х. Ордината точки N равна f(a + x) . Угловой коэффициент секущей МN, т.е. тангенс угла между секущей и осью х, вычисляется по формуле  (ка секущей равен дельта игрек, деленное на дельта икс).

Если мы теперь устремим х к нулю, то точка N начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы характеризовали

как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной k_кac будет вычисляться по формуле  (ка касательной равно пределу  ка секущей).

Используя приведенную выше формулу для k_сек, получаем: ( ка касательной равно предел дельта игрек, деленное на дельта икс, при стремлении дельта икс к нулю).

Подведем итоги. В процессе решения двух задач мы пришли к одной и той же математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Рассмотрим, что из себя представляет предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

2. Определение производной

Определение 1. Пусть функция у =f(x) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение х, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции Δу и составим отношение . Если существует предел этого отношения при условии х0, то указанный предел называют производной функции у = f(х) в точке х и обозначают f'(x)(эф штрих от икс).

Итак,  (предел дельта игрек, деленное на дельта икс, равен эф штрих от икс).

Для обозначения производной часто используют символ у'. (игрек штрих)

Отметим, что у'=f'(x) (игрек штрих равен эф штрих от икс)— это новая функция, но, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех таких точках х, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у =f(x).

В примере для линейной функции y=kx + m справедливо равенство: .

Это означает, что y'=k или, подробнее,

(kx + m)' =k. (производная  ка икс плюс эм равна ка).

В частности,

(х)'=1.

Мы доказали, что для функции у = х³ справедливо равенство

Это означает, что у'=3х² или, подробнее, (x³)' = 3х².(икс в кубе штрих равно три икс во второй степени)

Производная с физической и геометрической точек зрения.

Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s (t) — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:

v=s´(t) (вэ равно эс штрих от тэ).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции y= f(x) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f'(a) –это есть угловой коэффициент касательной .

Пусть функция у = f(x) имеет производную в конкретной точке х:  (предел отношения приращения функции к приращению аргумента равен производной функции).

Получаем: в достаточно малой окрестности точки х выполняется приближенное равенство:  (отношения приращения функции к приращению аргумента приближённо равно производной функции) или

y f'(x) ·х. (приращения функции приближённо равно производной функции, умноженной  на приращение аргумента).

Приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной точке х). Например, для функции у = х³ справедливо приближенное равенство y 3х² ·х

Сформулируем алгоритм отыскания производной.

АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ (для функции у = f(x))

1. Зафиксировать значение х, найти f(x).

2. Дать аргументу х приращение х, перейти в новую точку

х + х, найти f(x + x).

3. Найти приращение функции: y= f(x + x)–f(x).

4. Составить отношение  .

5. Вычислить предел .

Этот предел и есть f'(x).

Пример 1. Найти производную постоянной функции у = С.

Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Для фиксированного значения х имеем: f (х) = С.

2) В точке х + х имеем: f(x + х)=С.

3) у=С–С=0.

4) ==0

5) ==0.

Ответ: (С)'=0.

Пример 2. Найти производную функции у = .

Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

Если функция y = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием функции y = f(x).

Если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное же утверждение неверно.

Приведем примеры: функция y=|х| непрерывна везде, и в точке х =0 (рис. 4), но касательной к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует.

Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производной.

Пример. На рис. 5 изображен график кусочной функции y=f(x), где

Функция непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х=0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х=0. Но в точке х=0 касательная совпадает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х=0.Такая прямая не имеет углового коэффициента, поэтому, не существует и f'(0).

Чтобы по графику сделать вывод о дифференцируемости функции, необходимо проверить,  можно ли в некоторой точке провести касательную к графику функции, не перпендикулярную оси абсцисс. Если можно, тогда в этой точке функция дифференцируема.  Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема. Так, по графику функции, изображенному на рис. 6, можно сделать вывод: функция непрерывна всюду, кроме точки х =а; функция дифференцируема всюду, кроме точек х=а, х=b – здесь касательная не существует, х=с –здесь касательная параллельна оси у.